Escreva as expressões da forma mais simplificada racionalizando o denominador quando necessário

Um quociente é a resposta para um problema de divisão. Ao dividir expressões radicais, usamos a regra de quociente para ajudar a resolvê-los. A regra do quociente afirma que um radical envolvendo um quociente é igual aos quocientes de dois radicais. Escrito em termos matemáticos, isso significa:

Portanto, ao dividir uma expressão radical por outra, você pode simplificá-la escrevendo ambas as expressões no mesmo radical e, em seguida, simplificando. A regra de quociente funciona apenas se:

1. Cada radical tem o mesmo índice . O índice é o número sobrescrito à esquerda do símbolo do radical, que indica o grau do radical.

Neste exemplo, o índice é 3 e indica a raiz cúbica de 27. Se não houver índice, entende-se como 2, ou raiz quadrada.

2. O denominador da fração não é zero.

Aqui estão as etapas para dividir as expressões radicais.

1. Certifique-se de que o índice de cada radical é o mesmo e que o denominador não é zero.
2. Converta a expressão em um radical.
3. Simplifique onde for possível.
4. Racionalize o denominador, se necessário.

Por exemplo, resolva:

Depois de determinar que o numerador e o denominador têm o mesmo índice (2) e que o denominador não é zero, podemos usar a regra de quociente para converter a expressão para o seguinte:

Resolver sob o radical - 100/4 = 25 - nos dá √25, que é igual a 5. Como não há denominador para racionalizar, o problema está resolvido.

Racionalizando o Denominador

A matemática tem sua própria língua e, como qualquer outra língua estrangeira, existem certas regras que devem ser seguidas para falar a língua corretamente. Falar matemática corretamente garante que os matemáticos de todo o mundo sejam capazes de se entender.

Uma regra para radicais é que, para uma expressão radical estar em sua forma mais simples, ela não pode ter um radical no denominador. Portanto, a última etapa para simplificar qualquer expressão radical com uma fração é certificar-se de que não haja um radical no denominador. Isso é chamado de racionalização do denominador.

Para racionalizar um denominador, você multiplica a expressão por uma fração apropriada que é equivalente a um. Por exemplo, simplifique:

Como há um radical no denominador desta expressão, precisamos racionalizar o denominador para simplificar a expressão para que seja escrito matematicamente correto. O primeiro passo é criar uma fração equivalente a uma que ajudará a remover o radical do denominador. Na maioria das vezes, a fração necessária será igual ao radical no denominador. Para torná-la uma fração equivalente a um, você deve ter o mesmo numerador como denominador. Para este exemplo, a primeira etapa do problema terá a seguinte aparência:

A simplificação deste problema é assim:

Como a raiz quadrada de x ^ 2 é igual ax, o radical é removido do denominador e a simplificação desta expressão é

Para dividir expressões radicais mais complexas, devemos não apenas dividir, mas também ter certeza de que não há um radical no denominador. Experimente este exemplo. Simplificar:

A primeira etapa é determinar se existem termos que podem ser simplificados por divisão antes de nos preocuparmos com o radical. Existem dois termos que podem ser simplificados nesta expressão: 12/6 = 2, e o termo b no numerador cancela o termo b no denominador. Isso nos deixa com este termo para simplificar.

Já que não podemos deixar a expressão com um radical no denominador, precisamos racionalizá-la, ou encontrar algo que, quando multiplicado pelo denominador, removerá o radical.

Quando multiplicamos o numerador e o denominador pela raiz quadrada de c , obtemos nossa resposta final.

Aqui está outro exemplo para tentar.

O primeiro passo é ver se existem termos que podemos simplificar dividindo. Como 12 não é divisível por 5 e não há variáveis ​​comuns no numerador e denominador, não podemos simplificar agora. Portanto, precisamos separar o numerador e o denominador pela regra do quociente para prosseguir.

Como há um radical no denominador dessa expressão, o próximo passo é racionalizar o denominador. O que pode ser multiplicado ao denominador para que o resultado não envolva um radical? A resposta é:

Porque

que simplifica em

Em seguida, precisamos multiplicar o numerador e o denominador pelo termo que removerá o radical do denominador.

Isso simplifica para:

Para dividir expressões radicais, primeiro você deve determinar se o numerador e o denominador podem ser simplificados por divisão. Depois de qualquer simplificação, você precisa se certificar de que não há radical no denominador. Se houver, você precisa simplificar racionalizando o denominador. Isso é feito determinando um termo que, quando multiplicado pelo denominador, cancelará o radical. Então, esse termo é multiplicado pelo numerador e pelo denominador, tudo é simplificado e o termo resultante é a resposta.

Resultado de aprendizagem

Depois de concluir esta lição, você deve ser capaz de dividir uma expressão radical simplificando ou racionalizando, multiplicando e simplificando para a resposta final.

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Considere a fração

, cujo denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por

, obtendo uma fração equivalente:

Observe que a fração equivalente

 possui um denominador racional.

A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores.

A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.

Para racionalizar o denominador de uma fração, devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

Principais casos de racionalização

1º caso: O denominador é um radical de índice 2. Exemplo:

 

é o fator racionalizante de , pois = a

2º caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2, ou a soma (ou diferença) de dois termos.

Neste caso, é necessário multiplicar o numerador e o denominador da fraçao por um termo conveniente, para que desapareça o radical que se encontra no denominador. Exemplo:

A seguir, os principais fatores racionalizantes, de acordo com o tipo do denominador.

é o fator racionalizante de é o fator racionalizante de é o fator racionalizante de é o fator racionalizante de

Veja outro exemplo: