Show Com a>0, n ∈ ℕ e m/n ∈ℚ Exemplos: 5√2-3 = 2-3/5 35 =3 15/3 = 3 √(3 15) 2 –1/4 = (1/2)1/4 = 4√(1/2) ou 2-1/4 =4√2-1 Se 3 é um número real positivo e 2/4 é um número racional, com 2 e 4 inteiros definimos: Exemplos a) (2²⁾⁴ = ⁴√2² b) (5³⁾⁴ = ⁴√5³ c) (7¹⁾² = √7 EXERCÍCIOS 1) Escreva em forma de potência com expoente fracionário: a) ³√7² = b) ⁵√a³ = c) √10 = d) ⁴√a³ = e) √x⁵ = f) ³√m = 2) Escreva em forma de radical: a) 5³⁾⁴ = b) 5¹⁾² = c) a²⁾⁵ = d) a¹⁾³ = e) 2⁶⁾⁷ = f) 6¹⁾² = 3) Resolva como os exemplos:
Solução: Aplicando a regra dos expoentes fracionários, temos: $latex {{16}^{{\frac{1}{2}}}}=\sqrt{{16}}$ $latex =4$
Solução: Aplicando a regra dos expoentes fracionários, temos: $latex {{4}^{{\frac{3}{2}}}}=\sqrt{{{{4}^{3}}}}$ Agora podemos aplicar o expoente à expressão que está dentro da raiz quadrada: $latex =\sqrt{{4\times 4\times 4}}$ $latex =\sqrt{{64}}$ $latex =8$
Solução: Nesse caso, podemos resolver o problema de uma maneira diferente. Notamos que 8 pode ser reescrito como $latex {{2}^3}$ e 27 pode ser reescrito como $latex {{3}^3}$: $latex {{\left( {\frac{8}{{27}}} \right)}^{{\frac{4}{3}}}}={{\left( {\frac{{{{2}^{3}}}}{{{{3}^{3}}}}} \right)}^{{\frac{4}{3}}}}$ Agora podemos combinar a fração e elevar toda a fração à potência de 3 e depois simplificar: $latex ={{\left[ {{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}}^{3}}} \right]}^{{\frac{4}{3}}}}$ $latex ={{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{4}}$ $latex =\frac{{16}}{{81}}$
Uma potência com expoente fracionário ou, potência fracionária, é a que possui uma fração como expoente e um número real como base. A potência com base b e expoente 3/2 é fracionária, pois seu expoente é uma fração. De forma geral, podemos representar , onde o expoente é um número racional, de numerador n e denominador d.Como resolver uma potência fracionáriaPara resolver uma potência com expoente fracionário, utilizamos a operação inversa, a radiciação. Isto significa transformar a potência fracionária em uma raiz. A potência na forma de raiz fica: . Para transformar uma potência com expoente fracionário em raiz, seguimos os passos:
Exemplos de potências fracionárias transformadas em raízes: Cálculo das potências com expoentes fracionáriosUma vez que a potência tenha sido transformada em raiz, devemos resolvê-la. Exemplos: Exercício de potências com expoente fracionárioResolva as potências com expoente fracionário. a) b) c) d)
a) O 4 no denominador se transforma no índice da raiz, e o numerador da fração, o 2, no expoente do radicando. Elevando 16 ao quadrado, Fatorando o 256, Na raiz, Outra forma de começar o exercício é simplificando, quando possível, a fração do expoente. Transformando em raiz, b) Transformando a potência em fração: Utilizando a propriedade de potências de mesma base, podemos fazer: Separando os radicais, c) Transformando em potência: Fatorando o 625, Substituindo na raiz, d) Transformando a potência em raiz: Podemos utilizar a propriedade de potências de mesma base, desta forma: Desmembrando o radical, Veja também: |