Gráfico da função seno e cosseno (exercícios resolvidos)

Já vimos que as relações trigonométricas são exploradas para um círculo, que chamamos de círculo trigonométrico. Isso explica por que essas funções são periódicas, já que à medida que vamos dando voltas no círculo, vamos voltando a encontrar os mesmos valores para o y.

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Função Seno
Função Cosseno
A Lei do Seno
Variação da função seno
Veja a Lei do Cosseno
Veja agora aplicações da Função Cosseno
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Agora estamos preparados para falar de cada uma das funções trigonométricas.

Função Seno

A função seno será dada por

Como falamos anteriormente, os valores possíveis para o estarão dentro do ciclo trigonométrico, que está representado abaixo:

Vamos relembrar alguns detalhes importantes do círculo trigonométrico: o eixo é o eixo dos senos e o eixo x é o eixo dos cossenos. Além disso, em radianos, uma volta completa no círculo vale e as medidas dos ângulos começam a partir do ponto vermelho e indo pra cima, no sentido anti-horário.

Com isso, podemos dizer que o seno terá valores extremos para ângulos de (ponto mais alto do círculo) e (ponto mais baixo do círculo), onde a função vale:

A função ficará oscilando entre esses valores, sendo que não há nenhuma indeterminação no intervalo e isso se repete indefinidamente.

Dessa forma, já podemos afirmar que o domínio da função seno (valores possíveis para o ) é o conjunto dos números reais, ou:

Já para a imagem (valores resultantes em , vimos que a função vai estar sempre entre -1 e 1. Isso significa que

Lembrando que teremos isso quando .

Mas e se tivermos

Perceba que, nesse caso, todos os valores de que tínhamos anteriormente vão ser multiplicados por 2, isso significa que agora nossa função terá valores máximo e mínimos em , respectivamente.

Isso vai acontecer sempre que tivermos a função seno multiplicada por uma constante, então podemos generalizar:

Para .

Ah, mas por que precisa ser diferente de zero?

Simplesmente porque zero multiplicado por qualquer coisa será igual a zero e nesse caso, a função valeria zero para qualquer valor de .

Para esboçar o gráfico da função seno, vamos usar alguns valores conhecidos da função usando os chamados “ângulos notáveis” e algumas relações do círculo trigonométrico. Juntei tudo nessa tabelinha abaixo:

Agora, marcando esses pontos no gráfico e ligando para formar nossa curva, teremos essa belezinha aqui

E um fato extremamente interessante é que essa curva continua se repetindo indefinidamente, à medida que aumentamos ou diminuímos os valores de x:

Obs: Esse de qualquer função trigonométrica SEMPRE será dado em radianos, assim como fazemos no círculo trigonométrico. Não se esqueça disso!!!

Observe que o gráfico se repete de em o que isso significa?

O PERÍODO DA FUNÇÃO SENO É !!!

Mas qual será o período de uma função como essa daqui:

Para achar o período da função, pegamos o argumento, que é tudo que fica dentro do seno, substituímos o pelo que é a letra que representa o período e igualamos isso a , que é o período da função . Olha só:

Vamos comparar os gráficos!

Repara que a curva azul, que representa , se repete duas vezes no intervalo que a vermelha, que representa repete uma só. Isso acontece porque o período de é a metade do período de !

Mas e se tivéssemos

Repetindo aquele procedimento, temos

E quando temos números somando ou subtraindo dentro do seno, podemos ignorar esse valor! Igualamos a só a parte que multiplica . Então,

O termo que soma apenas desloca a função um pouquinho pro lado, mas o período é o mesmo. Vamos dar uma olhada no gráfico!

Função Cosseno

A função cosseno é dada por:

Ela funciona de um jeito MUITO parecido com a função seno, então muito do que vimos até aqui podemos estender pra função cosseno, por exemplo: o domínio da função cosseno também é dado pelo conjunto dos números reais:

E, assim como o seno, os valores que saem da função também oscilam entre , por isso a imagem também é:

E quando tivermos uma constante multiplicando a função, ficamos com:

O gráfico dessa belezinha será igual ao do seno, mas um pouco deslocado e nós montamos ele da mesma forma que fizemos no da função seno, mas agora usando os valores que temos para o cosseno. Observe que temos os mesmos números aparecendo nas duas funções, só que em lugares diferentes:

Marcando esses pontos num gráfico, temos

E se expandirmos a construção desse gráfico para a esquerda e direita, temos

A função cosseno também é periódica, se repetindo a cada , que é a medida de uma volta completa no círculo trigonométrico, assim como o seno! E da mesma forma, se o argumento da função cosseno mudar, a gente pode calcular o período fazendo o mesmo procedimento:

Na aula de hoje as funções Seno e Cosseno serão definidas conceitualmente e geometricamente por meio dos seus gráficos. Serão abordados ainda as variações de seu sinal no ciclo trigonométrico e algumas propriedades.

Confira esta aula e arrase em matemática no Enem e nos vestibulares. É hora de mergulhar mais fundo e aprender (ou lembrar) Seno e Cosseno.

Vamos considerar o triângulo da figura abaixo:

Em um triângulo retângulo, temos dois lados que formam ângulos com a hipotenusa, então para não criar confusões, denomina-se o lado sempre tomando como referência o ângulo ao qual ele está relacionado.

Para isso, acompanhe a tabela a seguir:

O lado adjacente, na tabela acima, é o lado que descreve o ângulo junto com a hipotenusa.

Está complicando? Então, vamos dar uma parada e resolver um exercício básico de Trigonometria. Vai ajudar você a continuar.

https://youtu.be/eGv5yeylFy0

Agora que você já entendeu o processo básico da Trigonometria, vamos trabalhar a ideia principal desse post. que é dominar Seno e Cosseno dentro do mundo da Trigonometria.

A Lei do Seno

A lei dos senos é usada quando temos um triângulo e sabemos os valores de dois ângulos e um lado. Quando temos os valores de dois lados e um ângulo, usamos a lei dos cossenos.

A lei dos senos diz o seguinte: se eu tenho um lado qualquer e divido pelo seno do ângulo que enxerga esse lado, isso é igual que um outro lado dividido pelo seno do seu ângulo. Ou seja, a fórmula da lei dos senos é: a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C).

Para aplicar a lei dos senos, temos que definir qual ângulo está associado a qual lado para montar a fórmula. Para ficar mais fácil de visualizar, no vídeo, o professor Lucas faz uma demonstração de como aplicar a lei dos senos em um exercício!

Para aprender a usar a lei dos senos, veja na aula seguinte com o professor Lucas Borguesan, do canal do Curso Enem Gratuito. Ele faz vários exercícios resolvidos de trigonometria mostrando como gabaritar questões de Matemática envolvendo a lei dos senos em um triângulo!

https://youtu.be/Tqo_V-mDdQw

Para continuar, veja agora o contexto que dá motivação deste estudo sobre as funções trigonométricas do Seno e do Cosseno.

Processo histórico

A essa altura, você já deve saber que a Matemática sempre andou de mãos dadas com a Astronomia, Agrimensura e as Navegações. E, por conta dessa proximidade, muitos dos problemas que surgiram com essas ciências utilizaram recursos da Álgebra e Geometria para encontrar suas respectivas soluções.

Por exemplo, no ENEM de 2009, caiu uma questão interessante que envolvia três irmãos que dividiriam uma herança com uma área de extração de ouro delimitada por uma região circular.

Se tomarmos emprestado uma parte desse problema, teríamos a seguinte figura geométrica:

E, para encontrar o valor do lado X deste triângulo usaremos as relações trigonométricas, pois com elas podemos associar as razões entre dois lados (oposto e adjacente) a uma medida específica de cada ângulo.

No nosso caso, podemos fazer três associações:

Ângulo	1ª Razão	2ª Razão	3ª Razão
30°	x/hipotenusa	2/hipotenusa	x/2

Para a 1ª razão, damos o nome de SENO.

Já para a 2ª razão, damos o nome de COSSENO e para a 3ª razão, damos o nome de TANGENTE.

Variação da função seno

Gráfico

Veja a Lei do Cosseno

Acompanhe com o professor Lucas Borguesan, a Lei do Cosseno.

https://youtu.be/_Ib2Rw7sYzE

A lei dos cossenos é usada quando temos um triângulo e só sabemos os valores de dois dos seus lados e o valor de um dos ângulos.
Se for um triângulo retângulo, ou seja, um triângulo com um ângulo reto, seria possível resolver o problema com o Teorema de Pitágoras.
Contudo, em outros tipos de retângulos é preciso aplicar a lei dos cossenos. A fórmula da lei dos cossenos, inclusive, é bastante parecida com o Teorema de Pitágoras, então é importante prestar atenção para não confundir as fórmulas.
A fórmula da lei dos cossenos é a² = b² + c² – 2.b.c.cos(A)
Na hora de aplicar a lei dos cossenos, lembre-se de que a “hipotenusa” é o lado oposto ao ângulo cujo valor é conhecido. Ou seja, o temos o valor do lado a e o valor do ângulo A, cujo cosseno precisamos descobrir caso o enunciado do exercício não informar.

Veja agora aplicações da Função Cosseno

Gráfico

Para ajudar ainda mais nesta revisão, assista a vídeoaula abaixo e acabe com as dúvidas sobre a função cosseno. Não esqueça de resolver os exercícios!

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