Como retirar a raiz quadrada de fatores

Fatorar quebra um número grande em dois ou mais fatores menores, por exemplo, transformando 9 em 3 x 3. Assim que descobrimos esses fatores, podemos reescrever a raiz quadrada numa forma mais simples, às vezes até transformando-a num número inteiro normal. Por exemplo, √9 = √(3x3) = 3. Este método para o cálculo da raiz quadrada de um número a consiste em procurar números cujos quadrados se aproximem cada vez mais de a. = C ⇔ CK = D, com C ∈ R, e C > 0 se K for par. Chamamos a o radicando, b a raiz e n o índice. Quando nos depararmos com uma raiz de outra raiz, basta conservar o radicando e multiplicar os índices das raízes. A propriedade 7 afirma que, em uma raiz n-ésima de uma potência, podemos multiplicar o índice e o expoente do radicando por qualquer número desde que seja diferente de 0. A regra é a seguinte: Se houver fatores iguais no numerador e no denominador, esses fatores podem ser cortados. Lembre-se: a divisão entre eles vai dar 1, o que não influencia uma divisão ou multiplicação. Como esses fatores simplesmente somem, esse processo ficou conhecido como “cortar”. Quando ∆ < 0, chega-se a uma raiz quadrada de número negativo, que não pode ser resolvida no conjunto dos números reais. Desta forma, não existem raízes reais, por isso não é necessário calculá-las (pelo menos não no nível médio). b = (int)sqrt( a ); Entendendo: a função sqrt, contida se não me engano em math. h retorna um número ponto flutuante correspondente a raiz quadrada do número. Então "convertemos" esse número a um inteiro e atribuimos à variável 'b'. Outra forma de calcular a raiz quadrada de um número em Python é com o emprego da função matemática pow(). Basta empregarmos esta função para elevar o número à potência de 1/2 (0.5) e obteremos sua raiz. O método pow() também pertence ao módulo math. Vai depender do expoente da letra, ou seja, do radicando; se for múltiplo de dois, fica mais fácil, mas se não for, também não é complicado. Ex: a)√m² = m ⇒expoente igual ao índice, vc simplifica e pronto. b) √m^6 = √m² . Quando temos duas raízes desse modo, resolvemos primeiramente a raiz de dentro e, com o resultado, resolvemos a segunda raiz. Por exemplo, raiz quadrada da raiz quadrada de 16. Por exemplo, sabemos que a raiz quadrada de 25 (√25) é 5, pois 5 x 5 = 25.

Como extrair raiz quadrada de um número é uma dor de cabeça pra você?

No vídeo abaixo mostro uma técnica muito simples e diferente que ensina como extrair raiz quadrada de um número em poucos passos.

Não importa em que nível nos encontramos: primeiro, segundo ou terceiro grau, sempre precisaremos fazer cálculos de raízes. Quando estamos resolvendo questões de Matemática e nos deparamos com uma raiz quadrada, no meio de um cálculo, dependendo da situação, somos obrigados a recorrer a uma calculadora, por ser mais rápido e confortável, mas nem sempre isso é possível.

Determinar a raiz quadrada de um número consiste em calcular o número que, elevado ao quadrado, determina esse mesmo valor.

Vamos exemplificar: ao encontrarmos a raiz quadrada do número 9 encontramos o valor 3, pois 3² é igual a 9.

Os números menores podem ser calculados usando a técnica da decomposição dos números primos, mas para os números grandes precisamos de uma técnica mais rápida e mais simples (descrita no vídeo), pois a fatoração pode ser muito trabalhosa.

o decompomos um número em fatores primos temos identificar se o número em questão é um quadrado perfeito.

Uma das formas mais fáceis é fatorar esse número e separá-lo em grupos, representando esse número em uma multiplicação de fatores primos.

Veja no exemplo abaixo:

Vamos então extrair a raiz quadrada do número 144

Antes precisamos fatorar e unir os termos semelhantes, dois a dois.

Como extrair Raiz Quadrada

√144 = √22x22x32 = 2 x 2 x 3 = 12

Para tirar a prova real é só multiplicar a raiz 12 por ela mesmo: 12 x 12 = 144

Bem, se você dominar a técnica (mostrada na vídeo aula abaixo) de como extrair a raiz quadrada manualmente de NÚMEROS EXATOS, garanto que poderá fazê-la em uma fração de segundos.

Com essa técnica você será capaz de entender :

Como extrair Raiz Quadrada
Como extrair Raiz Cúbica
Como extrair Raiz Quarta
… e muito mais!

Basta seguir algumas regras básicas que estão aqui no vídeo:

Sabe aquelas raízes que não estão memorizadas como as de 625, 1225, 2304 e 20164, pois é agora você poderá resolver de forma fácil e rápida.

É só treinar que você pega o jeito. Assista ao vídeo e repita os exercícios feitos lá. Então treine com outros números. Com esse esquema você nunca mais vai precisar de calculadora pra isso, pode acreditar!

Matemática Básica no curso Gênio

Se você quer aprofundar a Matemática básica e conteúdos de todo o segundo grau, com técnicas tão simples quanto essa na qual vocês aprenderam como extrair raiz quadrada, então veja abaixo.

Quero apresentar o curso online Gênio da Matemática. Nele você encontrará um treinamento muito forte em Matemática básica que é o início de toda a sua formação no estudo dessa disciplina. Saiba mais no curso online Gênio da Matemática.

Curso Online de Matemática

Prof. Regis Cortês

Uma das estratégias mais usadas para calcular raízes é a fatoração. Para tanto, utiliza-se o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades de raízes. Assim, o radicando é decomposto em fatores primos, que são reagrupados para facilitar os cálculos. Antes de falarmos sobre o cálculo de raízes em si, precisamos relembrar o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades.

→ Teorema fundamental da aritmética

Todo número inteiro pode ser decomposto em uma multiplicação em que todos os fatores são primos. Essa decomposição é única, exceto, é claro, pela permutação de seus fatores. Os números inteiros que aparentemente não podem ser decompostos em fatores primos são os próprios números primos. Contudo, é possível dizer que a decomposição em fatores primos de um número primo tem como resultado um único fator, que é o próprio número.

Exemplos:

a) 192 = 25·3

b) 75 = 3·52

c) 300 = 2·3·52

→ Propriedades dos radicais para o cálculo de raízes

Para o cálculo de raízes por meio de fatoração, são utilizadas as duas propriedades seguintes:

A primeira garante que a raiz do produto é igual ao produto das raízes, e a segunda afirma que, quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz é a base do radicando.

→ Cálculo de raízes não exatas por meio fatoração

Segue o passo a passo para calcular raízes não exatas (e exatas também) por fatoração:

Passo 1: Fatore o radicando

Se o radicando de uma raiz for um número inteiro, é possível reescrever esse número como produto de fatores primos, como garante o teorema fundamental da aritmética.

Passo 2: Reagrupe os fatores primos

Feito isso, reescreva os fatores primos em fatores cujo expoente seja igual ao índice do radicando.

Passo 3: Aplique a propriedade I

Cada fator precisa ficar dentro de um radical para que a segunda propriedade seja aplicada.

Passo 4: Aplique a propriedade II

Esse passo fará com que o radical seja simplificado à raiz de algum fator primo. Observe que é sempre mais fácil calcular a raiz de um fator primo do que de um número composto maior que ele.

Passo 5: Cálculo numérico

Se necessário, faça o cálculo numérico da raiz restante e multiplique todos os resultados.

Exemplo:

Sabendo que a raiz quarta de 2 é 1,19, calcule a raiz quarta de 2592.

Solução:

Pelo passo 1, devemos fazer a fatoração de 2592:

2592|2 1296|2 648|2 324|2 162|2 81|3 27|3 9|3 3|3

2592 = 25·34

Pelo passo 2, devemos reescrever os fatores primos com expoentes iguais a 4. Se sobrarem fatores insuficientes para isso, devemos escrevê-los com o maior expoente possível:

2592 = 25·34 = 24·2·34 = 34·24·2

Pelo passo 3, substituímos 2592 pela sua fatoração dentro do radical e fazemos o seguinte:

Já o quarto passo garante a simplificação dos dois primeiros fatores. Observe que já é possível substituir o último fator pelo seu valor numérico, que é 1,19.

Por fim, note que o quinto passo também já foi aplicado na imagem acima.