A forma fatorada do polinômio que representa o perímetro da figura abaixo é

2: a) (x - 4)2 = (x)2 - 2⋅(x)⋅(4) + (4)2 = x2 - 8x + 16 b) (2y - 5)2 = (2y)2 - 2⋅(2y)⋅(5) + (5)2 = 4y2 - 20y + 25 c) (m2 - 7p3)2 = (m2)2 - 2⋅(m2)⋅( 7p3) + (7p3)2 = m4 + 14m2p3 + 49p6 7 3 – PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS: Podemos observar que o primeiro produto notável baseia-se em uma soma multiplicada por uma soma, vimos também, que no segundo, uma diferença multiplicada por uma diferença. O presente produto notável é uma soma de dois termos multiplicada pela diferença destes mesmos termos, veja: �� � �� ⋅ �� �� � �² � �� �� – �² � �² �² Assim, �� � �� ⋅ �� �� � �² �² Podemos concluir que o produto da soma pela diferença de dois termos obedece a uma regularidade e têm o seguinte padrão, observe no quadro a seguir: EXEMPLO 3: a) (a - 4) (a + 4)= (a)2 - (4)2 = a2 - 16 b) (3k - 8)2 = (3k)2 - (8)2 = 9k2 - 64 c) (m2 - np3)2 = (m2)2 - (np3)2 = m4 - n2p6 Caro aluno, chegou a hora de praticar! Resolva as atividades a seguir para exercitar os conhecimentos que você aprendeu e em caso de dúvidas, retorne aos exemplos apresentados. 8 01. Desenvolva os seguintes quadrados abaixo: a) (x + y)2 b) (c3 + 6)2 c) (3m2 + 4n)2 d) (7x2 + 2xy)2 e) (ac3 + b2)2 02. Desenvolva os seguintes quadrados abaixo: a) (x - y)2 b) (2x2 - 3)2 c) (3p2 - 2q)2 d) (1 - 4r3)2 e) (a2c3 - 2x2)2 03. Calcule os seguintes produtos: a) (x + y)⋅(x - y) b) (m + 1)⋅(m - 1) c) (2 + 7a2)⋅(2 - 7a2) d) (a2b + c3)⋅(a2b - c3) e) (t - 6)⋅(t + 6) 04. Efetue: a) (x + 3)2 + x2 - 7x b) (x + 1)2 + (x - 1)2 + (x + 1)⋅(x - 1) c) (3a - 1)2 + (a - 2)2 d) (m + 1)⋅(m - 1) - (m - 1)2 e) (p + 5)2 - (p - 5)2 Atividade 1 9 Caro aluno, nesta presente aula vamos estudar produtos notáveis associados à geometria. Você sabia que esses produtos representam áreas de figuras planas? É através destas representações que iremos trabalhar esses produtos. Vamos à aula! 1 – QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS: Considere um quadrado de lado a + b, conforme a figura abaixo: Como a área de um quadrado de lado l é l 2, e este quadrado tem lado (a+b) então a área é (a + b)2. Vamos separar as quatro partes em que o quadrado está dividido e indicar na região interior de cada parte a expressão algébrica que representa sua respectiva área. Observe que ao somarmos as áreas coloridas, teremos a2 + 2⋅a⋅b + b2. Aula 2: Produtos notáveis e suas representações geométricas 10 Logo, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Assim, podemos afirmar, geometricamente, que calcular (a + b)2 é o mesmo que calcular a área de uma região quadrada de lado (a + b). 2 – QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS: Vamos considerar a figura abaixo: Através dela, vamos conhecer a expressão que representa a área do quadrado rosa cujo lado mede a – b e, portanto, com área (a – b)2. Separando as quatro partes em que o quadrado está dividido e escrevendo no interior de cada a expressão respectiva que representa a área, temos: Observe que a área do quadrado rosa é igual a área do quadrado de lado a, menos a soma das duas áreas dos retângulos verdes com a área do quadrado laranja, cujo lado mede b , isto é: (a – b)2 = a2 – [2⋅b⋅(a – b) + b2] (a – b)2 = a2 – [2ab – 2b2 + b2] 11 (a – b)2 = a2 – [2ab – b2] (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Assim, podemos afirmar, geometricamente, que calcular (a – b)2 é o mesmo que calcular a área de uma região quadrada de lado (a - b). 3 – PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS: Considere a figura abaixo: Agora vamos conhecer a expressão que representa a área do retângulo lilás. Observe que a base desse retângulo mede a + b e sua altura, a –b. Como a altura de retângulo é determinada pelo produto da base pela altura, a área do retângulo lilás é igual ao produto (a + b)⋅(a – b). Observe também que a área do retângulo I é dada por a⋅(a – b) e a área do retângulo II, por b⋅(a – b). Assim, nota-se que a área do retângulo lilás é equivalente a soma das áreas de I e (a + b)⋅(a – b) = a⋅(a – b) + b⋅(a – b) (a + b)⋅(a – b) = a2 – ab + ab – b2 (a + b)⋅(a – b) = a2 – b2 Desta forma, geometricamente, equivale à área de uma região retangular de lados (a + b) e (a – b). 12 EXEMPLO 1: Determine o polinômio que representa a área do quadrado ABCD. Resolução: Desenvolvendo (x + 5) 2 = (x) 2 + 2(x)(5) + (5) 2 = x 2 + 10x + 25 Logo, o polinômio procurado que representa a área do quadrado é x 2 + 10x + 25. EXEMPLO 2: Com base na figura, determine o polinômio que representa a área do quadrado azul. Resolução: Para determinar a área do quadrado azul, basta fazer o seguinte desenvolvimento: (a - b) 2 = (a 2 + b 2 ) - 2ab = a 2 - 2ab + b 2 Logo, o polinômio procurado que representa a área do quadrado azul é a 2 - 2ab + b 2 . 13 EXEMPLO 3: Calcule a área da figura abaixo: Resolução: Para obter a área da figura deve-se efetuar (4) 2 - (1) 2 = 16 - 1 = 15 Assim, a área do polígono é 15m 2 . Caro aluno chegou a hora de praticar! Resolva as atividades a seguir para exercitar os conhecimentos que você aprendeu e em caso de dúvidas, retorne aos exemplos apresentados. 01. Um quadrado de lado com medida igual a x cm teve seus lados aumentados em 2 cm. a) Qual expressão algébrica representa a área desse quadrado aumentado, em centímetros quadrados? Atividade 2 14 b) Qual expressão algébrica representa o aumento da área desse quadrado? 02. A sentença (x + 30)⋅(x - 30) expressa a área de um retângulo de 700 m2. Qual o valor de x? 03. Escreva as expressões algébricas que representam o perímetro e a área da figura. 04. Calcule o valor de (x - y)2 sabendo que x2 + y2 = 65 e xy = 28. 15 Caro aluno, nesta aula vamos estudar sobre fatoração. Inicialmente fatorar significa transformar em produto, assim fatorar um polinômio significa escrever esse polinômio como uma multiplicação de polinômios. 1 – FATOR COMUM: Quando os termos de um polinômio possuem um fator comum, podemos colocá-lo em evidência e obter uma forma fatorada do polinômio. EXEMPLO 1: a) 3a + 3b = 3(a + b) b) 3 + 9x - 12y = 3⋅1 + 3⋅3x - 3⋅4y =3(1 + 3x - 4y) c) 8x3 - 6x2 + 2x = 2⋅4x3 - 2⋅3x2 + 2x = 2(4x3 - 3x2 + x) 2 – FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO: Algumas fatorações são um pouco mais complexas, por exemplo fatorar alguns polinômios onde não há fatores comuns em todos os seus termos. Neste caso, geralmente, é possível separá-los em grupos de tal forma que em cada grupo exista um fator comum. Assim, fatorando cada grupo, observamos que eles apresentam um novo fator comum, que ao ser colocado em evidência, completa-se a fatoração. EXEMPLO 2: a) ax + ay + bx + by + cx + cy = a(x + y) + b(x + y) + c(x + y) = (x + y)(a + b + c) b) 2x2 - 4x + 3xy - 6y = 2x(x - 2) + 3y(x - 2) = (x - 2)(2x + 3y) c) p3 - 5p2 + 4p - 20 = p2(p - 5) + 4(p - 5) = (p - 5) (p2 - 4) Aula 3: Fatoração algébrica 16 3 – FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS: A forma fatorada de uma diferença de dois quadrados é o produto da soma pela diferença das bases deles na ordem dada, isto é: a2 - b2 = (a + b)(a - b) EXEMPLO 3: a) x2 - 25 = x2 - 52 = (x + 5)(x - 5) b) 4a2 - 9 = (2a)2 - (3)2 = (2a + 3)(2a - 3) c) a6 - m2n4 = (a3)2 - (mn2)2 = (a3 + mn2) (a3 - mn2) 4 – FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO: O polinômio a2 + 2ab + b2 é denominado trinômio quadrado perfeito, pois tem três termos (monômios) e é um quadrado perfeito, pois é igual ao quadrado do binômio (a + b), isto é: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 O polinômio a2 - 2ab + b2 também é um trinômio quadrado perfeito, pois é igual ao quadrado do binômio