Como extrair o quadrado perfeito da raiz

Existem alguns padrões na Matemática que nos despertam a curiosidade e podem estar relacionados com alguma sequência numérica. Quando vemos números enfileirados, logo nos questionamos sobre o seu padrão de formação. Veja os números a seguir:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 …

Qual deve ser a lógica dessa sequência? A resposta está no número quadrado perfeito. Entenda que um número será quadrado perfeito quando ele for um número inteiro e o seu quadrado gerar outro número inteiro positivo. Veja:

12 = 1 . 1 = 1
22 = 2. 2 = 4
32 = 3 . 3 = 9
42 = 4 . 4 = 16
52 = 5 . 5 = 25
62 = 6 . 6 = 36
72 = 7 . 7 = 49
82 = 8 . 8 = 64
92 = 9 . 9 = 81
102 = 10 . 10 = 100 . .

.

Após observar esses cálculos, é possível determinar um padrão de formação, que é dado por:

n2 = n . n = a
n2 = a

• (n2) é o número inteiro positivo;

• (n . n) é o produto de termos numéricos idênticos, que são positivos;

• (a) é o número quadrado perfeito.

Exitem algumas regras práticas que ajudam a identificar os números que são quadrados perfeitos.

Primeira Regra: Somente o número quadrado perfeito possui raiz quadrada exata.

Exemplos:

Veja o cálculo da raiz quadrada dos números a seguir:

Segunda Regra: Quando o número é quadrado perfeito, ele não possui como último algarismo os seguintes números: 2, 3, 7 e 8.

Terceira Regra: Todo número quadrado perfeito que for par possuirá raiz quadrada par. Lembre-se de que um número é considerado par quando for dividido por dois e resultar em um número inteiro.

Exemplos:

Verifique se os números 4, 9 e 16 são pares e calcule a raiz quadrada deles:

4 : 2 = 2 → Temos que 4 é um número par; 9 : 2 = 4,5 → O número 9 não é par;

16 : 2 = 8 → O número quadrado perfeito 16 é par.

Quarta Regra: Um número par será quadrado perfeito se, ao ser dividido por 4, resultar em um número inteiro.

Quinta Regra: Todo número quadrado perfeito que é ímpar possui raiz quadrada ímpar. Um número será ímpar quando ele for dividido por dois e resultar em um número que não é inteiro, ou seja, um número decimal.

Exemplos

Considere os números 100 e 121. Verifique qual é ímpar e calcule a sua raiz quadrada.

100 : 2 = 50 → 100 é par;
121 : 2 = 60,5 → 121 é ímpar.

A raiz quadrada de 121 é 11. Sendo assim, a quinta regra é valida, pois número quadrado perfeito ímpar possui raiz quadrada ímpar.

Sexta Regra: Ao dividir um número quadrado perfeito ímpar por oito, o resto sempre será o número 1.

Exemplos:

Verifique se os números 9 e 25 deixam resto 1 ao serem divididos por 8:

9 | 8 8  1

1

25 | 8 24  3

1

Observando as divisões acima, verificamos que a sexta regra é valida para os números que são ímpares e quadrados perfeitos.

Por Naysa Oliveira

Graduada em Matemática

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

Um quadrado perfeito ou número quadrado perfeito é um número natural que se radicado, possui como resultado outro número natural.

Ou seja, são resultados da operação de um número multiplicado por ele mesmo.

Exemplo:

• 1 × 1 = 1
• 2 × 2 = 4
• 3 × 3 = 9
• 4 × 4 = 16
  (...)

A fórmula do quadrado perfeito é representada por: n × n = a ou n2 = a. Desse modo, n é um número natural e a é um número quadrado perfeito.

O que são os números quadrados perfeitos?

A definição de um número quadrado perfeito pode ser entendida como: um número natural (inteiro positivo) cuja raiz quadrada é, também, um número natural (inteiro positivo).

Em outras palavras, é um número que, ao extrair a raiz quadrada, o resultado é exato.

Assim temos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...

√1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 =6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10...

Se tomarmos a geometria como base, podemos pensar que um quadrado é a figura que possui os lados com a mesma medida.

Assim, a área do quadrado é L × L ou L2.

Todo quadrado cujos lados forem números inteiros, serão quadrados perfeitos.

Como saber se um número é um quadrado perfeito?

Se ele possui uma raiz quadrada exata, a partir da fatoração de um número e, caso ele seja o resultado do quadrado de outros números, podemos dizer que é um quadrado perfeito.

Exemplo:
2 704 é um quadrado perfeito?

Para responder à pergunta é preciso fatorar 2 704.

Daí, temos: 2 704 = 2 × 2 × 2 × 2 × 13 × 13 = 24 × 132 .

Outra forma de escrever é organizando as potências na forma de quadrados.

2 704 é o número quadrado perfeito de 52.

Portanto, a raiz quadrada de 2 704 é 52.

Regras do quadrado perfeito

• Um número quadrado perfeito é aquele que possui uma raiz exata.
• Um número quadrado perfeito ímpar possui sua raiz ímpar e um par possui uma raiz par.
• Números quadrados perfeitos nunca terminam com os algarismos 2, 3, 7 e 8.
• Números terminados em 0 possuem quadrados terminados em 00.
• Números terminados em 1 ou 9 possuem quadrados terminados em 1.
• Números terminados em 2 ou 8 possuem quadrados terminados em 4.
• Números terminados em 3 ou 7 possuem quadrados terminados em 9.
• Números terminados em 4 ou 6 possuem quadrados terminados em 6.
• Números terminados em 5 possuem quadrados terminados em 25

Outras relações

O quadrado de um número é igual ao produto de seus adjacentes mais um. Por exemplo: o quadrado de sete (72) é igual ao produto de seus números adjacentes (6 e 8) mais 1. Desta forma: 72 = 6 × 8 + 1 = 48 + 1 = 49.

Os quadrados perfeitos são resultados de uma sucessão matemática entre o quadrado perfeito anterior e uma progressão aritmética.

12 = 1
22 = 1 + 3 = 4
32 = 4 + 5 = 9
42 = 9 + 7 = 16
52 = 16 + 9 = 25
62 = 25 + 11 = 36
72 = 36 + 13 = 49
82 = 49 + 15 = 64
92 = 64 + 17 = 81
102 = 81 + 19 = 100...

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Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.