Dados os números 1,2,3,4,5,6,7 e 8, quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados? Para o número ser par, é necessário que ele termine em par. Dentre os números temos 4 pares (2,4,6,8). Logo são 4 possibilidades para o último algarismo. Show
Quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 e 8?Resposta: Podem ser formados 20160 algarismos com números distintos. Como ele tem que ser par, o último número não pode ser 9, 7, 5 ou 3. Logo sobra de opção para o último número 2, 4, 6 e 8. Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 e 8?Resposta: Podemos formar 168 números pares de 3 algarismos com os números 1,2,3,4,5,6,7 e 8. Quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar utilizando os dígitos 1 2 3 4 e 5?Verificado por especialistas. Utilizando lógica de analise combinatória, temos que existem 24 números pares formados por estes algarismo distintos. Ou seja, estes 3 espaços representam os lugares de cada algarismo do número mas colocaremos somente as quantidade possíveis de combinação em cada um. Como os algarismos 1 2 3 4 5 e 6?Resposta. 》Como os números são naturais, logo são todos positivos. Para todas as casas temos 6 opções (1, 2, 3, 4, 5 e 6) já que os algarismos não precisam ser distintos. ... Assim, podem ser formados 360 números de 4 algarismos distintos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4 5 e 6?Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 6*5*4 = 120 números de três algarismos distintos. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4 5 e 6 incluindo sempre o algarismo 5?RESPOSTA: (1. Quantos números ímpares de 4 algarismos podem ser formados com os dígitos 1 2 3 4 5 e 6?04 - (CESCEA –77) Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetição podem ser formados com os dígitos 1,2,3,4,5 e 6? Solução:- São 6 algarismo, sendo 3 pares e 3 ímpares. Portanto, a metade dos números de quatro algarismos será ímpar. A quantidade dos números de 4 algarismos A6,4 = 6. Quantos números ímpares de 4 algarismos sem repetir num mesmo número?Resposta. São 'n' números de 4 algarismos distintos e temos {1,2,3,4,5,6,7 e 8} de escolha e são somente números ímpares. Portanto são 840 números que podem ser formados. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4 5 6 e 7?336 números. Com os algarismos 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 quantos números naturais de 3 algarismos existem? Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4 5 6 e 9?Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9. Resposta: P(5)=120. Quantos números com algarismos distintos poderemos ter com os números 1 2 3 4 e 5?pede números de 3 algarismos distintos ou seja sem repetir números: 5 * 4 * 3 = 60 números. Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0 1 2 3 4 5 e 6?Quantos números pares de três algarismos distintos, podemos formar com os algarismos (1,2,3,4,5,6,7)? 18 x 5 = 90 números. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar usando 1 2 3 4 5 6?Portanto, são 120 os números de 3 algarismos distintos formados pelos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4 5 e 7?Resposta. Resposta: 120 números de 3 algarismos distintos. Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4 5 6 e 7?Depende: Se for de 3 algarismos distintos basta multiplicar a probabilidade de cada um ocorrer, então basta fazer 7 x 6 x 5 = 210 números. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar considerando apenas 1 2 3 4 5 7?Para o terceiro traço, existem 5 possibilidades (1, 3, 5, 7 ou 9); Para o primeiro traço, existem 8 possibilidades; Para o segundo traço, existem 8 possibilidades. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, existem 5. Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 1 2 3 e 4?Desse modo, a quantidade de números com três algarismos distintos que se poderá formar com 1, 2, 3 e 4 será a multiplicação entre as possibilidades de escolha: 4*3*2= 24. Portanto, há 24 possíveis números que respeitariam as regras do enunciado. Bons estudos! Quantos números de até 4 algarismos podemos formar com os dígitos 1 2 3 e 4?No item A), calculamos todas as possibilidades de formar números de 4 algarismos sem repetição. Logo, basta subtrairmos a quantidade de números pares do total. 360 - 180 = 180 números. Quantos números pares de quatro algarismos distintos podemos formar usando os algarismos 1 2 3 5 7 e 9?Podemos formar 24 números pares de 4 algarismos. Quantos números de até 4 algarismos podemos formar com os dígitos 4 5 6 7 8?Podem ser formados 120 números; Existem 48 números ímpares. Quantos números de 5 algarismos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 9?e para o quanto, 5. 9. Quantos números de quatro algarismos podemos escrever com os algarismos 2 4 6 e 8 é de 4 algarismos distintos?Como não há nenhuma restrição, na primeira lacuna pode ir 4 numeros (2,4,6,8), na segunda também, na terceira também e na quarta também. Porém, agora o exercício pede sem repetição, ou seja, 4 algarismos distintos.
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Todos os agrupamentos estão no conjunto:Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}Número de Arranjos simples Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (pc1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmCada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha.Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmPara escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmApós a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmSe continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:RetiradaNúmero de possibilidades1m2m-13m-2......pm-p+1No.de arranjosm(m-1)(m-2)...(m-p+1)Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.O conjunto solução é:{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?XYZ-1234Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.Número de Permutações simplesEste é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementosRetiradaNúmero de possibilidades1m2m-1......pm-p+1......m-23m-12m1No.de permutaçõesm(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:A(m,m) = P(m)Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:P(m) = m!Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:0!=1Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}Número de Combinações simplesSeja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:C(m,p) = A(m,p) / p!ComoA(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)então:C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!que pode ser reescritoC(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!e o denominador ficará:p! (m-p)!Princípio fundamental da contagemSe determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:T = k1. k2 . k3 . ... . knExemplo:O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?Solução:Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos.ExercíciosPermutação1-Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutações podem ser formadas contendo as letras: A,E e I.2-De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?Auxílio: P(n)=n!, n=3Resposta: N=1×2×3=63-De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?Auxílio: P(n)=n!, n=5Resposta: N=1×2×3×4×5=1204-Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR?Auxílio: P(n)=n!, n=4Resposta: N=1×2×3×4=245-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9.Auxílio:Resposta: P(5)=120.6-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.Auxílio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4 grupos.Resposta: N=2×P(4)=2×24=487-Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutações começam por uma determinada letra?Resposta: N=P(n-1)=(n-1)!8-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI?Resposta: P(9)=9!9-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por A?Resposta: P(8)=8!10-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por AB?Resposta: P(7)=7!Combinação simples11-Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros?12-Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3Resposta: C=8!/(3!5!)=(8×7×6)/(1×2×3)=5613-Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=1000, p=2Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000×999=99900014-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?Conceito: CombinaçãoAuxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=10, p=4Resposta: C=10!/(4!6!)=(10×9×8×7)/(1×2×3×4)=21015-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra A?Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=1, p1=1Resposta: C=C(1,1).C(9,3)=(1×9×8×7)/6=8416-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras A e B?Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=2Resposta: C=C(2,2).C(8,2)=(1×8×7)/2=2817-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que não contenham nem as letras A e B?Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=0Resposta: C=C(2,0).C(8,4)=(1×8×7×6×5)/24=7018-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras A ou B esteja presente, mas não as duas?Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=1Resposta: C=C(2,1).C(8,3)=(2×8×7×6)/6=11219-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que contêm 2 dentre as 3 letras A,B e C?Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=3, p1=2Resposta: C=C(3,2).C(7,2)=(3×7×6)/2=6320-Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?21-Calcular o valor de m tal que 5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2).Arranjo simples22-Quantos números diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.Resposta: N1=A(9,1)=923-Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 2 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,1).Resposta: N2=A(10,2)-A(9,1)=10×9-9=90-9=8124-Quantos números distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,2).Resposta: N3=A(10,3)-A(9,2)=720-720=64825-Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,3).Resposta: N4=A(10,4)-A(9,3)=5040-504=453626-Quantos números distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismos diferentes da coleção: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Resposta: N=N1+N2+N3+N4=9+81+648+4536=527427-No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos?Auxílio: A quantidade de números distintos com 4 algarismos é 4536 e a quantidade total de números (com repetição ou não) com 4 algarismos é 9000.Resposta: N=9000-4536=446428-Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o conjunto solução que contém todos os arranjos tomados 2 a 2.29-Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podem ser montados?Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=5, p=3Resposta: A=5!/2!=6030-Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantos números com 4 algarismos podem ser montados?Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=10, p=4Resposta: A=10!/6!=504031-Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3Resposta: A=26!/23!=26.25.24=1560032-Com as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z e os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos?Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3, n=10, q=4 Resposta: A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000 |
Usando-se os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9 quantos números com 4 algarismos podem ser montados
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