Quando falamos sobre volume de um sólido, estamos nos referindo à capacidade desse sólido. Veremos a seguir como calcular o volume do paralelepípedo, do cubo e do cone circular reto. Vale a pena ressaltar que, ao calcular o volume de um sólido, é necessário que todas as suas medidas possuam a mesma notação. Por exemplo, se uma das medidas está em centímetros e a outra é dada em metros, é necessário transformar uma delas para torná-la igual às demais. Um paralelepípedo retangular é um sólido de seis lados que possui faces retangulares planas e paralelas. Tente imaginar o paralelepípedo abaixo como uma piscina. Se nós queremos saber a capacidade dele, é o mesmo que dizer que queremos descobrir quanta água cabe nele. Para chegarmos a uma resposta, precisaremos analisar alguns dados desse sólido, como a largura e o comprimento do retângulo da base, bem como a altura ou profundidade.
Portanto, para calcular o volume do paralelepípedo, temos a seguinte fórmula: V = a . b . c Se considerarmos um paralelepípedo em que a largura da base meça 10 m, o comprimento da base, 5 m, e a altura do paralelepípedo meça 8 m, teremos o seguinte volume: V = (10 m) . (5 m) . (8 m) V = 400 m3 Temos um tipo especial de paralelepípedo retângulo, o cubo — um sólido com seis faces quadradas e com os mesmos comprimentos de lado. Temos abaixo um cubo cujas arestas medem a.
Para calcular o volume do cubo, vamos multiplicar as arestas, de modo que faremos a terceira potência dessa aresta: V = a . a . a V = a3 Se dissermos, por exemplo, que a aresta desse cubo mede 3 m, o volume dele será: V = (3m)3 v = 27 m3 Outro sólido que analisaremos é o cone circular reto. Esse sólido tem por características uma base circular de raio r, uma altura h, que forma um ângulo reto com a base, e uma geratriz g. A geratriz de um cone é o segmento de reta que liga o topo da altura às extremidades da base. Na figura a seguir, conseguimos ver com mais facilidade cada uma dessas estruturas:
Para calcularmos a área do cone circular reto, faremos: V = ⅓ π.r2.h Considere um cone cuja base tem raio 2 m e a altura mede 8 m. Considere π = 3,14. Calculemos o volume do cone: V = ⅓ π.r2.h V = 1 . 3,14 . 22 . 8 V = 3,14 . 4 . 8 V = 100,48 V ≈ 33,49 m3 Então o volume do cone é de, aproximadamente, 33,49 m3. Suponha agora que temos um cone circular reto em que a geratriz mede 5 m e a altura, 4 m. Para calcularmos o volume desse sólido, precisamos encontrar a medida do raio, para tanto, utilizaremos o Teorema de Pitágoras: g2 = h2 + r2 r2 = g2 – h2 r2 = 52 – 42 r2 = 25 – 16 r2 = 9 r = 3 m Agora que temos o valor do raio, podemos calcular o volume do cone utilizando a fórmula: V = ⅓ π.r2.h V = 1 . 3,14 . 32 . 4 V = 3,14 . 9 . 4 V = 113,04 V = 37,68 m3 Portanto, o volume desse cone circular reto é 37, 68 m3. Por Amanda Gonçalves Graduada em Matemática Resolva esta lista de exercícios sobre a área do cubo, sólido geométrico formado por seis quadrados congruentes. Questão 1
(Ufop) A área total de um cubo cuja diagonal mede 5√3 cm é: a) 140 cm² b) 150 cm² c) 120√2 cm² d) 100√3 cm² e) 450 cm²
Questão 2
Sabendo que a diagonal da base de um cubo mede 25√2 m, qual é a área desse cubo? a) 3750 m2 b) 625 m2 c) 25 m2 d) 3000 m2 e) 4000 m2
Questão 3
A aresta de um cubo mede 2x + 5 cm. Sabendo que a área desse cubo é igual a 486 cm2, qual é a medida de sua aresta em centímetros? a) 2 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 9 cm e) 81 cm
Questão 4
Sabendo que a área de um cubo é igual a 1536 cm, qual é a área da base desse cubo? a) 16 cm2 b) 32 cm2 c) 6 cm2 d) 34 cm2 e) 256 cm2
Resposta - Questão 1
A diagonal do cubo cuja aresta mede “a” pode ser encontrada pelo teorema de Pitágoras. Quando isso é feito, a diagonal “d” desse cubo é: d = a·√3 Sabendo que a diagonal desse cubo mede 5·√3, teremos: d = a·√3 5·√3 = a·√3 a·√3 = 5·√3 a = 5·√3 a = 5 Como sabemos que a medida da aresta desse cubo é 5, sua área é dada pela seguinte expressão: A = 6·a2 A = 6·a2 A = 6·52 A = 6·25 A = 150 cm2 Gabarito: alternativa B.
Resposta - Questão 2
A diagonal da base de um cubo é a hipotenusa do triângulo cujos catetos são iguais, que são arestas desse cubo. Logo, se encontrarmos a medida dessas arestas pelo teorema de Pitágoras, poderemos calcular a área do cubo. Como os catetos são iguais, por meio do teorema de Pitágoras, teremos: (25√2)2 = x2 + x2 (25)2(√2)2 = 2x2 625·2 = 2x2 625·2 = x2 625 = x2 √x2 = √625 x = 25 Sabendo que a aresta do cubo é 25, calcularemos a área a partir da expressão a seguir: A = 6·a2 A = 6·252 A = 6·625 A = 3750 m2 Gabarito: letra A.
Resposta - Questão 3
A expressão que determina a área de um cubo é a seguinte: A = 6·a2 Substituindo os valores fornecidos no exercício, teremos: 486 = 6·(2x + 5)2 486 = (2x + 5)2 81 = (2x + 5)2 √81 = √(2x + 5)2 9 = 2x + 5 – 2x = 5 – 9 – 2x = – 4 2x = 4 x = 2 Para encontrar a aresta, ainda falta substituir x na expressão dada no início: 2x + 5 = 2·2 + 4 = 9 cm Gabarito: alternativa D.
Resposta - Questão 4
A base de um cubo é um quadrado. Seu lado é igual à aresta do cubo. Logo, podemos calcular a área desse quadrado se descobrirmos primeiro a medida da aresta do cubo. Para tanto, usaremos a expressão a seguir: A = 6·a2 1536 = 6·a2 1536 = a2 256 = a2 √a2 = √256 a = 16 cm Agora basta calcular a área do quadrado, que possui lado igual a 16 cm. Essa área é determinada pela seguinte expressão: A = l2 A = 162 A = 256 cm2 Gabarito: letra E. Versão desktop Copyright © 2022 Rede Omnia - Todos os direitos reservados Proibida a reprodução total ou parcial sem prévia autorização (Inciso I do Artigo 29 Lei 9.610/98)
Responda os exercícios a seguir para treinar sobre como calcular a área do cubo. 1) Determine a área de um cubo cuja aresta possui medida igual a 3 cm. Ver resposta
Um cubo é um poliedro cujas arestas possuem as mesmas medidas. Sabendo que a área do cubo é calculada pela fórmula: A = 6a² Então: A = 6 x 3² = 6 x 9 = 54 cm² 2) Seja um cubo com aresta de 5 cm, determine: a) área da base b) área lateral c) área total Ver resposta
Para cada uma das alternativas acima temos uma fórmula específica. a) a área da base é calculada pela fórmula: Ab = a² = 5² = 25 cm² b) a área lateral é calculada pela fórmula: Al = 4a² = 4 x 5² = 4 x 25 = 100 cm² c) a área total é calculada pela fórmula: At = 6a² = 6 x 5² = 6 x 25 = 150 cm² 3) Calcule a medida da aresta de um cubo cuja área é igual a 24 cm². Ver resposta
A área do cubo é calculada pela fórmula: A = 6a² Assim: 24 = 6a² ⇒ 24/6 = a² ⇒ a² = 4 ⇒ a = √4 = 2 Portanto, a medida da aresta deste cubo é igual a 2 cm. Estes exercícios são suficientes para entender o processo sobre como se calcula a área do cubo. |