Ccomo resolver expressoes logaritimicas com raiz quadrado um metodo simples

Quando falamos de logaritmo, devemos nos lembrar de sua definição básica:

log a b = x → ax = b

E quando pensamos em equação logarítmica, devemos unir as ideias de logaritmo com as definições básicas de funções. Alguns tipos principais de equações destacam-se, são eles:

I. Logaritmo e um número real

Acabamos de rever a propriedade básica do logaritmo, em que log a b = x → ax = b, lembrando que há uma condição de existência, b > 0. Vamos então ver essa mesma ideia através da equação logarítmica:

log 3 (x + 5) = 2
32 = x + 5
x + 5 = 32
x + 5 = 9
x = 9 – 5
x = 4

Vamos substituir o valor encontrado para x a fim de verificar a condição de existência:

x + 5 > 0 → 4 + 5 > 0 → 9 > 0.

Como a condição de existência foi respeitada, concluímos que a solução da equação é x = 4.

Vejamos outro exemplo:

log (3+x) (x2 – x) = 1
(3 + x)1 = x2 – x
x2 – x = 3 + x
x2 – 2x – 3 = 0

Para resolvermos essa equação, vamos utilizar a Fórmula de Bhaskara:

Se fizermos x' = 1 + 2, teremos x' = 3. E se fizermos x'' = 1 – 2, teremos x'' = – 1.

Vamos agora substituir os valores encontrados para x a fim de verificar a condição de existência. Para x' = 3, temos:

x2 – x = 32 – 3 = 9 – 3 = 6 > 0

Para x'' = --1,

x2 – x = (-1)2 – (– 1) = 1 + 1 = 2 > 0

Concluímos então que os resultados possíveis para essa equação são x = – 1 e x = 3.

II. Logaritmos de mesma base:

Se tivermos uma equação logarítmica do tipo log a n = log a m, já que a base é a mesma, para a igualdade ser verdadeira, é necessário que n = m. É importante ainda que n = m > 0, que é a nossa condição de existência. Vejamos um exemplo prático utilizando equação:

log 2 (4x + 5) = log 2 (2x + 11)

Nesse exemplo, a base 2 é a mesma em ambos os lados da equação, portanto, para a igualdade ser verdadeira, é necessário que 4x + 5 seja igual a 2x + 11, temos então:

4x + 5 = 2x + 11
4x – 2x = 11 – 5
2x = 6
x = 6/2
x = 3

Vamos substituir o valor encontrado para x para verificarmos a condição de existência:

4x + 5 = 4 . 3 + 5 = 12 + 5 = 17 > 0

2x + 11 = 2 . 3 + 11 = 6 + 11 = 17 > 0

Vejamos um novo exemplo:

log (x + 2) (x2 + x) = log (x + 2) 12

As bases dos logaritmos são iguais, então, para que a igualdade seja verdadeira, é necessário que x2 – 2x = 3, temos então:

x2 + x = 12
x2 + x – 12 = 0

Vamos novamente utilizar a Fórmula de Bhaskara:

Substituindo esses valores na condição de existência, temos:

Para x' = 3,

x2 + x = 32 + 3 = 9 + 3 = 12 > 0

Para x'' = – 4,

x2 + x = (– 4)2 + (– 4) = 16 – 4 = 12 > 0

Podemos ainda trabalhar com outros dois tipos de equações, aquelas em que precisamos aplicar as propriedades do logaritmo e outras em que é necessário realizar mudança de base e substituição por uma incógnita. Você pode ver mais detalhes sobre esses casos no texto “Equação Logarítmica II”.

Uma equação logarítmica apresenta a incógnita na base do logaritmo ou no logaritmando. Lembrando que um logaritmo possui o seguinte formato:

loga b = x ↔ ax = b,

*a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.

Ao resolver equações logarítmicas, devemos ter ciência das propriedades operatórias dos logaritmos, pois elas podem facilitar o desenvolvimento dos cálculos. Há, até mesmo, algumas situações em que não é possível resolver a equação sem lançar mão dessas propriedades.

Para resolver equações logarítmicas, aplicamos os conceitos tradicionais de resolução de equações e de logaritmos até que a equação chegue a dois possíveis casos:

1º) Igualdade entre logaritmos de mesma base:

Se ao resolver uma equação logarítmica, chegarmos a uma situação de igualdade entre logaritmos de mesma base, basta igualar aos logaritmandos. Exemplo:

loga b = loga c → b = c

2º) Igualdade entre um logaritmo e um número real

Se a resolução de uma equação logarítmica resultar na igualdade de um logaritmo e um número real, basta aplicar a propriedade básica do logaritmo:

loga b = x ↔ ax = b

Veja alguns exemplos de equações logarítmicas:

1° Exemplo:

log2 (x + 1) = 2

Vamos testar a condição de existência desse logaritmo. Para tanto, o logaritmando deve ser maior do que zero:

x + 1 > 0
x > – 1

Nesse caso, temos um exemplo do 2º caso, portanto, desenvolveremos o logaritmo da seguinte forma:

log2 (x + 1) = 2
22 = x + 1
x = 4 – 1
x = 3

2° Exemplo:

log5 (2x + 3) = log5 x

Testando as condições de existência, temos:

Nessa equação logarítmica, há um exemplo do 1º caso. Como há uma igualdade entre logaritmos de mesma base, devemos formar uma equação apenas com os logaritmandos:

log5 (2x + 3) = log5 x
2x + 3 = x
2x – x = – 3
x = – 3

3° Exemplo:

log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5

Verificando as condições de existência, temos:

Aplicando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a subtração de logaritmos de mesma base como um quociente:

log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5
log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5

Chegamos a um exemplo do 1º caso, portanto devemos igualar os logaritmandos:

x + 2 = 5
2x     
x + 2 = 10x
9x = 2
x = 2/9

4° exemplo:

logx – 1 (3x + 1) = 2

Ao verificar as condições de existência, devemos analisar também a base do logaritmo:

Essa equação logarítmica pertence ao 2° caso. Resolvendo-a, temos:

logx – 1 (3x + 1) = 2
(x – 1)2 = 3x + 1
x² – 2x + 1 = 3x + 1
x² – 5x = 0
x.(x – 5) = 0
x' = 0
x'' – 5 = 0
x'' = 5

Observe que pelas condições de existência (x > 1), a solução x' = 0 não é possível. Portanto, a única solução para essa equação logarítmica é x'' = 5.

5° exemplo:

log3 log6 x = 0

Aplicando as condições de existência, temos que x > 0 e log6 x> 0. Logo:

log3 (log6 x) = 0
30 = log6 x
log6 x = 1
61 = x
x = 6