Quando não tem raiz quadrada na formula de bhaskara

As equações do tipo ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes numéricos pertencentes ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0, são denominadas equações do 2º grau. Como toda equação, elas possuem como resultado, um conjunto solução denominado raiz. O diferencial dessas equações em relação às do 1º grau, é que elas podem ter três soluções diferentes de acordo com o valor do discriminante, representado pela letra grega ∆ (delta). Observe:

∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas.

∆ = 0, a equação possui raízes reais iguais.

∆ < 0, a equação não possui raízes reais.

A resolução de uma equação do 2º grau depende do valor de delta e de uma expressão matemática associada ao indiano Bháskara. Essa expressão consiste num método eficiente de resolução desse modelo de equação, com base nos coeficientes numéricos.

Exemplo 1

S = (x Є R / x = –2 e x = 5}

Exemplo 2

S = (y Є R / y = 2/3}

Exemplo 3

5x² +3x +5 = 0

a = 5

b = 3

c = 5

Δ = b² - 4ac

Δ = 3² - 4 ∙ 5 ∙ 5

Δ = 9 – 100

Δ = - 91

S = { } (não existe solução real)

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Quando dizemos “raiz de uma equação”, nos referimos ao resultado final de uma equação qualquer. As equações de 1º grau (do tipo ax + b = 0, onde a e b são números reais e a≠0) possuem apenas uma raiz, um único valor para sua incógnita. As equações de 2º grau (do tipo ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a≠0) podem ter até duas raízes reais. O número de raízes de uma equação do 2º grau irá depender do valor do discriminante ou delta: ∆. Equações completas do 2º grau são resolvidas aplicando a fórmula de Bháskara:

Condições de existência da raiz de uma equação do 2º grau:

Nenhuma raiz real: quando delta for menor que zero. (negativo)

Uma única raiz real: quando delta for igual a zero. (nulo)

Duas raízes reais: quando delta for maior que zero. (positivo)

Por Marcos Noé Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola

 Equação - Matemática - Brasil Escola

A “Fórmula de Bhaskara” é considerada uma das mais importantes da matemática.

Ela é usada para resolver as equações de segundo grau, ou seja, determinar os valores reais da incógnita que tornam verdadeira a igualdade. Para isso, são usados os valores dos coeficientes a, b e c.

A Fórmula de Bhaskara é expressa da seguinte maneira:

Onde,

x: é uma variável chamada de incógnita
a: coeficiente quadrático
b: coeficiente linear
c: coeficiente constante

Discriminante da Equação

A expressão dentro da raiz quadrada na fórmula de Bhaskara é chamada discriminante da equação e é representada pela letra grega delta (Δ), ou seja:

Normalmente essa expressão é calculada separadamente, pois conforme o valor encontrado, podemos saber antecipadamente o número de raízes da equação e se pertencem ao conjunto dos números reais.

Note que a, b e c são as constantes da equação e o valor de Delta (Δ) pode ocorrer de três maneiras:

Se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas.

Se o valor de Δ for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará uma raiz real.

Se o valor de Δ for menor que zero (Δ

Assim, substituindo a expressão do discriminante por delta, a fórmula de Bhaskara ficará:

Exemplo
Quantas e quais são as raízes da equação ?

Solução

O primeiro passo para resolver uma equação usando a fórmula de Bhaskara é identificar os coeficientes da equação. Desta forma, os coeficientes na equação são: a = + 1, b = - 5 e c = + 6.

Para saber o número de raízes, precisamos calcular o valor do delta, assim temos:

Como delta é maior que zero , então a equação terá duas raízes reais e distintas. Vamos agora aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor das raízes.

Lembre-se que uma raiz quadrada tem duas respostas, uma positiva e uma negativa, por isso, repetimos o cálculo com a fórmula de Bhaskara, utilizando o valor positivo e negativo.

Assim, as duas raízes da equação são 2 e 3.

Equações de Segundo Grau

As equações do segundo grau são chamadas "equações quadráticas”, dado que determinam os valores de uma equação polinomial de grau dois. São as equações onde o maior expoente é 2.

Elas são representadas pela expressão:

Nesse caso, a, b e c são números reais e a ≠ 0, por exemplo:

2x2 + 3x + 5 = 0

Onde,

a = 2 b = 3

c = 5

Observe que se o coeficiente a for igual a zero, o que temos é uma equação do primeiro grau:

bx + c = 0

Leia mais em Função Quadrática.

Exemplos

Para compreender melhor os coeficientes (a, b, c) da equação de segundo grau, confira abaixo alguns exemplos:

x2 - 1 = 0 ⇒ a = 1; b = 0; c = - 1

- x2 + 2x = 0 ⇒ a = - 1; b = 2; c = 0

- 4x2 = 0 ⇒ a = - 4; b = 0; c = 0

2x2 + 3x + 5 = 0 ⇒ a = 2; b = 3; c = 5

3x2 - 4x + 1 = 0 ⇒ a = 3; b = - 4; c = 1

Classificações das Equações de Segundo Grau

As equações do 2º grau podem ser de dois tipos:

• Completas: quando os coeficientes a, b e c, são diferentes de zero.
• Incompletas: quando o coeficiente a é diferente de zero (a ≠ 0) e b, ou c, ou ambos são iguais a zero.

A fórmula de Bhaskara é mais utilizada nas equações de segundo grau completas. Nas incompletas também pode ser usada, entretanto, existem métodos mais simples para resolvê-las.

Função do segundo grau e fórmula de Bhaskara

As funções do segundo grau são determinadas por polinômios do segundo grau.

Esta função tem o domínio real (eixo x) e sua imagem está determinada no intervalo que vai do vértice ao infinito, [vértice, infinito).

O gráfico da função do segundo grau é uma parábola e pode ter concavidade para cima (se o coeficiente a, que multiplica o termo x² é positivo, ou para baixo quando a é negativo.

Os pontos de intersecção entre a curva da função e o eixo x são as raízes determinadas pela fórmula de Bhaskara.

Exemplo
Esboce em um plano cartesiano a curva da função do 2° grau:

Resolução:
Como o parâmetro a que multiplica o termo x² é negativo, no caso a = -1, a parábola é aberta para baixo, possui concavidade para baixo.

Para conhecer os pontos onde a curva corta o eixo x, temos que determinar as raízes da equação do segundo grau. Para isso, igualamos a função à 0.

Determinando as raízes

Os coeficientes são:

a = -1 b = 1

c = 6

Discriminante:

Utilizando a fórmula de Bhaskara e considerando os valores positivos e negativos da raiz quadrada:

As raízes da equação são -2 e 3, dessa forma, a curva cortará o eixo x nestes pontos.

Plotando o gráfico da função temos:

Curiosidade

A fórmula de Bhaskara recebe esse nome uma vez que faz homenagem ao matemático e astrônomo indiano Bhaskara Akaria ou Bhakara II (1114-1185). Ele é considerado um dos mais importantes matemáticos do século XII.

(PUC- Campinas) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a:

a) a2 - 2b
b) a2 + 2b
c) a2 – 2b2
d) a2 + 2b2
e) a2 – b2

Pratique mais exercícios sobre fórmula de Bhaskara.