Qual o volume de um reservatório que possui raio igual a 10 me altura igual a 15 m considere π 3

O tronco de um cone é o sólido formado pela parte inferior do cone ao realizarmos uma secção em qualquer altura paralela à base. Quando cortamos o cone em uma altura qualquer, ele é dividido em dois sólidos geométricos, um cone menor do que o anterior e o tronco de um cone.

O tronco do cone possui fórmulas específicas para que seja possível calcular a área total e o volume desse sólido geométrico.

Leia também: Quais são os sólidos de Platão?

Elementos do tronco de cone

O tronco de um cone é um caso especial de corpos redondos. Ele recebe esse nome porque, em um cone, quando realizamos uma secção paralela à base, ele é dividido em duas partes. A parte que está embaixo é o tronco do cone.

Dado o tronco de um cone, existem elementos importantes nesse sólido, que recebem nomes específicos.

R → raio da base maior

h → altura do cone

r → raio da base menor

g → geratriz do tronco de cone

Podemos perceber que o tronco do cone é composto por duas faces no formato de círculo, as quais são conhecidas como bases. Além disso, uma delas possui sempre raio menor que o da outra. Assim, r < R e, consequentemente, há uma base maior e uma base menor.

Geratriz do tronco de cone

Dado um tronco de cone, é possível calcular o valor da geratriz desse sólido utilizando o teorema de Pitágoras, quando conhecemos os raios da base maior e menor, além da altura.

g² = h² + (R – r)²

Exemplo:

Encontre a geratriz de um tronco de cone que possui altura igual a 8 cm, raio da base maior igual a 10 cm e raio da base menor igual a 4 cm.

Para encontrar a geratriz do tronco do cone, temos que:

h = 8 R = 10

r = 4

Substituindo na fórmula:

g² = h² + (R – r)² g² = 8² + (10 – 4)² g² = 64 + 6² g² = 64 + 36 g² = 100 g = √100

g = 10 cm

Veja também: Como encontrar o centro de uma circunferência?

Volume do tronco de cone

Para calcular o volume do tronco do cone, utilizamos a fórmula:

Conhecendo os valores da altura, do raio da base maior e do raio da base menor, é possível calcular o volume do tronco de um cone.

Exemplo:

Encontre o volume de um tronco de cone que possui altura igual a 6 cm, raio da base maior igual a 8 cm e raio da base menor igual a 4 cm. Use π = 3,1.

Planificação do tronco de um cone

A planificação de um sólido geométrico é a representação das suas faces de forma bidimensional. Veja a seguir a planificação do tronco de cone.

Área total do tronco de cone

Conhecendo a planificação de um tronco de cone, é possível calcular o valor da área total desse sólido geométrico. Sabemos que ele é composto por duas bases no formato de um círculo e também pela sua área lateral. A área total do tronco de um cone é a soma das áreas dessas três regiões:

AT = AB + Ab + Al

AT → área total

AB → área da base maior

Ab → área da base menor

AL → área lateral

Note que as bases são círculos e que a área lateral parte de uma circunferência, então:

Al = πg (R + r)

AB = πR²

Ab = πr²

Exemplo:

Calcule a área total do tronco de cone que possui altura igual a 12 cm, raio da base maior igual a 10 cm e raio da base menor igual a 5 cm. Use π = 3.

Primeiro encontraremos a geratriz para calcular a área lateral:

g² = 12² + (10 – 5)² g² = 12² + 5² g² = 144 + 25 g² = 169 g = √169

g = 13

Al = πg (R + r)
Al = 3 · 13 (10 + 5)
Al = 39 · 15
Al = 39 · 15
Al = 585 cm²

Agora calcularemos a área de cada uma das bases:

AB = πR²
AB = 3 · 10²
AB = 3 · 100
AB = 300 cm²

Ab = πr²
Ab = 3 · 5²
Ab = 3 · 25
Ab = 75 cm²

AT = AB + Ab + Al
AT = 300 + 75 + 585 = 960 cm²

Veja também: Quais as diferenças entre círculo e circunferência?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem 2013) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:

Nela se identifica a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são:

A) um tronco de cone e um cilindro.

B) um cone e um cilindro.

C) um tronco de pirâmide e um cilindro.

D) dois troncos de cone.

E) dois cilindros.

Resolução

Alternativa D. Analisando os sólidos geométricos, os dois possuem duas faces circulares de tamanhos diferentes, logo são troncos de cone.

Questão 2 – (Nucepe) Como é e para que serve prioritariamente uma xícara todos sabemos: servir bebidas, especialmente quentes. Mas de onde surgiu a ideia de criar um "copo com alça"?

O chá, que tem origem oriental, era inicialmente servido em potes redondos, sem alças. Segundo a tradição, isso era até mesmo um alerta para quem conduzia a cerimônia da bebida: Caso o recipiente queimasse as pontas dos dedos, estava quente demais para ser ingerido. Na temperatura ideal, ela não incomodava, mesmo com o contato direto com a porcelana.

Fonte: http://www.mexidodeideias.com.br/viagem/a-historia-da-xicara. Acesso em 06/01/2018.

Uma xícara de chá tem a forma de um tronco de cone reto, conforme a figura abaixo. Qual o volume máximo, aproximado, de líquido que ela pode conter?

A) 168 cm³

B) 172 cm³

C) 166 cm³

D) 176 cm³

E) 164 cm³

Resolução

Alternativa D.

Para encontrar o volume, primeiro vamos calcular o valor de cada um dos raios. Para isso, basta dividir o diâmetro por dois.

R = 8/ 2 = 4

r = 4/2 = 2

Além do raio, sabemos que h = 6.

Então, temos que:

O valor mais próximo é 176 cm³.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

O cilindro é um sólido geométrico classificado como corpo redondo por conter uma de suas faces arredondadas. Podemos observar a utilização do cilindro na indústria de embalagens, reservatórios de combustíveis e líquidos em geral. Em virtude da sua grande utilização no cotidiano, é importante conhecer seus elementos e saber realizar o cálculo de seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r. O volume do cilindro é obtido realizando o produto entre a área da base e a altura h. Ou seja,

V = (área da base) × (altura)

Como a base do cilindro é uma circunferência de raio r, temos que:

(área da base) =  π?r2

Sabemos que a altura do cilindro é h. Assim, a fórmula para o cálculo do volume do cilindro é dada por:

V = π?r2?h

Sendo r → o raio da base. h → a altura do cilindro. Vejamos alguns exemplos de aplicação da fórmula do volume do cilindro.

Exemplo 1. Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5 cm. Determine a capacidade desse cilindro. (Utilize π = 3,14)

V = π?r2?h

V = 628 cm3

Portanto, esse cilindro apresenta capacidade de 628 cm3.

Exemplo 2. Um reservatório de combustíveis apresenta o formato de um cilindro circular reto de 15 metros de diâmetro e 6 metros de altura. Determine a capacidade, em litros, desse reservatório. (Utilize π=3,14)

Solução: Temos que: r = d/2 = 15/2 = 7,5 m h = 6 m Utilizando a fórmula do volume, obtemos:

V = π?r2?h

V = 1059,75 m3

1dm3 = 1 litro ou 1m3 = 1000 litros

Exemplo 3. Uma indústria de embalagens deseja fabricar uma lata de tinta cilíndrica com raio da base medindo 5 cm de comprimento e com capacidade para 1 litro. Qual deverá ser o comprimento da altura dessa embalagem? (Use π = 3,1)

Solução: De acordo com o problema, o volume desse cilindro deverá ser de 1 litro ou 1 dm3. Sabemos que o raio da base será de 5 cm, que equivale a 0,5 dm. Utilizando a fórmula do volume, teremos:

Portanto, a lata deverá ter uma altura de, aproximadamente, 13 cm.

Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

O volume da esfera é calculado em função do seu raio onde, o raio, corresponde à distância entre o centro e qualquer ponto da superfície.

A esfera é um sólido geométrico espacial, formado por todos os pontos do espaço que estão a uma distância do centro, igual ou menor que o raio.

Fórmula do volume da esfera

Onde:
V é o volume da esfera;
r é raio
π (Pi) é, aproximadamente, 3,1415. Sendo um número irracional, possui infinitas casas não periódicas.

Exemplo Um reservatório esférico possui um raio interno de 2 m. Qual a capacidade deste reservatório?

Utilize π = 3,14.

Veja também:

Exercícios sobre volume da esfera

Exercício 1

(VUNESP) Considere uma pulseira formada por 22 esferas de hematita (Fe2O3 ), cada esfera com raio igual a 0,5 cm.

O fecho e o fio que unem as esferas dessa pulseira têm massas e volumes desprezíveis e a densidade da hematita é cerca de 5,0 g/cm³. Sabendo que o volume de uma esfera é calculado pela expressão

a) 110. b) 82. c) 58. d) 136.

e) 150.

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta: c) 58.

Resolução

Dados 22 esferas raio (r) = 0,5 cm

Densidade (d) = 5,0 g/cm³

Objetivo
Determinar a massa da pulseira, em gramas.

Passo 1: determinar o volume de todas as esferas do colar.

Volume de 1 esfera

Volume das 22 esferas

Passo 2: relacionar o volume da pulseira com a densidade.

A densidade é a relação entre a massa e o volume.

Isolando a massa m, temos:

Passo 3: substituir os valores e calcular a massa.

Aproximando o valor de para 3:

Conclusão
Das opções sugeridas, a alternativa c é a que mais se aproxima.

Observação
Se fizermos uma melhor aproximação para

, a massa será cerca de 57,57 g, se aproximando ainda mais da opção c = 58 g.

No entanto, mesmo fazendo , frente as outras opções, foi possível determinar a questão.

(Prefeitura de São Leopoldo — RS 2016) Considerando que uma esfera amarela tenha o raio medindo 10 cm e uma esfera azul, 1 cm, pode-se afirmar que o volume da esfera amarela é ______ vezes maior que o volume da esfera azul. Utilize o valor de π = 3,14.

Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna do trecho acima.

a) 2 b) 5 c) 10 d) 100

e) 1.000

(UECE 2013) Um círculo de raio R gira em torno de seu diâmetro, gerando uma esfera de volume V. Se o raio do círculo é aumentado em 50%, então o volume da esfera é aumentado em:

a) 100,0 %. b) 125,0 %. c) 215,0 %.

d) 237,5 %.

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta: d) 237,5%

Considerando o volume inicial, com raio R, igual a 100%

O raio foi aumentando em 50% ou seja, 50% + 100% = 150%. Por isso, basta multiplicar R por 1,5 pois:

Desta forma, o raio aumentado é:

Fazendo a comparação entre o volume final e inicial, temos:

Para escrever em porcentagem, multiplica-se por 100.

Como o volume inicial era 100% e o volume final 337,5% o volume foi aumentado em:

337,5% - 100% = 237,5%

Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.