Considere os números naturais 1, 2, 3, .. , n.
Exemplo de um quadrado mágico:
Os quadrados mágicos acima de ordens 3 a 9 foram retirados do tratado de Yang Hui, no qual o princípio Luo Shu é claramente evidente. [7] [8] O quadrado de ordem 5 é um quadrado mágico com bordas, com um quadrado central 3 × 3 formado de acordo com o princípio Luo Shu. O quadrado da ordem 9 é um quadrado mágico composto, no qual os nove sub quadrados 3 × 3 também são mágicos. [7] Depois de Yang Hui, quadrados mágicos freqüentemente ocorrem em matemática chinesas como na de Ding Yidong Dayan suoyin ( c. 1300 ), Cheng Dawei 's Suanfa tongzong (1593), de Fang Zhongtong Shuduyan (1661), que contém círculos mágicos, cubos e esferas, Xinzhai zazu de Zhang Chao ( c. 1650 ), que publicou o primeiro quadrado mágico de ordem dez da China e, por último, Binaishanfang ji de Bao Qishou ( c. 1880 ), que deu várias configurações mágicas tridimensionais. [5] [8] No entanto, apesar de ser o primeiro a descobrir os quadrados mágicos e obter uma vantagem inicial por vários séculos, o desenvolvimento chinês dos quadrados mágicos é muito inferior em comparação com os desenvolvimentos da Índia, do Oriente Médio ou da Europa. O ponto alto da matemática chinesa que trata dos quadrados mágicos parece estar contido na obra de Yang Hui; mas mesmo como uma coleção de métodos mais antigos, esta obra é muito mais primitiva, carecendo de métodos gerais para a construção de quadrados mágicos de qualquer ordem, em comparação com uma coleção semelhante escrita na mesma época pelo estudioso bizantino Manuel Moschopoulos . [7] Isso é possivelmente devido ao entusiasmo dos estudiosos chineses com o princípio Lo Shu, que eles tentaram adaptar para resolver os quadrados mais altos; e após Yang Hui e a queda da dinastia Yuan , sua purificação sistemática das influências estrangeiras na matemática chinesa. [7] JapãoJapão e China têm tradições matemáticas semelhantes e se influenciaram repetidamente na história dos quadrados mágicos. [10] O interesse do Japão em quadrados mágicos começou depois da disseminação do chinês trabalha-Yang Hui Suanfa e de Cheng Dawei Suanfa tongzong -in do século 17, e como resultado, quase todos os wasans dedicado seu tempo ao seu estudo. Na edição de 1660 de Ketsugi-sho , Isomura Kittoku deu quadrados mágicos com bordas de ordem ímpar e par, bem como círculos mágicos; enquanto a edição de 1684 do mesmo livro continha uma grande seção sobre quadrados mágicos, demonstrando que ele tinha um método geral para construir quadrados mágicos com bordas. [11] Em Jinko-ki (1665) por Muramatsu Kudayu Mosei, tanto quadrados mágicos quanto círculos mágicos são exibidos. A maior construção quadrada de Mosei é de 19ª ordem. Vários quadrados e círculos mágicos também foram publicados por Nozawa Teicho em Dokai-sho (1666), Sato Seiko em Kongenki (1666) e Hosino Sanenobu em Ko-ko-gen Sho (1673). [12] Um dos Seki Takakazu 's sete livros ( Hojin Yensan ) (1683) é dedicado completamente à quadrados mágicos e círculos. Este é o primeiro livro japonês a dar um tratamento geral dos quadrados mágicos no qual os algoritmos para construir quadrados mágicos ímpares, pares simples e pares pares são claramente descritos. [13] Em 1694 e 1695, Yueki Ando deu diferentes métodos para criar os quadrados mágicos e quadrados exibidos de ordem 3 a 30. Um cubo mágico de quarta ordem foi construído por Yoshizane Tanaka (1651-1719) em Rakusho-kikan (1683) . O estudo dos quadrados mágicos foi continuado pelos alunos de Seki, notadamente por Katahiro Takebe, cujos quadrados foram exibidos no quarto volume de Ichigen Kappo por Shukei Irie, Yoshisuke Matsunaga em Hojin-Shin-jutsu , Yoshihiro Kurushima em Kyushi Iko que redescobriu um método para produz os quadrados ímpares dados por Agrippa, [14] e Naonobu Ajima . [15] [16] Assim, no início do século 18, os matemáticos japoneses estavam de posse de métodos para construir quadrados mágicos de ordem arbitrária. Depois disso, as tentativas de enumerar os quadrados mágicos foram iniciadas por Nushizumi Yamaji. [16] ÍndiaO quadrado mágico 3 × 3 aparece pela primeira vez na Índia em Gargasamhita por Garga, que recomenda seu uso para pacificar os nove planetas ( navagraha ). A versão mais antiga deste texto data de 100 EC, mas a passagem sobre os planetas não poderia ter sido escrita antes de 400 EC. O primeiro exemplo datável de quadrado mágico 3 × 3 na Índia ocorre em um texto médico Siddhayog (c. 900 DC) por Vrnda, que foi prescrito para mulheres em trabalho de parto para ter um parto fácil. [17] O mais antigo quadrado mágico datável de quarta ordem do mundo é encontrado em uma obra enciclopédica escrita por Varahamihira por volta de 587 dC chamada Brhat Samhita . O quadrado mágico é construído com o objetivo de fazer perfumes com 4 substâncias selecionadas a partir de 16 substâncias diferentes. Cada célula do quadrado representa um ingrediente específico, enquanto o número na célula representa a proporção do ingrediente associado, de modo que a mistura de quaisquer quatro combinações de ingredientes ao longo das colunas, linhas, diagonais e assim por diante, dá o volume total da mistura para ser 18. Embora o livro seja principalmente sobre adivinhação, o quadrado mágico é dado como uma questão de design combinatório, e nenhuma propriedade mágica é atribuída a ele. [18] [17] O quadrado de Varahamihira conforme dado acima tem soma de 18. Aqui, os números de 1 a 8 aparecem duas vezes no quadrado. É um quadrado mágico pan-diagonal . É também um exemplo do quadrado mágico mais perfeito . Quatro quadrados mágicos diferentes podem ser obtidos adicionando 8 a um dos dois conjuntos de 1 a 8 sequências. A sequência é selecionada de forma que o número 8 seja adicionado exatamente duas vezes em cada linha, em cada coluna e em cada uma das diagonais principais. Um dos possíveis quadrados mágicos mostrados no lado direito. Este quadrado mágico é notável por ser uma rotação de 90 graus de um quadrado mágico que aparece no mundo islâmico do século 13 como um dos quadrados mágicos mais populares ... [19] A construção de um quadrado mágico de 4ª ordem é detalhada em uma obra intitulada Kaksaputa , composta pelo alquimista Nagarjuna por volta do século 10 dC. Todos os quadrados dados por Nagarjuna são quadrados mágicos 4 × 4, e um deles é chamado Nagarjuniya em homenagem a ele. Nagarjuna deu um método de construção de quadrado mágico 4 × 4 usando um quadrado de esqueleto primário, dada uma soma mágica ímpar ou par. A propósito, o quadrado especial de Nagarjuniya não pode ser construído a partir do método que ele expõe. [18] O quadrado Nagarjuniya é dado abaixo e tem a soma total de 100.
O quadrado Nagarjuniya é um quadrado mágico pan-diagonal . O quadrado Nagarjuniya é composto de duas progressões aritméticas começando em 6 e 16 com oito termos cada, com uma diferença comum entre os termos sucessivos como 4. Quando essas duas progressões são reduzidas à progressão normal de 1 a 8, obtemos o quadrado adjacente . Por volta do século 12, um quadrado mágico 4 × 4 foi inscrito na parede do templo Parshvanath em Khajuraho , Índia. Vários hinos Jain ensinam como fazer quadrados mágicos, embora sejam indecifráveis. [17] Até onde se sabe, o primeiro estudo sistemático de quadrados mágicos na Índia foi conduzido por Thakkar Pheru , um estudioso Jain, em seu Ganitasara Kaumudi (c. 1315). Esta obra contém uma pequena seção sobre quadrados mágicos que consiste em nove versos. Aqui ele dá um quadrado de ordem quatro e alude ao seu rearranjo; classifica quadrados mágicos em três (ímpar, par, e par estranhamente) de acordo com sua ordem; dá um quadrado de ordem seis; e prescreve um método para cada construção de quadrados pares e ímpares. Para os quadrados pares, Pheru divide o quadrado em quadrados componentes de ordem quatro e coloca os números em células de acordo com o padrão de um quadrado padrão de ordem quatro. Para quadrados ímpares, Pheru dá o método usando movimento do cavalo ou movimento do cavalo. Embora algoritmicamente diferente, dá o mesmo quadrado que o método de De la Loubere. [17] O próximo trabalho abrangente sobre quadrados mágicos foi realizado por Narayana Pandit , que no décimo quarto capítulo de seu Ganita Kaumudi (1356) fornece métodos gerais para sua construção, junto com os princípios que governam tais construções. Consiste em 55 versículos para regras e 17 versículos para exemplos. Narayana fornece um método para construir todos os quadrados da magia pan de quarta ordem usando o movimento do cavalo; enumera o número de quadrados mágicos pan-diagonais de ordem quatro, 384, incluindo todas as variações feitas por rotação e reflexão; três métodos gerais para quadrados com qualquer ordem e soma constante quando um quadrado padrão da mesma ordem é conhecido; dois métodos cada um para construir quadrados pares, pares ímpares e pares ímpares quando a soma é fornecida. Enquanto Narayana descreve um método mais antigo para cada espécie de quadrado, ele afirma que o método de sobreposição para quadrados pares e ímpares e um método de intercâmbio para quadrados pares ímpares é sua própria invenção. O método de superposição foi mais tarde redescoberto por De la Hire na Europa. Na última seção, ele concebe outras figuras, como círculos, retângulos e hexágonos, nos quais os números podem ser arranjados para possuir propriedades semelhantes às dos quadrados mágicos. [18] [17] Abaixo estão alguns dos quadrados mágicos construídos por Narayana: [18] O quadrado de ordem 8 é interessante em si mesmo, pois é uma instância do quadrado mágico mais perfeito. A propósito, Narayana afirma que o propósito de estudar quadrados mágicos é construir yantra , destruir o ego de maus matemáticos e para o prazer de bons matemáticos. O assunto dos quadrados mágicos é conhecido como bhadraganita e Narayana afirma que foi ensinado aos homens pela primeira vez pelo deus Shiva . [17] Oriente Médio, Norte da África, Península Ibérica muçulmanaEmbora a história inicial dos quadrados mágicos na Pérsia e na Arábia não seja conhecida, foi sugerido que eles eram conhecidos nos tempos pré-islâmicos. [20] É claro, no entanto, que o estudo dos quadrados mágicos era comum no Islã medieval , e pensava-se que começou após a introdução do xadrez na região. [21] [22] [23] A primeira aparição datável de um quadrado mágico de ordem 3 ocorre em Jābir ibn Hayyān (fl. C. 721 - c. 815) Kitab al-mawazin al-Saghir (O Pequeno Livro de Saldos) onde o quadrado mágico e sua numerologia relacionada estão associados à alquimia. [8] Embora se saiba que tratados sobre quadrados mágicos foram escritos no século 9, os primeiros tratados existentes que temos datam do século 10: um de Abu'l-Wafa al-Buzjani ( c. 998 ) e outro de Ali b. Ahmad al-Antaki ( c. 987 ). [22] [24] [25] Esses primeiros tratados eram puramente matemáticos, e a designação árabe para quadrados mágicos usada é wafq al-a'dad , que se traduz como disposição harmoniosa dos números . [23] No final do século 10, os dois tratados de Buzjani e Antaki deixam claro que os matemáticos do Oriente Médio haviam entendido como construir quadrados com bordas de qualquer ordem, bem como quadrados mágicos simples de pequenas ordens ( n ≤ 6) que foram usados para fazer quadrados mágicos compostos. [22] [24] Um espécime de quadrados mágicos de ordens 3 a 9 criado por matemáticos do Oriente Médio aparece em uma enciclopédia de Bagdá c. 983 , a Rasa'il Ikhwan al-Safa (a Enciclopédia dos Irmãos da Pureza ). [26] Os quadrados de ordem 3 a 7 de Rasa'il são dados abaixo: [26]
O século 11 viu a descoberta de várias maneiras de construir quadrados mágicos simples para ordens ímpares e pares; o caso mais difícil de caso par-ímpar ( n = 4k + 2 ) foi resolvido por Ibn al-Haytham com k par (c. 1040), e completamente no início do século 12, se não já na segunda metade do Século 11. [22] Por volta da mesma época, quadrados pandiagonais estavam sendo construídos. Os tratados sobre quadrados mágicos eram numerosos nos séculos 11 e 12. Esses desenvolvimentos posteriores tendem a ser melhorias ou simplificações dos métodos existentes. A partir do século 13, os quadrados mágicos foram cada vez mais utilizados para fins ocultistas. [22] No entanto, muitos desses textos posteriores escritos para fins ocultos meramente retratam certos quadrados mágicos e mencionam seus atributos, sem descrever seu princípio de construção, com apenas alguns autores mantendo viva a teoria geral. [22] Um desses ocultistas foi o argelino Ahmad al-Buni (c. 1225), que deu métodos gerais para a construção de quadrados mágicos com bordas; alguns outros foram o egípcio Shabramallisi do século XVII e o nigeriano al-Kishnawi do século XVIII. [27] O quadrado mágico de ordem três foi descrito como um amuleto de gravidez [28] [29] desde suas primeiras aparições literárias nas obras alquímicas de Jābir ibn Hayyān (fl. C. 721 - c. 815) [29] [30] e al-Ghazālī ( 1058-1111 ) [31] e foi preservado na tradição das tabelas planetárias. A primeira ocorrência da associação de sete quadrados mágicos às virtudes dos sete corpos celestes aparece no erudito andaluz Ibn Zarkali (conhecido como Azarquiel na Europa) (1029–1087) Kitāb tadbīrāt al-kawākib ( Livro sobre as influências do Planetas ). [32] Um século depois, o estudioso argelino Ahmad al-Buni atribuiu propriedades místicas aos quadrados mágicos em seu livro altamente influente Shams al-Ma'arif ( O Livro do Sol da Gnose e as Sutilezas das Coisas Elevadas ), que também descreve sua construção. Essa tradição sobre uma série de quadrados mágicos de três a nove, que estão associados aos sete planetas, sobrevive nas versões grega, árabe e latina. [33] Também há referências ao uso de quadrados mágicos em cálculos astrológicos, uma prática que parece ter se originado com os árabes. [34] [35] Europa latinaAo contrário da Pérsia e da Arábia, temos uma documentação melhor de como os quadrados mágicos foram transmitidos para a Europa. Por volta de 1315, influenciado por fontes árabes, o estudioso grego bizantino Manuel Moschopoulos escreveu um tratado matemático sobre o tema dos quadrados mágicos, deixando de fora o misticismo de seus predecessores do Oriente Médio, onde deu dois métodos para quadrados ímpares e dois métodos para quadrados pares uniformes . Moschopoulos era essencialmente desconhecido na Europa Latina até o final do século 17, quando Philippe de la Hire redescobriu seu tratado na Biblioteca Real de Paris. [36] No entanto, ele não foi o primeiro europeu a escrever em quadrados mágicos; e os quadrados mágicos foram disseminados para o resto da Europa através da Espanha e Itália como objetos ocultos. Os primeiros tratados ocultistas que exibiam os quadrados não descreviam como eles foram construídos. Assim, toda a teoria teve que ser redescoberta. Os quadrados mágicos apareceram pela primeira vez na Europa em Kitāb tadbīrāt al-kawākib ( Livro sobre as influências dos planetas ) escrito por Ibn Zarkali de Toledo, Al-Andalus, como quadrados planetários no século XI. [32] O quadrado mágico de três foi discutido de maneira numerológica no início do século 12 pelo estudioso judeu Abraham ibn Ezra de Toledo, que influenciou os cabalistas posteriores. [37] O trabalho de Ibn Zarkali foi traduzido como Livro de Astromagia na década de 1280, [38] devido a Alfonso X de Castela. [39] [32] No texto alfonsino, quadrados mágicos de diferentes ordens são atribuídos aos respectivos planetas, como na literatura islâmica; infelizmente, de todos os quadrados discutidos, o quadrado mágico de Marte de ordem cinco é o único quadrado exibido no manuscrito. [40] [32] Quadrados mágicos voltam à superfície em Florença, Itália, no século XIV. Um quadrado 6 × 6 e um quadrado 9 × 9 são exibidos em um manuscrito do Trattato d'Abbaco (Tratado do Ábaco) de Paolo Dagomari . [41] [42] É interessante observar que Paolo Dagomari, como Pacioli depois dele, refere-se aos quadrados como uma base útil para inventar questões matemáticas e jogos, e não menciona qualquer uso mágico. A propósito, porém, ele também se refere a eles como sendo, respectivamente, os quadrados do Sol e da Lua, e menciona que eles entram em cálculos astrológicos que não são mais bem especificados. Como dito, o mesmo ponto de vista parece motivar o também florentino Luca Pacioli , que descreve os quadrados 3 × 3 a 9 × 9 em sua obra De Viribus Quantitatis no final do século XV. [43] [44] Europa depois do século 15Os quadrados planetários se disseminaram no norte da Europa no final do século XV. Por exemplo, o manuscrito de Cracóvia de Picatrix da Polônia exibe quadrados mágicos de ordens de 3 a 9. O mesmo conjunto de quadrados do manuscrito de Cracóvia aparece mais tarde nos escritos de Paracelso em Archidoxa Magica (1567), embora em uma forma altamente distorcida. Em 1514 Albrecht Dürer imortalizado um 4 × 4 quadrado em sua famosa gravura Melencolia I . O contemporâneo de Paracelso, Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim, publicou seu famoso livro de três volumes De occulta philosophia em 1531, onde dedicou o Capítulo 22 do Livro II aos quadrados planetários mostrados abaixo. [37] O mesmo conjunto de quadrados dado por Agrippa reaparece em 1539 em Practica Arithmetice de Girolamo Cardano , onde ele explica a construção de quadrados ímpares ordenados usando o "método do diamante", que foi posteriormente reproduzido por Bachet. [45] A tradição de quadrados planetários continuou no século 17 por Athanasius Kircher em Oedipi Aegyptici (1653). Na Alemanha, tratados matemáticos sobre quadrados mágicos foram escritos em 1544 por Michael Stifel em Arithmetica Integra , que redescobriu os quadrados com bordas, e Adam Riese , que redescobriu o método de numeração contínua para construir quadrados ordenados ímpares publicado por Agrippa. No entanto, devido às convulsões religiosas da época, esses trabalhos eram desconhecidos para o resto da Europa. [37]
Em 1624 na França, Claude Gaspard Bachet descreveu o "método do diamante" para construir os quadrados ordenados ímpares de Agripa em seu livro Problèmes Plaisants . Durante 1640, Bernard Frenicle de Bessy e Pierre Fermat trocaram cartas em quadrados e cubos mágicos, e em uma das cartas Fermat se orgulha de ser capaz de construir 1.004.144.995.344 quadrados mágicos de ordem 8 por seu método. [45] Um primeiro relato sobre a construção de quadrados com bordas foi dado por Antoine Arnauld em seu Nouveaux éléments de géométrie (1667). [46] Nos dois tratados Des quarrez ou tables magiques e Table générale des quarrez magiques de quatre de côté , publicados postumamente em 1693, vinte anos após sua morte, Bernard Frenicle de Bessy demonstrou que havia exatamente 880 quadrados mágicos distintos de ordem quatro . Frenicle deu métodos para construir quadrados mágicos de qualquer ordem ímpar e par, onde os quadrados de ordem par eram construídos usando bordas. Ele também mostrou que a troca de linhas e colunas de um quadrado mágico produzia novos quadrados mágicos. [45] Em 1691, Simon de la Loubère descreveu o método contínuo indiano de construção de quadrados mágicos estranhos ordenados em seu livro Du Royaume de Siam , que ele aprendeu ao retornar de uma missão diplomática ao Sião, que era mais rápido do que o método de Bachet. Na tentativa de explicar seu funcionamento, de la Loubere usou os números primários e os números das raízes, e redescobriu o método de somar dois quadrados preliminares. Este método foi investigado pelo Abade Poignard em Traité des quarrés sublimes (1704), por Philippe de La Hire em Mémoires de l'Académie des Sciences para a Royal Academy (1705) e por Joseph Sauveur em Construction des quarrés magiques (1710) . Quadrados com bordas concêntricas também foram estudados por De la Hire em 1705, enquanto Sauveur introduziu cubos mágicos e quadrados com letras, que foram retomados mais tarde por Euler em 1776, que muitas vezes é creditado por tê-los inventado. Em 1750, d'Ons-le-Bray redescobriu o método de construir quadrados duplamente planos e quadrados uniformes usando a técnica de bordadura; enquanto em 1767 Benjamin Franklin publicou um quadrado semimágico que tinha as propriedades do mesmo quadrado de Franklin. [47] Nessa época, o misticismo anterior ligado aos quadrados mágicos havia desaparecido completamente, e o assunto foi tratado como parte da matemática recreativa. [37] [48] No século 19, Bernard Violle deu um tratamento abrangente de quadrados mágicos em seus três volumes Traité complet des carrés magiques (1837-1838), que também descreveu cubos mágicos, paralelogramos, paralelopípedos e círculos. Os quadrados Pandiagonais foram amplamente estudados por Andrew Hollingworth Frost, que os aprendeu na cidade de Nasik, Índia, (chamando-os assim quadrados Nasik) em uma série de artigos: No caminho do cavaleiro (1877), Nas propriedades gerais dos quadrados de Nasik (1878), Sobre as propriedades gerais dos cubos de Nasik (1878), Sobre a construção de praças de Nasik de qualquer ordem (1896). Ele mostrou que é impossível ter um quadrado mágico normal, até mesmo pandiagonal. Frederick AP Barnard construiu quadrados mágicos embutidos e outras figuras mágicas tridimensionais como esferas mágicas e cilindros mágicos em Teoria dos quadrados mágicos e dos cubos mágicos (1888). [48] Em 1897, Emroy McClintock publicou Sobre a forma mais perfeita dos quadrados mágicos , cunhando as palavras quadrado pandiagonal e quadrado mais perfeito , que anteriormente eram referidos como perfeitos, ou diabólicos, ou Nasik. |