O quadrado tem 80 cm de lado, qual é a medida do raio da circunferência inscrita no quadrado?

08) e 09) 12 cm 10) e 11) a 12) c 13) d 14) a 15) 5p cm 16) a 17) a 18) 210 cm 19) 87,05 m e 261,15 m 20) 6( 3 + p) cm Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 133 Respostas dos exercícios complementares da Aula 11. 01) d 02) b 03) 16 voltas 04) 72º 05) 58,8 m 06) 3 m 07) 80 cm 08) (3 / p - 3) cm 09) a) 2pr b) 2p(r + d) c) 2pd 10) 2625 rpm 11) 80 cm 12) (100 / 3p) cm 13) c 14) a 15) d 16) (80 3 + 268) cm 17) d) 18) DR = [ S.p .( 3 - 1)] / p 19) 3821 rpm 20) 240 m e 480 m Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 134 I) Polígono regular. e e e e e i i i ii a Um polígono é regular se tem: a) todos os lados congruentes entre si; b) todos os ângulos internos congruentes entre si; c) todos os ângulos externos congruentes entre si. 3 lados - triângulo equilátero 4 lados - quadrado 5 lados - pentágono regular 6 lados - hexágono regular etc Classificação dos polígonos regulares Medida de cada ângulo interno de um polígono regular. Medida de cada ângulo externo de um polígono regular. i = S i n > 180 (n - 2) i = n e = S e n > 360 e = n (importante) Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferência. ângulo central C II) Principais polígonos regulares. 1) Triângulo equilátero. 3) Hexágono regular.2) Quadrado. 60º Todo hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláte- ros. l l l l l l l l l l l l R = l r l 3 2 =r R = l l 3 6 =r R = l 2 =r R = l 3 3 l 2 2 r 30º R BICO Em todo triângulo equilátero os quatro pontos notáveis (BICO) coin- cidem num mesmo ponto. R r 45º III) Apótema de um polígono regular. O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado. O apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono. Exercício 01 - Determinar o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita em um quadrado de lado 12 cm. 12 cm l - lado do polígono regular Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Geometria plana Aula 12 Inscrição e circunscrição de polígonos regulares. Jeca 135 (GeoJeca) 02) Determine o raio da circunferência inscrita num tri- ângulo equilátero de lado 4 cm. 03) Determine o raio da circunferência circunscrita num triângulo equilátero de lado 8 cm. 04) Determine o raio da circunferência circunscrita num quadrado de lado 14 cm. 05) Determine o lado de um hexágono regular circuns- crito em uma circunferência de raio 3 cm. 06) Determine o lado de um quadrado inscrito num cír- culo de raio k. 07) Determine o raio de um círculo inscrito num hexá- gono regular de lado 2k. Jeca 136 (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) R r h 08) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 8 cm, determine: a) a altura do triângulo; b) o raio da circunferência inscrita no triângulo; c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. 8 cm 8 c m 8 c m 09) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 12 cm, determine: a) o lado do triângulo; b) o raio da circunferência inscrita no triângulo; c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. R r h 10) Determine a medida do lado de um triângulo equi- látero inscrito numa circunferência de raio 5 cm. 11) Determine o raio da circunferência inscrita num hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm. Jeca 137 (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) 12) Qual é a razão entre o lado de um triângulo equilá- tero e o lado de um quadrado circunscritos à mesma circunferência ? 13) Qual é a razão entre o lado de um hexágono regu- lar e o lado de um quadrado circunscritos à mesma circunferência ? 14) Qual é a razão entre o perímetro do hexágono re- gular circunscrito e o perímetro do triângulo equilátero inscrito numa mesma circunferência ? 15) Qual é a razão entre o lado do hexágono regular circunscrito e o perímetro do quadrado inscrito numa mesma circunferência ? Jeca 138 (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) 1) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo. b) o apótema do triângulo. c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. d) o lado do triângulo. R R r r h h l l l 2) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 5k, determinar em função de k : a) a altura do triângulo. b) o raio da circunferência inscrita e o apótema. c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. 5k 5k 5k 3) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita a um quadrado é 8 cm, determinar : a) o apótema e o raio da inscrita. b) o lado do quadrado. c) o perímetro do quadrado. rR l l l l Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Geometria plana Inscrição e circunscrição de polígonos regulares. Exercícios complementares da aula 12. Jeca 139 (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) 4) Sabendo-se que um quadrado tem lado k, determinar em função de k : a) o perímetro do quadrado. b) o apótema do quadrado e o raio da circunferência inscrita no quadrado. c) a diagonal do quadrado e o raio da circunscrita. rR k k k k 5) Sabendo-se que um hexágono regular tem lado 7 cm, determinar : a) o raio da circunferência circunscrita ao hexágono. b) o apótema e o raio da circunferência inscrita no hexágono. c) o perímetro do hexágono. 6) Sabendo-se que o apótema de um hexágono regular é 3k, determinar em função de k : a) o raio da circunferência inscrita no hexágono. b) o raio da circunferência circunscrita no hexágono. c) o lado e o perímetro do hexágono. Jeca 140 (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) 7) Determinar a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero e o perímetro de um hexágono regular inscritos numa mesma circunferência. 8) Na figura abaixo, o quadrado e o triângulo equilátero estão inscritos numa mesma circunferência. Determinar a razão entre o raio da circunferência inscrita no quadrado e o raio da circunferência inscrita no triângulo. 9) Um quadrado e um hexágono regular são circunscritos a uma mesma circunferência. Determinar

Uma circunferência inscrita em um quadrado irá tocar nos pontos médios dos lados desse quadrado e o raio será a metade do lado do quadrado. Apótema do quadrado

Área: A = L² ou A = 2.L.a.
Perímetro: P = 4.L.
Diagonal: D = L.√2.
Apótema: a = L/2.
Raio da circunferência inscrita: r = L/2.
Raio da circunferência circunscrita: R = D/2 = L.√2/2.

Assim, para que o cálculo seja feito é necessário utilizar a seguinte fórmula: d2 = l2 + l2, aplicando quando o quadrado for divido em triângulo retângulo. A outra forma de calcular a diagonal do quadrado é pelo processo de racionalização, ou seja, a fórmula transforma o o denominador irracional em um número racional. Então, o lado do quadrado inscrito na circunferência de raio r é obtido multiplicando r pela raiz de 2. Para mostrar isso, podemos usar quase todo o desenvolvimento da relação anterior. Para calcular o apótema vamos considerar um polígono regular de 6 lados, um hexágono, cujo lado mede 3 cm. Primeiro precisamos saber qual será o ângulo no ponto de onde sai o apótema. Para isso, pasta dividir 360° pela quantidade de lados do polígono, no nosso caso, 6 lados. Assim, teremos 60°. O apótema é uma linha que sai do centro do pentágono e toca um dos lados dele, em um ângulo reto. Se você souber o comprimento dele, é possível usar essa simples fórmula. Área de um pentágono regular = pa/2, onde a = perímetro e a = apótema. vezes maiores que a medida de seus lados. O comprimento das diagonais corresponde ao diâmetro de uma circunferência circunscrita ao quadrado. Os lados de um quadrado correspondem à medida do diâmetro de uma circunferência inscrita ao quadrado. Bom, sabe-se que o comprimento da diagonal do quadrado é dado pelo produto da medida do seu lado por raiz quadrada de 2. Dessa forma, também é possível obter o raio da circunferência circunscrita do quadrado em função da medida do seu lado l. Se o quadrado maior está circuncrito, seu lado é igual ao diâmetro da circunferência (8 cm). A área do círculo é A = pi. R² , onde R é o raio da circunferência. O raio da circunferência será a metade do valor da diagonal do quadrado. O raio de um círculo é sempre igual à metade do comprimento de seu diâmetro. Por exemplo, se o diâmetro for igual a 4 cm, o raio será igual a 4 cm ÷ 2 = 2 cm. Ao dividir o diâmetro ao meio, vamos obter o raio da circunferência, ou seja, o raio (r) de uma circunferência é o segmento que une o centro e a extremidade. Nesse caso, o raio é o segmento CB. Podemos estabelecer uma relação matemática entre esses dois elementos, uma vez que o diâmetro é o dobro do raio. Para calcular a superfície ou área do retângulo basta multiplicar o valor da base com o da altura. O apótema é uma linha que sai do centro do pentágono e toca um dos lados dele, em um ângulo reto. Se você souber o comprimento dele, é possível usar essa simples fórmula. Área de um pentágono regular = pa/2, onde a = perímetro e a = apótema. Como calcular a Apotema de um octógono?

Área: A = (L². √3)/4 ou A = (3. L)/2 . a.
Perímetro: P = 3. L.
Altura: h = (L. √3)/2.
Apótema: a = (L. √3)/6 = R/2.
Raio da circunferência inscrita: r = (L. √3)/6.
Raio da circunferência circunscrita: R = (L. √3)/3.

Para calcular o apótema vamos considerar um polígono regular de 6 lados, um hexágono, cujo lado mede 3 cm. Primeiro precisamos saber qual será o ângulo no ponto de onde sai o apótema. Para isso, pasta dividir 360° pela quantidade de lados do polígono, no nosso caso, 6 lados. Assim, teremos 60°. A determinação da medida do apótema de um polígono está diretamente ligada ao raio da circunferência em que ele está inscrito, ao valor do ângulo central e à medida do lado do triângulo que forma o polígono. A figura a seguir é um hexágono regular inscrito na circunferência de raio medindo 4 cm.