Estudo de sinal da função de 2 grau

Uma função  f:  IR  →  IR  cuja lei de formação é dada por: 
f(x)  =  a x2  +  b x  +  c,  com  a,  b,  c  reais,  e,  a  ≠  0,  é dita:
função polinomial do 2° grau,  função do 2° grau,  ou,
função quadrática.

Exemplos:

O motivo pelo qual o real  "a"  não pode ser zero é que: caso fosse zero,  a função não teria o termo de grau  2.

f(x)  =  0  ⋅  x2  +  b x  +  c,  ficaria:

f(x)  =  b x  +  c  (uma função afim).

Observações:

"a"  é o coeficiente do termo de expoente  2,

Assim,  em  f(t)  =  6 t  +  3  –  4 t2,  tem-se: 

Raízes ou Zeros da Função do 2° Grau

Para se obter os zeros de uma função,  o  f(x)  tem que ser zero. Daí,  se tem:

f(x)  =  a x2  +  b x  +  c = 0

x  =  

Se   Δ  <  0, as raízes não são reais  (não tem raiz real). Se   Δ  =  0, as raízes são reais e iguais  (tem uma raiz real).

Se   Δ  >  0, há duas raízes reais e distintas.

Exemplo: Obtenha os zeros da função real cuja lei é:

f(x)  =  x2  –  4 x

Δ  =  b2  –  4 ⋅ a ⋅ c

f(x)  =  x2  –  4 x

x2  –  4 x  =  0

Portanto,  as raízes são   x  =  0   e   x  =  4.

Representação Gráfica

O gráfico de uma função do  2° grau  é sempre uma curva,
e essa curva é chamada de parábola.

Se  a  >  0  a concavidade  

As raízes,  se existirem,  interceptam o eixo das abscissas. No geral há seis casos possíveis:

①   Sendo   a  >  0

②   Sendo   a  >  0

③   Sendo   a  >  0

④   Sendo   a  <  0
 

⑤   Sendo   a  <  0

⑥   Sendo   a  <  0

Vértice da Parábola

O  vértice  da parábola é o ponto onde a curva muda de sentido.

Esse ponto é representado por  V(xV ,  yV),  sendo:

NOTA:
O sinal negativo na frente da fração,  inverte o sinal final.

Logo,  o vértice é dado por:
V(–

A parábola é uma curva simétrica,  isto é, a parte crescente é um espelho da parte decrescente.

"xV"  é o ponto médio das raízes.

O ponto médio das raízes  é  dado por:   

f(xV)  =  yV

f(x)  =  a x2  +  b x  +  c

MMC(4 a2,  2 a)  =  4 a2

yV  =  

Colocando   – a   em evidência:

yV  =  

Portanto,   yV  =  

Exemplo:
Obtenha o vértice da parábola cuja lei é:   f(x)  =  x2  –  4 x

Como  a  =  1,  b  =  – 4,  c  =  0  e  Δ  =  16,  as coordenadas do vértice são:

xV  =  –

yV  =  –

V(xV ,  yV)  =  V(2,  – 4)

Outra maneira de se obter a ordenada:

f(xV)  =  yV

f(x)  =  x2  –  4 x

f(2)  =  – 4   (yV  =  – 4)

Portanto,  o vértice é   V(2,  – 4)

Construindo um Esboço Gráfico

Com três pontos pode-se fazer um esboço gráfico da função do 2º grau. Entretanto,  o ideal seria ter cinco para se ter uma visão mais completa:

a abscissa do vértice,  dois valores menores e dois valores maiores.

Exemplo: Faça um esboço gráfico da função dada pela lei:

f(x)  =  x2  –  4 x

A abscissa do vértice é o valor de  "xV"  que é  "2".
Dois valores menores que  "xV"  0  e  1.
Dois valores maiores que  "xV"  3  e  4. Substituindo os valores:

f(x)  =  x2  –  4 x

f(3)  =  32  –  4  ⋅  3  =  9  –  12  =  – 3

Construindo uma pequena tabela com esses cinco valores:

A  imagem  da função do  2° grau  depende do sinal de  "a", e também do valor do vértice de  "y".

Se  a  <  0  a imagem  é  dada por: 

Se  a  >  0  a imagem  é  dada por:

Exemplo: Determine a imagem da função cuja lei é:

f(x)  =  x2  –  4 x

Como  "a"   é positivo  e  yV  =  – 4  então, a imagem é dada por:

Im(f)  =  { y  ∈  IR ;  y  ≥  – 4 }  =  [ – 4,  + ∞ [

Crescente e Decrescente

Uma função do 2° grau sempre é crescente em um intervalo aberto,  e, é decrescente em outro. Assim:

Se  a  >  0,

Se  a  <  0,

Observação
Quando  x  =  –

Exemplo: Determine o intervalo onde a função cuja lei é:

f(x)  =  x2  –  4 x   é  crescente.

do sinal de  "a"  e do valor do vértice de  "x".

Como "a"  é positivo e xV  =  2 então a função é crescente para  x  ≥  2.

Portanto,  a função é  crescente no intervalo   ] 2 ;  + ∞ [

Ponto de Máximo ou de Mínimo

A parábola tem um ponto de inflexão que é o vértice  V(xV ,  yV).

Quando  a  >  0  o vértice  V  é o ponto de mínimo da parábola.

Quando  a  <  0  o vértice  V  é o ponto de máximo da parábola.

Exemplo: Determine o ponto de máximo ou de mínimo onde a função cuja lei é:

f(x)  =  x2  –  4 x  é crescente.

Como  a  >  0  o vértice é o ponto de mínimo.

xV  =  2   e   yV  =  – 4 então V(2,  – 4).

Portanto,  o ponto de mínimo é  (2,  – 4).

Estudo do Sinal da Função

Para estudar o sinal da função do 2° grau é necessário encontrar as raízes.

Na função  f(x)  =  x2  –  4 x,

x2  –  4 x  =  0  (equação do 2º grau incompleta)

Pode-se encontrar as raízes por fatoração  (colocando o  "x"  em evidência)

Observando o gráfico da função  f(x)  =  x2  –  4:

onde a função  "corta"  o eixo das abscissas  (eixo horizontal)

Também dá para perceber que a parábola:
está abaixo do eixo horizontal quando  "x"  está  "entre as raízes",
isto é,  entre a menor raiz  e  a maior raiz.
"menor raiz"  <  x  <  "maior raiz"  (entre as raízes)

está acima do eixo horizontal quando  "x"  está  "fora das raízes",

Assim: se  x  <  0  ou  x  >  4  então  f(x)  >  0

Lê-se:  se  "x"  for menor do que  0,  ou,

Lê-se:  a função é positiva quando  "x"  é menor do que  0,  ou,

se  0  <  x  <  4   então   f(x)  <  0
Lê-se:  se  "x"  for maior do que  0,  e, "x"  é  menor do que  4  então,  f(x)  é negativa. Que é o mesmo que dizer: f(x)  <  0   quando   0  <  x  <  4

Lê-se:  a função é negativa quando  "x"  é maior do que  0,  e,

se  x  =  0  ou  x  =  4,  então  f(x)  =  0
Lê-se:  se  "x"  for igual  a  0,  ou, "x"  for igual a  4  então,  f(x)  é  nula. Que é o mesmo que dizer: f(x)  =  0  quando  x  =  0  ou  x  =  4

Lê-se:  a função é nula quando  "x"  é  igual a  0,  ou,

De maneira geral,  o  estudo do sinal  da função do  2° grau,  f,
dada pela lei:  f(x)  =  a x2  +  b x  +  c  é:

Quando  a  >  0

Se  Δ  <  0:

Se  Δ  =  0:

Se  Δ  >  0:

Onde  "n"  é a menor raiz e  "m"  é a maior raiz.

Quando  a  <  0

Se  Δ  <  0:

Se  Δ  =  0:

Se  Δ  >  0:

Onde  "n"  é a menor raiz e  "m"  é a maior raiz.

Exemplo: Estude o sinal da função cuja lei é dada por: 

f(x)  =  – x2  +  2 x  +  3

– x2  +  2 x  +  3  =  0

Δ  =  b2  –  4  ⋅  a  ⋅  b

x  =  

x  =  

x  =  

x′  =  

x′′  =  

Como  a  <  0  e  Δ  >  0  então:

f(x)  >  0  quando  – 1  <  x  <  3

Observações A função do 2º grau sempre tem:

o sinal do coeficiente  "a"  quando os valores estão fora das raízes.

E o sinal contrário ao sinal do coeficiente  "a"  entre as raízes.

o mesmo sinal de  "a"  para todo  "x",  exceto na raiz  (que é nula).

o mesmo sinal de  "a"  para qualquer  "x"  real.

A função terá o sinal contrário ao sinal de  "a"  apenas entre as raízes.

Interpretação Gráfica

Dado o esboço gráfico abaixo,  se pode concluir que:

②  O sinal de  "a"  é negativo,  pois a concavidade está para baixo.

⑦  É crescente no intervalo  ] – ∞ ;  1 [

⑧  É decrescente no intervalo  ] 1 ;  + ∞ [

⑨  A imagem da função é o intervalo  ] – ∞ ;  2 ]

   (– 1,  0)  =  ( – 1,  f(– 1) )

f(x)  =  a x2  +  b x  +  c

f(– 1)  =  a  ⋅  (– 1)2  +  b  ⋅  (– 1)  +  c

f(1)  =  a  ⋅  12  +  b  ⋅  1  +  c

Como   a  +  c  =  b   tem-se:

f(3)  =  a  ⋅  32  +  b  ⋅  3  +  c

a  +  c  =  b

f(x)  =  –

Outra maneira

Pode-se obter a equação quando se conhece as raízes, escrevendo na forma fatorada:

f(x)  =  a (x  –  x′) (x  –  x′′)

f(x)  =  a (x  –  x′) (x  –  x′′)

f(x)  =  a (x2  –  3 x  +  x  –  3)

f(x)  =  a (x2  –  2 x  –  3)

f(x)  =  a (x  +  1) (x  –  3)

Inequação 2° Grau

Uma inequação do 2° grau é uma desigualdade da forma:
a x2  +  b x  +  c  <  0  (>  0;   ≥  0  ou  ≤  0)

Resolução:

Para se resolver a inequação  x2  –  2 x  –  3  ≤  0,

x2  –  2 x  –  3  =  0

Δ  =  b2  –  4  ⋅  a  ⋅  c

x  =  

x′′  =  

usa-se o sinal de  "a"  para a regra dos sinais.

Como  a  >  0,  então apenas entre as raízes é negativo.

Como se deseja que  x2  –  2 x  –  3  seja negativo  ou  nulo  ( ≤  0 ),

S  =  { x  ∈  IR ;  – 1  ≤  x  ≤  3 }

S  =  [ – 1 ;  3 ]

Exercícios Resolvidos

R01 — Sendo  f:  IR  →  IR  uma função definida por:
f(x)  =  – 2 x2  –  3 x  –  2,  obtenha:
a)  f(3)  +  f(– 2)    b)  o valor de  x  para que  f(x)  =  – 7

a)  Encontrando  f(3):
f(x)  =  – 2 x2  –  3 x  –  2
f(3)  =  – 2  ⋅  32  –  3  ⋅  3  –  2 f(3)  =  – 2  ⋅  9  –  9  –  2 f(3)  =  – 18  –  9  –  2 f(3)  =  – 29 Encontrando  f(– 2):

f(– 2)  =  – 2  ⋅  (– 2)2  –  3  ⋅  (– 2)  –  2

  f(x)  =  – 2 x2  –  3 x  –  2

Δ  =  b2  –  4  ⋅  a  ⋅  c

x  =  

x′′  =  

Portanto,  há dois valores:  x  =  1  e  x  =  –

R02 — Determine os pontos onde as funções reais dadas pelas leis:
f(x)  =  2 x  +  3  e  g(x)  =  – x2  –  9  se encontram.

Para que as funções se encontrem é necessário que  f(x)  =  g(x). Igualando  f(x)  a  g(x):

2 x  +  3  =  – x2  –  9

Δ  =  b2  –  4  ⋅  a  ⋅  c

f(x)  e  g(x)  nunca se encontram.

R03 — Dada a função  f(x)  =  x2  –  4 x  –  5,  determine: a)  a imagem da função b)  o ponto de máximo ou de mínimo c)  os zeros da função d)  o estudo do sinal

a)  A imagem depende de  "y"  do vértice: Encontrando  Δ:

Δ  =  b2  –  4  ⋅  a  ⋅  c

yV  =  –

Como  a  >  0,  então: 

xV  =  –

Como  a  >  0,  então o vértice é o ponto de mínimo:

f(x)  =  x2  –  4 x  –  5

x  =  

x′′  =  

d)  Como  a  >  0,  então: 

f(x)  =  0   quando   x  =  – 1   ou   x  =  5

R04 — (ULBRA) Assinale a equação que representa uma parábola voltada para baixo, tangente ao eixo das abscissas:

a)  y  =  x2

Como a concavidade é voltada para baixo então  a  <  0.  Como é tangente ao eixo dos  "x"  então  "intercepta"  apenas em um ponto.

Nas alternativas  "a"  e  "b"  o coeficiente  a  >  0,  logo não servem.

Alternativa  "c".

R05 — A função do  2° grau  f(x)  =  a x2  –  4 x  –  16  tem uma raiz cujo valor é  4.
A outra raiz é:
a)  1    b)  2    c)  3    d)  – 1    e)  – 2

Como  4  é uma raiz então: f(4)  =  0

f(x)  =  a x2  –  4 x  –  16

a  =  2

f(x)  =  a x2  –  4 x  –  16

Δ  =  b2  –  4  ⋅  a  ⋅  c

x  =  

x′  =  

x′′  =  

Alternativa  "e".

R06 — UNIFESP (2002)  O gráfico da função  f(x)  =  a x2  +  b x  +  c  (a,  b,  c  reais),
contém os pontos  (– 1,  – 1),  (0,  – 3)  e  (1, – 1).   O valor de  b  é:
a)  – 2    b)  – 1    c)  0    d)  1    e)  2

Como  (0,  – 3)  =  ( 0,  f(0) )  então: f(0)  =  – 3  tem-se:

f(x)  =  a x2  +  b x  +  c

f(x)  =  a x2  +  b x  +  c

a  –  b  =  2

f(x)  =  a x2  +  b x  +  c

a  +  b  =   2

Na equação   a  –  b  =  2,  então:

Substituindo   a  =  b  +  2   na equação   a  +  b  =  2,  então:

Alternativa  "c'.

R07 — UFPA (2008)  O vértice da parábola  y  =  a x2  +  b x  +  c  é  o ponto  (– 2,  3). Sabendo que  5  é a ordenada onde a curva corta o eixo vertical,  pode-se afirmar que:

a)  a  >  1,  b  <  1  e  c  <  4

Como  (0,  5)  é um ponto da curva e,  (0,  5)  =  ( 0,  f(0) )  então:
y  =  f(x)  =  a x2  +  b x  +  c

f(0)  =  a  ⋅  02  +  b  ⋅  0  +  c

Como  xV  =  – 2

f(x)  =  a x2  +  b x  +  c

f(– 2)  =  a  ⋅  (– 2)2  +  b  ⋅  (– 2)  +  5

Mas   b  =  4 a

– 2  =  4 a  –  4 "b"

Como   b  =  4 a,  então:

a  =  1/2,   b  =  2   e   c  =  5.

Alternativa  "d".

R08 — Sabe-se que  – 2  e  3  são raízes de uma função do 2º grau. Se o ponto  (– 1,  8)  pertence ao gráfico dessa função,  então: a)  o seu valor máximo é  1,25 b)  o seu valor mínimo é  1,25 c)  o seu valor máximo é  0,25 d)  o seu valor mínimo é  12,5

e)  o seu valor máximo é  12,5

Como a função do 2º grau é da forma  f(x)  =  a x2  +  b x  +  c E quando se conhece as raízes,  pode ser escrita na forma fatorada:

f(x)  =  a (x  –  x′) (x  –  x′′),  onde  x′  e  x"  são os zeros ou raízes da função.

f(x)  =  a (x  –  x′) (x  –  x′′)

f(x)  =  a (x2  –  3 x  +  2 x  –  6)

f(x)  =  a (x2  –  x  –  6)

f(x)  =  a (x  +  2) (x  –  3)

Como  a  =  – 2  <  0  a função possui um valor máximo em: 

Δ  =  b2  –  4  ⋅  a  ⋅  c

yV  =  –

Alternativa  "e".

R09 — Dado o gráfico abaixo,  obtenha:  as raízes,  o intervalo onde, a função é crescente,  estude o sinal e determine a sua imagem.

É fácil observar que:
a  <  0,  pois concavidade está voltada para baixo. O vértice  é  V(0,  2) As raízes são  – 1  e  1

A função é crescente no intervalo dado por:   ] – ∞ ;  0 [

A imagem de  f  é dada por:   Im(f)  =  ] – ∞ ;  2 ]

R10 — Dê o conjunto-solução da inequação:
2 x2  +  4 x  –  5  ≥  0

Encontrando as raízes
2 x2  +  4 x  –  5  =  0

Δ  =  b2  –  4  ⋅  a  ⋅  c

x  =  

x′  =  

x′′  =  

Como  a  >  0  então:

S  =  { x  ∈  IR  ;  x  ≤  

R11 — Resolva a inequação  (x2  +  4 x  –  6) (3 x  –  2)  <  0

Tomando  f(x)  =  x2  +  4 x  –  6   e   g(x)  =  3 x  –  2 O zero da função  g  é  encontrado fazendo  g(x)  =  0 3 x  –  2  =  0 3 x  =  2

x  =  

x2  +  4 x  –  6  =  0

Δ  =  b2  –  4  ⋅  a  ⋅  c

x  =  

x′  =  –  2  +  √10

x′′  =  –  2  –  √10

Colocando,  por exemplo,  na 1ª reta,  os zeros da função do 2º grau.

A direita do zero da função,  sinal de  a,  isto é,  positivo.

Como se deseja que  (x2  +  4 x  –  6) (3 x  –  2)  seja negativo,

S  =  { x  ∈  IR ;  x  <  –  2  –  √10  ou  

R12 — Dada a função  f(x)  =  (– k2  +  3 k  –  1) x2  –  x  –  3.
Determine  k  para que a função tenha a concavidade voltada para baixo.

Como se deseja que a concavidade esteja para baixo,  a  <  0.

Logo,   – k2  +  3 k  –  1  <  0   (uma inequação em função de  k)

– k2  +  3 k  –  1  =  0

Δ  =  b2  –  4  ⋅  a  ⋅  c

k  =  

k′  =  

k′′  =  

Como se deseja que   – k2  +  3 k  –  1  seja negativo então:

S  =  { k  ∈  IR ;  k  <  

R13 — Obtenha um valor para  "p"  de forma que a equação:
2 x2  +  (p  +  3) x  +  p  +  1  =  0  não tenha raízes reais.

Para que as raízes  não  sejam reais, então: 
Δ  <  0

Como,  a  =  2,  b  =  p  +  3  e  c  =  p  +  1,  então:

(p  +  3)2  –  4  ⋅  2  ⋅  (p  +  1)  <  0

Como,  a  =  1,  b  =  – 2  e  c  =  1,  então:

p  =  

2 x2  +  (p  +  3) x  +  p  +  1  =  0  não ter raízes reais.

Exercícios Propostos

P01 — Sendo a função real dada por  f(x)  =  x2  –  3 x  +  2  obtenha  f(– 2)  –  f(5)  e,
determine  x  tal que  f(x)  =  – 2.

P02 — A função  f(x)  =  4 x2  –  2 x  +  3  é crescente em que intervalo?

P03 — O ponto  (2,  – 1)  é o vértice da função quadrática que:
corta o eixo de  y  no ponto  P(0, 3).  Escreva a lei dessa função.

P04 — Encontre os pontos de intersecção entre as funções:
f(x)  =  – 2 x  +  3  e  g(x)  =  x2  – 4 x  +  3.
Esboce o gráfico das funções num mesmo plano cartesiano,
destacando os pontos de encontro.

P05 — CEFET - BA) O gráfico da função  y  =  a x2  +  b x  +  c  tem, uma só intersecção com o eixo  Ox  e,  corta o eixo  Oy  em  (0,  1).

Então,  os valores de  a  e  b  obedecem à relação:

P06 — Dado o gráfico abaixo,  determine: a lei de formação da função que melhor o representa:

P07 — O gráfico da função  f(x)  =  x2  –  6 x  +  K  passa pelo ponto  P(1,  3). Determine:

a)  o vértice da função    b)  a imagem da função

P08 — O gráfico da função  f(x)  =  a x2  +  b x  +  c  passa pelos pontos: A(0,  3),  B(1,  0)  e  C(2,  – 1).  Determine:

a)  os coeficientes    b)  as raízes

P09 — Dada a função  f(x)  =  x2  +  6 x  +  7 k,  determine  k  para que se tenha:
a)  apenas uma raiz    b)  duas raízes reais    c)  não tenha raiz real

P10 — Dada a função  f(x)  =  (– k2  –  5 k  +  6) x2  –  2 x  +  1,
determine  k  para que a função tenha a concavidade voltada para cima.

P11 — Dada a função  f(x)  =  x2  –  x  +  8,  determine:
a)  a imagem da função    b)  onde a função é positiva

P12 — Faça um esboço gráfico da função  f(x)  =  – x2  –  2 x  +  1.

P13 — O número  – 2  é a raiz da função  f(x)  =  4 x2  –  5 x  –  3 k.
Determine o valor do coeficiente  k.

P14 — (PUC – SP) A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesiano por:
f(x)  =  –

P15 — Considere a função real definida por  f(x)  =  x2  –  2 x  +  5. Pode-se afirmar corretamente que: a)  o vértice do gráfico de  f  é o ponto  (1, 4) b)  f  possui dois zeros reais e distintas c)  f  atinge um máximo para  x = 1 d)  gráfico de  f  é tangente ao eixo das abscissas

e)  nda

P16 — Resolva a inequação  x  –  4 x2  >  0.

P17 —  Determine o conjunto-solução de  

P18 — Calcule  k  de modo que a função  f(x)  =  k x2  –  2 x  +  3  admita  2  como raiz.

P19 — Resolva a inequação  

P20 — Resolva a inequação  – 3 x2  +  2 x  –  1  >  0.

P21 — Determine  "a"  e  "b"  de modo que a função: 
f(x)  =  a x2  +  b x  +  3  tenha vértice  V(2,  – 1).

P22 — Seja  f(X)  =  a x2  +  b x  +  c.  Sabendo que  f(1)  =  4,  f(2)  =  0  e  f(3)  =  – 2,
calcule o produto  a  ⋅  b  ⋅  c.

P23 — Determine o valor de  p  e  q  na função quadrática: 
f(x)  =  p x2  +  q x  +  12,  sendo suas raízes são iguais a  – 4  e  3.

P24 — O movimento de um projétil,  lançado para cima verticalmente,
é descrito pela lei  h(x)  =  – 40 x2  +  200 x. Onde  h(x)  é a altura,  em metros,  atingida pelo projétil  x  segundos após o lançamento. Encontre: a)  a altura máxima atingida pelo projétil.

b)  o tempo que esse projétil permanece no ar.

P25 — Resolva a inequação