A diferença de quadrados é uma das principais maneiras de se fatorar uma expressão algébrica. Como o próprio nome diz, ela é aplicada em uma diferença, isto é, existir uma operação de subtração entre dois termos que estão elevados ao quadrado. Tal processo de fatoração também é um dos mais simples de se efetuar. E, em geral, ele é aplicado na diferença de dois termos. Porém, é importante ressaltar que há alguns casos mais específicos, nos quais podemos ter três ou mais termos que, a partir de uma manipulação algébrica, podem ser transformados em dois termos para que seja possível fatorá-los pelo método propriamente dito. Por exemplo, para fatorar $$x^{2}-4$$ o processo se dá do seguinte modo: Extrai-se a raiz quadrada dos termos da expressão:$$\sqrt{x^{2}}=x$$ $$\sqrt{4}=2$$ $$x^{2}-4=(x+2)\cdot(x-2)$$e está fatorada a expressão. Existem alguns padrões na Matemática que nos despertam a curiosidade e podem estar relacionados com alguma sequência numérica. Quando vemos números enfileirados, logo nos questionamos sobre o seu padrão de formação. Veja os números a seguir: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 … Qual deve ser a lógica dessa sequência? A resposta está no número quadrado perfeito. Entenda que um número será quadrado perfeito quando ele for um número inteiro e o seu quadrado gerar outro número inteiro positivo. Veja: 12 = 1 . 1 = 1 . Após observar esses cálculos, é possível determinar um padrão de formação, que é dado por: n2 = n . n = a
Exitem algumas regras práticas que ajudam a identificar os números que são quadrados perfeitos. Primeira Regra: Somente o número quadrado perfeito possui raiz quadrada exata. Exemplos: Veja o cálculo da raiz quadrada dos números a seguir: Segunda Regra: Quando o número é quadrado perfeito, ele não possui como último algarismo os seguintes números: 2, 3, 7 e 8. Terceira Regra: Todo número quadrado perfeito que for par possuirá raiz quadrada par. Lembre-se de que um número é considerado par quando for dividido por dois e resultar em um número inteiro. Exemplos: Verifique se os números 4, 9 e 16 são pares e calcule a raiz quadrada deles: 4 : 2 = 2 → Temos que 4 é um número par; 9 : 2 = 4,5 → O número 9 não é par; 16 : 2 = 8 → O número quadrado perfeito 16 é par. Quarta Regra: Um número par será quadrado perfeito se, ao ser dividido por 4, resultar em um número inteiro. Quinta Regra: Todo número quadrado perfeito que é ímpar possui raiz quadrada ímpar. Um número será ímpar quando ele for dividido por dois e resultar em um número que não é inteiro, ou seja, um número decimal. Exemplos Considere os números 100 e 121. Verifique qual é ímpar e calcule a sua raiz quadrada. 100 : 2 = 50 → 100 é par; A raiz quadrada de 121 é 11. Sendo assim, a quinta regra é valida, pois número quadrado perfeito ímpar possui raiz quadrada ímpar. Sexta Regra: Ao dividir um número quadrado perfeito ímpar por oito, o resto sempre será o número 1. Exemplos: Verifique se os números 9 e 25 deixam resto 1 ao serem divididos por 8: 9 | 8 8 1 1 25 | 8 24 3 1 Observando as divisões acima, verificamos que a sexta regra é valida para os números que são ímpares e quadrados perfeitos. Por Naysa Oliveira Graduada em Matemática PiR2 :: Matemática :: Álgebra  Pessoal vi um tópico do Mestre Elcioschin cujo o título é: Algoritmo para extração de raiz quadrada de um numero natural N. E a minha pergunta é: Não há uma diferença sutil entre expressão raiz quadrada e raiz quadrada positiva? A raiz quadrada de 4, por exemplo é 2 e -2, pois significa quais os números que elevado ao quadrado que dão 4. (E nesse caso não há um símbolo para representar a expressão raiz quadrada de 4, sendo ela escrita em linguagem corrente, ou seja em forma de texto em português). Já para representar a expressão raiz quadrada positiva ou aritmética de 4 usamos o símbolo [latex]\sqrt{4}[/latex] é igual a 2, apenas. Já a raiz negativa de 4 é representada pelo símbolo [latex]-\sqrt{4}[/latex] e é igual a -2. Em resumo: A raiz quadrada de 4 é 2 e -2. A raiz quadrada positiva de 4 é 2, representado por: [latex]\sqrt{4}[/latex]. E a raiz quadrada negativa de 4 é -2, representado por [latex]-\sqrt{4}[/latex]. Conclusão: É muito comum falarmos que raiz quadrada de 4 é 2, erroneamente a não ser quando for feito um acordo uma convenção antes. Na verdade a raiz quadrada positiva de 4 é 2 e para isso usamos o símbolo [latex]\sqrt{4}[/latex]. Estou falando alguma bobagem, sendo a linguagem matemática precisa e a diferença básica aí está na forma como se escreve e na forma quando se usa o símbolo de raiz (o radical). Diferença sútil, essa não?
ElcioschinGrande Mestre Mensagens : 65956 Data de inscrição : 15/09/2009 Idade : 75 Localização : Santos/SP Sim, quanto a questão do titulo Algoritmo para extração de raiz quadrada de um numero natural N. Nesse caso fica implícito que estamos falando da raiz positiva ou raiz aritmética, pois a raiz é o resultado de uma operação, a radiciação. E a expressão é um número natural é sempre positivo e portanto está correto Quanto a expressão [latex]\sqrt{x^2}=\left | x \right |[/latex] ela é positiva porque o símbolo de raiz, o radical [latex]\sqrt{}[/latex] a é positivo por definição. Mas ao resolver usando a lei do cancelamento, vemos a possibilidade dela ser negativa. [latex]\sqrt[\cancel{2}]{x^{\cancel{2}}}=x[/latex] já que x pode ser positivo ou negativo. Mas por definição o símbolo de raiz é positivo, pois é a raiz aritmética, logo devemos desconsiderar a possibilidade do x ser negativo, por isso colocamos o módulo, logo: [latex] \sqrt{x^2}=\left | x \right |[/latex] Essa é a mesma justificativa do uso do módulo na fórmula da distância entre ponto e reta. [latex] d_P,r=\left |\frac{ ax_0+by_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right |[/latex] Aqui também há a possibilidade ser negativo, mas como estamos na geometria e não existe distância negativa colocamos o módulo. O erro comum que acontece é chamar [latex]\sqrt{4}[/latex] de raiz quadrada de 4, quando deveria ser chamada de raiz quadrada POSITIVA de 4. Essa é uma mudança sutil, mas substancial. Estou falando bobagem ou não?
Não concordo com a última frase: O erro comum que acontece é chamar Por definição √(x²) = |x|, independente do valor de x ser positivo, nulo ou negativo Logo √4 = √(2²) = |2| = 2 ---> √4 = √[(-2)²] = |-2| = 2 ElcioschinGrande Mestre Mensagens : 65956 Data de inscrição : 15/09/2009 Idade : 75 Localização : Santos/SP
Mestre o quadrado de um número não nulo é sempre positivo. Então não estamos falando de número negativo nesse caso. Você pode até considerar um número negativo para o x, mas no final da operação ele será positivo quando elevado ao quadrado. E o módulo se justifica, conforme já mencionado pela lei do cancelamento que contraria a definição do símbolo de raiz (radical) que é positivo. Daí se justifica o uso do módulo que força o número a ser obrigatoriamente positivo. A única raiz enésima de zero é o próprio zero: [latex]\sqrt[n]{0}=0[/latex]. o De acordo com a definição de raiz (que número elevado ao quadrado que dá zero) e conforme a definição do simbolo de raiz que é positivo. Então, reitero que há um erro mesmo ao chamar o símbolo [latex]\sqrt{4}[/latex] de raiz quadrada de 4. A raiz é o resultado de uma operação, na qual esse símbolo de raiz é definido para ser positivo. Por isso o correto seria chamar ele, com o rigor que a matemática exige, é RAIZ QUADRADA POSITIVA DE 4. Se isso não fosse verdade, então [latex]\sqrt{4}=\pm 2[/latex] ,pois conforme a definição de raiz existem dois números cujo o quadrado dão 4, a saber 2 e -2. Mas isso é falso, porque? Simplesmente pelo fato de que ao usar o símbolo de raiz estamos falando implicitamente que o resultado dessa operação (a raiz) é positiva. Então, temos as seguintes situações:1º) Se escrevermos usando as palavras, por exemplo: Qual a raiz quadrada de 4? A resposta é [latex]\pm 2[/latex] 2°) Mas se usarmos o símbolo de raiz (o radical) e dissermos: Qual a [latex]\sqrt{4}[/latex]? Aí a reposta é 2, por que o símbolo de raiz é definido como sendo positivo. E aí essa pergunta deveria ser lida então, qual a raiz positiva ou aritmética de 4. Ou qual o número positivo que elevado ao quadrado dá 4. 3º) Temos também a raiz negativa de 4, que é indicada pelo símbolo [latex]-\sqrt{4}=-2[/latex]. Em resumo:1º) A raiz positiva de 4 é 2, representada por [latex]\sqrt{4}=2[/latex]; 2º) A raiz negativa de 4 é -2, representada por [latex]-\sqrt{4}=-2[/latex]; 3º) Por fim, a raiz quadrada de 4 é [latex]\pm 2[/latex], pois existem dois números que elevado ao quadrado dão 4, a saber 2 e -2 DEFINIÇÃO: Quando a> 0 e n é par não nulo. O numero a possui duas raízes enésimas simétricas. A raiz enésima POSITIVA de a, também chamada de raiz ARITMÉTICA de a, representada pelo símbolo [latex]\sqrt{a}[/latex]. A raiz enésima de a por ser simétrica da positiva, é representada pelo símbolo [latex]-\sqrt{a}[/latex]. (Fonte: Apostila do Objetivo e Noções de Matemática do Aref). Isso evita alguns confusões e explica o uso do módulo e porquê que ele é usado juntamente com as raízes.Espero que me fiz entender, apesar de escrever muito. Aguardo, sua posição mestre ou a de qualquer outra pessoa quanto a minha colocação, para ver se eu não tenho falado bobagem.Tenho amadurecido essa ideia sobre raiz já pouco mais de um ano e percebi que falta um grande conhecimento das pessoas sobre o tema, inclusive entre os matemáticos formados. Eu não tinha conhecia essa ideia de que existia raiz quadrada negativa e e tampouco a positiva ou aritmética. E muito mesmo que o símbolo de raiz foi definido como sendo positivo. Digo que a grande maioria das pessoas não sabem disso.
Você não leu com atenção a definição, feita e aceita pela comunidade matemática mundial: Por definição √(x²) = |x| Interprete assim: "A raiz quadrada de um número real é o módulo" de um número real" Ora, se a raiz quadrada é um módulo, NÃO precisa dizer que é raiz quadrada positiva! ElcioschinGrande Mestre Mensagens : 65956 Data de inscrição : 15/09/2009 Idade : 75 Localização : Santos/SP Mestre, desculpe a insistência. Não quero afrontá-lo e tão pouco duvidar do seu conhecimento. Só busco aprender e é sempre bom aprender com os GRANDES MESTRES. O tema radiciação é algo estudado já no 6° ano do ensino fundamental, conteúdo básico da matemática e me assusto com o desconhecimento geral sobre o assunto. Só procurei estudar isso mais afundo e acho que dá até um boa tese de graduação ou até mesmo mestrado. Pois aborda vários assuntos, potenciação, módulo que pode ser interpretado com distância de um número até o zero, operações básicas, enfim o tema é muito rico além de parecer um mistério para muitos e causar enormes confusões, já que muitos na internet falam muitos absurdos sobre o assunto. Mas mestre aqui [latex]\sqrt{x^2}=\left | x \right |[/latex] não estamos estamos falando de um número real qualquer, mas de um quadrado perfeito. Aí para mim sim faz todo sentido o que diz: "A raiz quadrada de um quadrado perfeito é o módulo desse número". Aí sim não faz sentido usar a palavra positivo, pois está implícito pela definição do símbolo de raiz e pela definição de módulo que teremos sempre um número positivo, já que ambos são positivos.Falo alguma bobagem?
Não se pode discutir definições matemáticas. Um último argumento. Qualquer número real pode ser um quadrado prefeito, mesmo números irracionais, por exemplo, o número irracional pi: √(pi²) = |pi| = pi √[(-pi)²] = |-pi| = pi ElcioschinGrande Mestre Mensagens : 65956 Data de inscrição : 15/09/2009 Idade : 75 Localização : Santos/SP Mestre acredito num que houve um ruído na comunicação. De qualquer forma está correto quando diz que definição não se discute, mas definição se entende. Já que tudo na matemática tem um sentido de ser. Entendi que na expressão [latex]\sqrt{x}=\left | x \right |[/latex] não há necessidade de escrever raiz quadrada POSITIVA pelo fato de que o módulo é sempre POSITIVO. Isso ficou claro! Mas disse o seguinte:Por definição √(x²) = |x| Interprete assim: "A raiz quadrada de um número real é o módulo" de um número real" Mas eu leria essa expressão √(x²) = |x| da seguinte forma, então: A raiz quadrada de um número real elevado ao quadrado é o módulo desse número; ou ainda,A raiz quadrada de um quadrado perfeito é o módulo desse número. Há algum problema nessas leituras, então?
Mestre veja o que diz o Leithold, vol, p.10. Acho que não há problema em usar a palavra POSITIVA, mestre. No máximo estaremos sendo enfáticos.
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Diferenca entre raiz quadrada e quadrado perfeito
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