g h∪ = { }, , , , , , , A B d e∩ = { }, A – B = { a, b, c} Então: a) B = {f, g, h} b) B = {d, e, f, g, h} c) B = {a, b, c, d, e} d) B = {d, e} e) B = ∅ 288. UFRGS-RS O conjunto A é subconjunto de B e A ≠ B, A ∪ (B – A) é: a) B d) A – B b) A e) A ∩ B c) ∅ 289. Sejam os conjuntos X e Y, cujos elementos são as letras das palavras Maria e Mariana, respectivamente. O número de elementos do conjunto X ∩ Y é: a) 11 d) 5 b) 9 e) 4 c) 6 290. UFPI Considere os conjuntos M e N tais que M ∪ N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M ∩ N = {1, 2} e N – M = {3, 4}. Assinale a alternativa correta. a) M = {1, 2, 3} d) N = {1, 2} b) M = {1, 2, 5, 6} e) M = {1, 2, 3, 4} c) N = {1, 2, 4} 291. PUC-RS Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {a, d} e C = {a, b, d}, o conjunto X tal que A ∪ C = B ∪ X e B ∩ X = ∅ é: a) {a} d) {a, b} b) {b} e) {b, c} c) {c} 292. PUC-MG Considere os seguintes subconjuntos de números naturais: N = { 0, 1, 2, 3, 4, ...} P = { x ∈ |N / 6 ≤ x ≤ 20} A = { x ∈ P / x é par} B = { x ∈ P / x é divisor de 48} C = { x ∈ P / x é múltiplo de 5} O número de elementos do conjunto (A – B) ∩ C é: a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 92 293. UFPI Considerando os conjuntos A, B e C na figura a seguir, a região hachurada representa: a) B – (A – C) b) B ∩ (A – C) c) B ∪ (A ∩ C) d) B ∩ (A ∪ C) e) B – (A ∪ C) 294. Dados dois conjuntos não vazios A e B, se ocorrer A ∪ B = A, podemos afirmar que: a) A ⊂ B. b) Isto nunca pode ocorrer. c) B é subconjunto de A. d) B é um conjunto unitário. e) A é subconjunto de B. 295. UFF-RJ Os conjuntos não-vazios M, N e P estão, isoladamente, representados abaixo. Considere a seguinte figura que estes conjuntos formam. A região hachurada pode ser representada por: a) M ∪ (N ∩ P) b) M – (N ∪ P) c) M ∪ (N – P) d) N – (M ∪ P) e) N ∪ (P ∩ M) 296. Udesc Seja A o conjunto dos naturais menores que 10 e seja B o outro conjunto tal que: A ∪ B = A, A ∩ B é o conjunto dos pares menores que 10. Então o conjunto B é: a) vazio b) A ∩ B c) {x ∈N | x < 10} d) {x ∈N | x é par} e) qualquer conjunto de números pares que contenha A ∩ B 297. Cefet-PR Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 7}; C – A = {7, 8, 9}; C – B = {3, 8, 9} e A ∩ B ∩ C = {4}. O número de elementos do conjunto C é: a) 6 b) 7 c) 3 d) 4 e) 5 298. ITA-SP Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: I. ∅ ∈U e n(U) = 10 II. ∅ ⊂ U e n(U) = 10 III. 5 ∈ U e {5} ⊂ U IV. {0, 1, 2, 5} ∩ {5} = 5 Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s): a) apenas I e III. b) apenas II e IV. c) apenas II e III. d) apens IV. e) todas as afirmações. 299. Uespi Seja o conjunto complementar de um conjunto X qualquer, em relação ao conjunto universo U. Então, a parte destacada do diagrama abaixo corresponde a: a) b) c) d) e) 93 PV 2 D -0 8 -M A T- 1 4 300. UFU-MG Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e}, B = {c, d, e, f} e C = {a, b, f}. Sabendo-se que D é um conjunto tal que A ∪ D = A, B ∪ D = B e C ∪ D = A ∪ B, pode-se afirmar que: a) D possui exatamente três elementos. b) existem sete possíveis conjuntos distintos D nas condições acima. c) D = B d) D possui exatamente dois elementos. 301. Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d, e, f, g} e C = {a, c}, determine: a) b) c) 302. ESPM-SP Dados os conjuntos: A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = { 3, 4, 5, 6, 8, 9} e C = {4, 6, 8}, determine o complementar de C em relação à inter- secção dos conjuntos A e B. 303. Unifor-CE Na figura abaixo têm-se os conjuntos não vazios A, B e C, contidos no universo U. Se é o complementar do conjunto X em relação ao universo U, então a região sombreada representa o conjunto: a) d) C A∪ b) e) A – (B ∪ C) c) 304. UFV-MG Uma academia de ginástica possui 150 alunos, sendo que 40% dele fazem musculação, 20% fa- zem musculação e natação, 22% fazem natação e capoeira, 18% fazem musculação e capoeira e 12% fazem as três atividades. O número de pessoas que fazem natação é igual ao número de pessoas que fazem capoeira. Pergunta-se: a) quantos fazem capoeira e não fazem muscula- ção? b) quantos fazem natação e capoeira e não fazem musculação? 305. UFMG Dados os conjuntos A, B e C, não vazios, com A ⊂ B e C ⊂ A, então, sempre é verdadeiro que: a) B = C d) A ⊃ (B ∪ C) b) B ⊃ C e) A ⊂ (B ∩ C) c) B ⊂ C 306. Unifei-SP No diagrama abaixo, é correto afirmar que a parte sombreada representa: a) (F ∩ G) – E c) F ∩ G ∩ E b) G – (E ∩ F) d) (E ∩ G) – F 307. UFF-RJ Os muçulmanos não se limitam aos países de etnia árabe, como muitos imaginam. Por exemplo, a maior concentração de muçulmanos do mundo encontra-se na Indonésia, que não é um país de etnia árabe. Adaptado da Superinteressante, ed. 169, out. 2001. Considere T o conjunto de todas as pessoas do mundo; M o conjunto de todas aquelas que são muçulmanas e A o conjunto de todas aquelas que são árabes. Saben- do que nem toda pessoa que é muçulmana é árabe, pode-se representar o conjunto de pessoas do mundo que não são muçulmanas nem árabes por: a) T – (A ∩ M) b) T – A c) T – (A ∪ M) d) (A – M) ∩ (M – A) e) M – A 308. Esam-PI Sejam os conjuntos A, B e C tais que A ∩ B = A e A ∩ C = C. Nestas condições, é verdade que: a) A = B d) B ∩ C = ∅ b) A ≠ C e) C ⊂ A ⊂ B c) B ≠ C 309. ITA-SP Sejam U um conjunto não vazio e A ⊂ U, B ⊂ U. Usando apenas as definições de igualdade, união, intersecção e complementar, prove que: I. Se A ∩ B = ∅, então B ⊂ AC II. B \ AC = B ∩ A Notações: A \ B = { x ∈ A; x ∉ B} XC = U \ X, para x ⊂ U, U ≠ ∅ 94 310. UEPA Cabelo e vestuário são itens que se destacam no rol de preocupações das adolescentes que costumam freqüentar as “baladas” belenenses – é o que aponta a pesquisa realizada com 650 meninas, na faixa etária entre 15 e 19 anos. Destas, 205 comparecem a esse tipo de festa se adquirem um traje inédito; 382 se fazem presentes após uma boa “escova” no cabeleireiro; 102 aparecem nos locais onde aconte- cem as “baladas” com traje inédito e depois de uma “escova” no cabeleireiro. Pergunta-se: quantas são as adolescentes consultadas que não se preocupam em ir ao cabeleireiro fazer “escova”, nem em vestir uma roupa inédita? a) 39 d) 165 b) 63 e) 177 c) 102 311. PUC-RJ Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B. Sabendo que dez destas pessoas não usam o produto B e que duas destas pessoas não usam o produto A, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos A e B? 312. Acafe-SC Dos 540 alunos incritos em uma academia, 200 fazem musculação, 250 natação e 240 fazem outras moda- lidades de esportes. Assinale a alternativa correta. a) O número de alunos que faz apenas musculação é 100. b) O número de alunos que faz apenas natação é 50. c) 450 alunos fazem natação ou musculação. d) 150 alunos fazem natação e musculação. e) 300 fazem apenas uma modalidade de esporte. 313. UFAC Numa universidade estudam, nos diversos cursos ofe- recidos, 1.500 alunos. Destes, 35 cursam Engenharia Elétrica, 30 cursam Engenharia Civil e 8 cursam ambos os cursos. O número de estudantes da universidade que não estuda em nenhum dos dois cursos é: a) 1.450 d) 1.435 b) 1.443 e) 1.427 c) 1.440 314. PUC-PR Em uma pesquisa feita com 120 empregados de uma firma, verificou-se o seguinte: – têm casa própria: 38 – têm curso superior: 42 – têm plano de saúde: 70 – têm casa própria e plano de saúde: 34 – têm casa própria e curso superior: 17 – têm curso superior e plano de saúde: 24 – têm casa própria, plano de saúde e curso superior: 15 Qual a porcentagem dos empregados que não se enquadra em nenhuma das situações anteriores? (Sugestão: utilize o diagrama de VENN para facilitar os cálculos.) O diagrama de Venn foi proposto por John Venn (1834-1923), matemático inglês. A ideia desse diagrama é representar graficamente conjuntos colocando-se nos seus interiores seus respectivos elementos. Com essa representação gráfica, o entendimento sobre as operações com conjuntos, como intersecção e união, torna-se muito mais intuitivo. O diagrama de Venn é também conhecido por diagrama de Venn-Euler, devido a registros históricos afirmarem que o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) também utilizava tal ferramenta. Leia também: Teoria dos conjuntos: o que estuda e para que serve? Representações do diagrama de VennPara representar conjuntos utilizando o diagrama de Venn, devemos colocar os elementos no interior de uma região delimitada, veja o exemplo.
Veja que todos os elementos que pertencem ao conjunto estão no interior da região delimitada pela circunferência, ou seja, caso seja necessário representar que um elemento não pertence ao conjunto, basta colocá-lo fora da região. Veja: Perceba que o elemento h não pertence ao conjunto A, e, assim, ele deve ser representado fora da região delimitada. Para representar um conjunto único utilizando o diagrama de Venn, devemos fazer como mostrado anteriormente, basta representar o conjunto por uma região delimitada e colocar seus elementos no interior dela.
Note que o conjunto B é formado por números pares menores ou iguais a 16, veja também que, para representar conjuntos infinitos, o diagrama de Venn torna-se obsoleto. Para representar dois conjuntos utilizando o diagrama de Venn, devemos, primeiro, analisar as possibilidades de relações entre dois conjuntos. Dados dois conjuntos, temos duas possibilidades de correlacioná-los: ou eles possuem elementos em comum ou eles não os possuem, isto é, há entre eles intersecção ou não. Caso os dois conjuntos possuam elementos em comum, ou seja, possuam intersecção, devemos representá-los com partes em comum. Na região a que pertence as duas circunferências, devemos colocar os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B, e ela é chamada de intersecção dos conjuntos A e B. Casos os conjuntos não possuam intersecção, isto é, não têm nenhum elemento em comum, eles devem ser representados por: Quando os conjuntos não possuem intersecção, eles são chamados de conjuntos disjuntos.
Observe que os elementos f e g pertencem aos dois conjuntos, assim, eles devem ser colocados na região comum a ambos, e os demais, em seus respectivos conjuntos.
Veja que os conjuntos A e B não têm nenhum elemento em comum, logo, são chamados de disjuntos. A representação de três conjuntos utilizando-se o diagrama de Venn é semelhante à representação de dois conjuntos. Caso eles possuam intersecção, devemos representá-los da seguinte maneira: Caso eles sejam disjuntos, isto é, não apresentem intersecção, devemos representá-los assim:
Observe que os conjuntos possuem elementos comum, assim devemos colocar tais elementos em suas respectivas partes. Veja: Note que o elemento c pertence aos conjuntos A e C, enquanto os elementos g e f pertencem aos conjuntos B e C, e, por fim, os elementos d e e pertencem aos conjuntos A, B e C.
Observe que os conjuntos não possuem nenhum elemento em comum. Leia também: Conjuntos e seus elementos: relações e representações Operações entre conjuntosO diagrama de Venn pode auxiliar na compreensão das operações com conjuntos, que são: união, intersecção, diferença e complementar. Sabemos que a união entre dois conjuntos A e B é formada por elementos de A ou de B, em outras palavras, é formada pela junção de A e B. Assim, para representar essa união no diagrama de Venn, basta hachurar os dois conjuntos. Sabemos que a intersecção entre dois ou mais conjuntos é constituída pela parte comum a eles, logo, para destacar a intersecção no diagrama de Venn, basta hachurar as partes comuns aos conjuntos. A diferença entre os conjuntos A e B é formada por elementos de A menos os elementos de B. Assim, para demarcar no diagrama de Venn, basta considerar elementos que pertencem somente ao conjunto A. Dados os conjuntos A e B, caso o conjunto A esteja contido no conjunto B, a diferença B – A refere-se ao conjunto complementar de A em relação a B. Para expressar a operação, basta destacar os elementos de B que não estão em A. Acesse também: Noções importantes para o estudo da teoria dos conjuntos Exercícios resolvidosQuestão 1 – (CRM – ES) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 informavam-se pelo site A; 150, por meio do site B; 20 buscavam informar-se por meio dos dois sites, A e B; e 110 não se informavam por nenhum desses dois sites. a) 380 b) 360 c) 340 d) 270 e) 230 Resolução Observe que os conjuntos a serem representados são os sites A e B. Como existem pessoas que pesquisam em ambos, podemos afirmar que existe intersecção entre os conjuntos. É sempre indicado começar a resolver o exercício determinando o número de elementos das intersecções, nesse caso: um. Isso faz com que não contemos duas vezes as mesmas pessoas entrevistas. Após determinar a intersecção, para saber o valor de quem só utiliza o site A, devemos retirar a pessoa já entrevistada que utiliza os dois sites, e o mesmo deve ser feito com quem utiliza somente o site B. Veja: Assim temos que 80 pessoas utilizam somente o site A; 20 pessoas utilizam os dois; 130 pessoas utilizam somente o site B; e 110 não utilizam nenhum site. Assim o total de entrevistados foi: 80 + 20 + 130 + 110 340 Alternativa C. Questão 2 – Sabe-se que o conjunto A tem 25 elementos, a intersecção desse conjunto A com conjunto B tem 15 elementos, e a união entre eles tem 34 elementos. Assim, determine o número de elementos do conjunto B. Resolução Utilizando o diagrama de Venn e os dados do exercício, sabemos somente a quantidade de elementos da intersecção, assim: Como o conjunto A possui 25 elementos, então: a + 15 = 25 a = 25 – 15 a = 10 Agora, como a união possui 34 elementos, então temos que: a + 15 + b = 34 10 + 15 + b = 34 25 + b = 34 b = 34 – 25 b = 9 Portanto, o número de elementos do conjunto B é: 9. n (B) = 9 |
Considere o diagrama onde a bec são conjuntos a região hachurada destacada pode ser representada por
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