A radiciação é uma operação matemática que envolve um produto (multiplicação) cujos fatores são todos iguais em seu fundamento, isto é, uma “potência”. Show
Nas potências, é dado um número chamado base, que é multiplicado por si mesmo n vezes (n é o expoente). Na radiciação, é feito o contrário: é dada a potência a fim de encontrar a base. Assim como todas as operações matemáticas, todo esse processo obedece a algumas propriedades, conhecidas como propriedades dos radicais ou propriedades das raízes. Essas propriedades são utilizadas para simplificar e até mesmo para resolver raízes de índices elevados ou que possuam resultado não exato. Contudo, antes de uma exposição dessas propriedades, é bom relembrar o que é um radical e como encontrar seus resultados. O que é um radical? Radical é o símbolo utilizado para identificar uma radiciação.
Na imagem acima, n é o índice, x é o radicando e L é a raiz enésima. O símbolo “√” é conhecido como radical e é utilizado para representar a operação matemática radiciação. Nessa operação, o número L é obtido de acordo com o seguinte princípio: L é um número que, multiplicado por si mesmo n vezes, tem x como resultado, ou seja, Ln = x. Dessa maneira, a radiciação é o inverso da potenciação. Uma vez definidas as raízes e de posse do conceito de radical, podemos dar início a exposição das propriedades dos radicais Propriedades dos radicais ou propriedades das raízes 1ª Propriedade A raiz enésima de um número elevado a enésima potência é o próprio número. Em outras palavras, essa propriedade trata das raízes em que o índice do radical é igual ao expoente do radicando. Observe:
2ª Propriedade O índice de uma raiz pode ser multiplicado (ou dividido) por um número real qualquer, desde que o expoente do radicando também seja multiplicado (ou dividido) pelo mesmo número. Matematicamente:
3ª Propriedade Essa propriedade trata das raízes em que o radicando é o produto entre dois números. Ela pode ser interpretada da seguinte maneira: A raiz enésima do produto é igual ao produto das raízes enésimas. Isso significa que:
4ª Propriedade Essa propriedade é idêntica à anterior, mas se aplica à divisão de dois números quaisquer. Nesse caso, a raiz enésima da razão é igual à razão entre as raízes enésimas. Observe:
5ª Propriedade Uma potência de uma raiz pode ser reescrita trazendo o expoente para o radicando. Matematicamente esta propriedade é dada da seguinte maneira:
6ª Propriedade Essa propriedade diz respeito às raízes de raízes. Considerando a raiz enésima da raiz enésima de um número, é possível obter o seu resultado utilizando o seguinte:
7ª Propriedade Todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário. Observe:
A raiz quadrada (√) de um número é determinada por um número real positivo elevado ao quadrado (x2). Já na raiz cúbica, o número é elevado ao cubo (y3). Além disso, se a raiz for elevada a quarta potência (z4) é chamada de raiz quarta, e se for elevada a quinta potência (t5) é raiz quinta. Como calcular a raiz quadrada?Para saber a raiz quadrada de um número, podemos pensar que um número elevado ao quadrado será o resultado. Portanto, o conhecimento da tabuada e de potenciação são extremamente necessários. No entanto, alguns números são difíceis por serem muito grandes. Nesse caso, utiliza-se o processo de fatoração, por meio da decomposição em números primos. Quanto é a raiz quadrada de √2704?  Note que a potenciação é necessária, uma vez que depois de fatorar o número, no caso da raiz quadrada, reunimos os números primos em potências de 2. Isso significa em dividir os números em quadrados perfeitos. No exemplo acima, temos Portanto, a √2704 é 52. Quando decompomos um número em fatores primos, podemos ter dois tipos de raiz quadrada:
Dizemos que um número é um quadrado perfeito quando ele é resultado da multiplicação de dois fatores iguais. Portanto, a raiz quadrada de um quadrado perfeito é uma raiz exata e resulta em um número natural. Exemplos:
Saiba mais sobre os números racionais e números irracionais. Você sabia?Com a invenção das calculadoras modernas, esse processo tornou-se mais fácil pelo fato de podermos calcular rapidamente a raiz quadrada por esse instrumento. ExemplosRaiz Quadrada de 2√2 = 1.41421356237... (raiz quadrada não-exata) √3 = 1.73205080757... (raiz quadrada não-exata) Raiz Quadrada de 5√5 = 2.2360679775... (raiz quadrada não-exata) Raiz Quadrada de 8√8 = 2.82842712475... (raiz quadrada não-exata) Raiz Quadrada de 9√9 = 3 (pois 32 é igual a 9) Raiz Quadrada de 25√25 = 5 (pois 52 é igual a 25) Raiz Quadrada de 36√36 = 6 (pois 62 é igual a 36) Raiz Quadrada de 49√49 = 7 (pois 72 é igual a 49) Raiz Quadrada de 64√64 = 8 (pois 82 é igual a 64) Raiz Quadrada de 100√100 = 10 (pois 102 é igual a 100) Raiz Quadrada de 144√144 = 12 (pois 122 é igual a 144) Raiz Quadrada de 196√196 = 14 (pois 142 é igual a 196) Raiz Quadrada de 400√400 = 20 (pois 202 é igual a 400) Saiba mais sobre Quadrado Perfeito. Exercícios resolvidos com raiz quadradaQuestão 1(UFPI) Desenvolvendo a expressão (2√27 + 2√3 – 1)2 encontramos um número no formato a + b 2√3. Com a e b inteiros, o valor de a + b é: a) 59 b) 47 c) 41 d) 57 e) 1
Alternativa correta: c) 41. Para iniciar a resolução da questão, devemos fatorar o radicando 27.
3.3.3 = 33 = 3.32 Lembre-se: podemos remover um número de dentro da raiz quando seu expoente é igual ao índice do radical.
Como temos uma raiz quadrada, vamos substituir o número 27 do radicando por 3.32 para que um dos termos esteja com expoente 2 e, assim, possamos removê-lo da raiz.
Observe que o termo se repete na expressão. Portanto, podemos colocá-lo em evidência.
Agora, vamos resolver a expressão.
Sendo a = 49 e b = – 8, o valor de a + b é: 49 + (– 8) = 41 Portanto, a alternativa correta é c) 41. (UTF - PR) Considere as seguintes expressões: I. II. III. É (são) verdadeira(s), somente: a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III.
Alternativa correta: b) II. I. ERRADA. A resposta correta é . II. CORRETA. O cálculo dessa expressão envolve a racionalização para retirar a raiz do denominador da fração. III. ERRADA. A resposta correta é 4.
Questão 3(UFRGS) A expressão a) √2 + 3√3/4√2 b) 5√2 c) √3 d) 8√2 e) 1
Alternativa correta: e) 1. 1º passo: fatorar os radicandos e escrevê-los utilizando potências.
2º passo: podemos substituir os valores calculados pelos respectivos termos na expressão.
3º passo: simplificar a expressão. De acordo com uma das propriedades dos radicais, quando o radicando possui expoente igual ao índice do radical, podemos removê-lo da raiz.
Efetuando essa operação na expressão, temos:
Outra propriedade nos mostra que se dividirmos o índice e o expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.
Portanto, simplificamos a expressão e chegamos ao resultado da alternativa "e", que é 1. Veja também: Fatoração de Polinômios Símbolo da Raiz QuadradaO símbolo da raiz quadrada é chamado de radical: √x ou 2√x. Já da raiz cúbica é 3√y, da raiz quarta é 4√z e da raiz quinta é 5√t. Aprenda mais sobre esse assunto em |
Como resolver raiz quadrada em potencia cubica
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