Como se resolver potencia com raiz quadrada 7 ano

A radiciação é uma operação matemática que envolve um produto (multiplicação) cujos fatores são todos iguais em seu fundamento, isto é, uma “potência”.

Nas potências, é dado um número chamado base, que é multiplicado por si mesmo n vezes (n é o expoente). Na radiciação, é feito o contrário: é dada a potência a fim de encontrar a base. Assim como todas as operações matemáticas, todo esse processo obedece a algumas propriedades, conhecidas como propriedades dos radicais ou propriedades das raízes.

Essas propriedades são utilizadas para simplificar e até mesmo para resolver raízes de índices elevados ou que possuam resultado não exato. Contudo, antes de uma exposição dessas propriedades, é bom relembrar o que é um radical e como encontrar seus resultados.

O que é um radical?

Radical é o símbolo utilizado para identificar uma radiciação.

Na imagem acima, n é o índice, x é o radicando e L é a raiz enésima. O símbolo “√” é conhecido como radical e é utilizado para representar a operação matemática radiciação.

Nessa operação, o número L é obtido de acordo com o seguinte princípio: L é um número que, multiplicado por si mesmo n vezes, tem x como resultado, ou seja, Ln = x. Dessa maneira, a radiciação é o inverso da potenciação.

Uma vez definidas as raízes e de posse do conceito de radical, podemos dar início a exposição das propriedades dos radicais

Propriedades dos radicais ou propriedades das raízes

1ª Propriedade

A raiz enésima de um número elevado a enésima potência é o próprio número. Em outras palavras, essa propriedade trata das raízes em que o índice do radical é igual ao expoente do radicando. Observe:

2ª Propriedade

O índice de uma raiz pode ser multiplicado (ou dividido) por um número real qualquer, desde que o expoente do radicando também seja multiplicado (ou dividido) pelo mesmo número. Matematicamente:

3ª Propriedade

Essa propriedade trata das raízes em que o radicando é o produto entre dois números. Ela pode ser interpretada da seguinte maneira: A raiz enésima do produto é igual ao produto das raízes enésimas. Isso significa que:

4ª Propriedade

Essa propriedade é idêntica à anterior, mas se aplica à divisão de dois números quaisquer. Nesse caso, a raiz enésima da razão é igual à razão entre as raízes enésimas. Observe:

5ª Propriedade

Uma potência de uma raiz pode ser reescrita trazendo o expoente para o radicando. Matematicamente esta propriedade é dada da seguinte maneira:

6ª Propriedade

Essa propriedade diz respeito às raízes de raízes. Considerando a raiz enésima da raiz enésima de um número, é possível obter o seu resultado utilizando o seguinte:

7ª Propriedade

Todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário. Observe:

A radiciação é uma operação matemática que possui várias aplicações, dominá-la é importante para resolver-se problemas envolvendo potenciação, já que essas operações são inversas.

Calcular a raiz enésima de um número x é encontrar qual número que, elevado a n, é igual a x. A radiciação possui propriedades importantes que servem para facilitar as contas e realizar simplificações de radicais. Para realizar operações com radiciação, é importante o domínio de cada uma das suas propriedades e compreender o significado de cada um dos seus termos.

Leia também: Como fazer a racionalização com raízes enésimas?

Representação de uma radiciação

Para representar a raiz de um número, utilizamos um símbolo conhecido como radical (√ ), a raiz de um número qualquer é representada pela seguinte operação:

√ → radical

a→ radicando

b→ raiz

n→ índice

Observação: quando n = 2, chamamos de raiz quadrada, e, nesse caso, escrever o número 2 no índice torna-se opcional.

Para calcular-se a raiz de um número, é fundamental entender que a radiciação é a operação inversa da potenciação, então dominar potenciação é essencial para calcular-se a raiz de um número.

Ao escrever a raiz enésima de a e afirmar que ela é igual a b, ou seja:

estamos dizendo que, quando calculamos bn, encontramos o número representado pela letra a. Portanto é essencial entender que quando se fala que um número é raiz enésima de um outro número, isso significa que a raiz elevada ao índice é igual ao radicando.

Exemplos:

Veja também: Propriedades das potências – quais são e como as utilizar?

Propriedades da radiciação

As propriedades da radiciação são meios para facilitar-se o cálculo de problemas que envolvem tal operação. Existe um total de sete propriedades, e dominar cada uma delas é de grande importância para resolução de problemas sobre o tema.

A raiz enésima de um número a elevado a n é igual ao próprio número a, ou seja, calculando a raiz de um número cujo o índice da raiz é igual ao expoente do radicando, encontraremos como resposta o próprio radicando.

A raiz enésima do produto é igual ao produto de duas raízes enésimas. Se o radicando for o produto entre dois números, podemos separar como a multiplicação da raízes enésimas de cada uma de suas parcelas.

A raiz enésima de uma divisão é igual ao quociente entre duas raízes enésimas. Se o radicando for uma divisão entre dois números, podemos separar como a raiz enésima do dividendo, dividido pela raiz enésima do divisor.

Podemos multiplicar ou dividir (simplificar) o índice da raiz, desde que a mesma operação seja feita com o expoente do radicando.

Quando encontramos a raiz de uma raiz, podemos multiplicar seus índices e representar essa operação com um único radical.

A potência de uma raiz enésima pode ser reescrita como a raiz enésima do radicando elevada a essa potência.

A raiz enésima pode ser transformada em uma potência com expoente racional. O índice da raiz corresponde ao denominador, e o expoente da base corresponde ao numerador:

Acesse também: Como aplicar as propriedades da radiciação?

Simplificação de radicais

Quando estamos trabalhando com um valor que não possui uma raiz exata, podemos fazer a simplificação desse radical. Para isso, é necessário algum método para decompor o número em fatores primos.

Exemplo:

Escreva na forma simplificada a raiz quadrada de 360.

Vamos realizar a fatoração de 360 utilizando o método das divisões sucessivas.

360|2→ 2 é o menor número primo que divide 360; 180|2→ 2 é o menor número primo que divide 180;   90|2 → 2 é o menor número primo que divide 90;

  45|3 → 3 é o menor número primo que divide 45;

Sendo assim, temos que 360= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.

Como o nosso objetivo é simplificar uma raiz quadrada, vamos agrupar esses fatores de 2 em 2, logo, podemos reescrever 360 como:

360= 2² · 2 · 3² · 5

Assim, podemos reescrever a raiz de 360, utilizaremos a primeira propriedade para simplificar a raiz quadrada, o que significa que os termos que estão elevados ao quadrado sairão do radical, e os que não estão permanecem dentro do radical:

Operações com radicais

A adição e a subtração de dois radicais são operações que, muitas vezes, são feitas de forma errada. Acontece que não podemos somar ou subtrair o radical de uma raiz com o radical de outra, ainda que o índice seja o mesmo:

√2 + √3 ≠ √5

Na busca por não cometer esse erro, o que deve ser feito é deixar representada a adição como no primeiro membro da equação. Vale lembrar que se trata de raízes. Realizar a soma ou a subtração de duas raízes e representá-las de forma mais simples só é possível se estivermos falando da mesma raiz, por exemplo:

√2 + √2 = 2√2

Nesse caso sempre somaremos os coeficientes, ou seja, o número que acompanha a raiz, lembrando que não se pode somar o radicando de cada uma delas.

Quando necessário, podemos simplificar as raízes para que elas tenham os mesmos radicandos, e aí sim realizar a operação:

√72 - √50

Sabemos que

72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

72 = 2² · 2 · 3²

e também podemos reescrever o 40 como:

50 = 2 · 5 · 5

50 = 2 · 5²

Então teremos:

Para realizar a multiplicação, é necessário que o índice seja o mesmo para todas as raízes. Quando isso ocorre, acabamos recorrendo à 2ª e à 3ª propriedade. Somente nesses casos é possível realizar-se a operação.

Exemplo:

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Sendo “a” e “b” números reais positivos e “n” e “m” números inteiros maiores do que 1, assinale a alternativa incorreta:

Resolução

Alternativa B.

Analisando-se as alternativas, a única que não corresponde a uma das propriedades da radiciação é a B, não podemos separar a soma da forma que foi feito.

a) → 2ª propriedade

b) → Não é uma propriedade da radiciação.

c) → 5ª propriedade

d) → 1ª propriedade

Questão 2 -  (IFG 2010) O resultado do cálculo da expressão é:

Resolução

Alternativa C.

Note que todas as frações possuem mesmo índice, o que permite que seja feita a multiplicação, então, primeiro, faremos a propriedade distributiva e, posteriormente, faremos as simplificações necessárias. Para facilitar, escreveremos 25 como 5².