Como calcular determinantes com raiz quadrada

A matriz quadrada é um tipo especial de matriz. Uma matriz é classificada como quadrada quando possui o número de linhas igual ao número de colunas. A matriz quadrada possui aplicações importantes, como na resolução de sistemas lineares. Ela possui duas diagonais, a principal e a secundária, que são essenciais para se calcular o determinante da matriz. O determinante da matriz é um número associado à matriz quadrada. Podemos calculá-lo, e o método para calcular esse determinante depende do formato da matriz — se ela é de ordem 1, ordem 2 ou ordem 3.

Leia também: Matriz triangular — um tipo de matriz quadrada

Resumo sobre matriz quadrada

• A matriz quadrada é aquela que possui o número de linhas igual ao número de colunas.

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix}\right]\)

• Ela possui diagonal principal e diagonal secundária.
• O determinante da matriz é um número associado a ela, exclusivo de matrizes quadradas.
• O método para calcular o determinante da matriz depende do número de linhas e colunas dessa matriz.

A matriz quadrada é a aquela que possui o número de linhas m igual ao número de colunas n. As matrizes quadradas mais comuns são as de ordem 1 (ou seja, 1 linha e 1 coluna), as de ordem 2 e as de ordem 3.

•  \(A=\left[2\right]\) → matriz quadrada com 1 linha e 1 coluna
• \(B\ =\ \left[\begin{matrix}1&2\\3&4\\\end{matrix}\right]\) → matriz quadrada com 2 linhas e 2 colunas
• \(C\ =\left[\begin{matrix}1&6&7\\2&5&8\\3&4&9\\\end{matrix}\right]\ \) → matriz quadrada com 3 linhas e 3 colunas

De modo geral, as matrizes quadradas são:

\(A=\left[a_{11}\right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B\ =\ \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C\ =\ \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right]\)

As matrizes acima são, respectivamente, de ordem 1, ordem 2 e ordem 3. Podemos ter matrizes quadradas de ordem maior que 3, com quantas linhas e quantas colunas forem necessárias.

Matriz quadrada: diagonal principal e diagonal secundária

Outros elementos importantes nas matrizes quadradas são a diagonal principal e a diagonal secundária.

Veja, destacados em vermelho, os elementos que ocupam a diagonal principal em uma matriz quadrada de ordem 2 e em uma de ordem 3 e note que o número da linha e o número da coluna é sempre o mesmo.

Além da principal, existe a outra diagonal, conhecida como diagonal secundária. Veja, a seguir, a diagonal secundária destacada em azul.

Veja os termos que compõem a diagonal principal e a diagonal secundária:

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}-1\ &3\\2&-2\\\end{matrix}\right]\)

A diagonal principal é composta pelos termos:

\(a_{11}=-\ 1\ \) \(e\) \(a_{22}=-2\)

A diagonal secundária é composta pelos termos:

\(a_{12}=3\) \(e\) \(a_{21}=2\)

\(B\ =\ \left[\begin{matrix}6&-\ 2\ &0\\3&2&1\\4&-\ 5\ &5\\\end{matrix}\right]\)

A diagonal principal é composta pelos termos:

\(a_{11}=6,\) \(a_{22}=2 \) \(e \) \(a_{33}=5\)

A diagonal secundária é composta pelos termos

\(a_{13}=0,\) \(a_{22}=2\ \ \)\(e \) \(a_{31}=4\)

Veja também: O que é matriz inversa?

Cálculo do determinante de uma matriz

O determinante é um valor associado à matriz que auxilia na resolução de problemas envolvendo matrizes. Veja, a seguir, como calcular o determinante de matrizes de ordem 1, ordem 2 e ordem 3.

Como a matriz de ordem 1 possui um único termo, o seu determinante será igual a esse termo. Chamamos de \(det\left(A\right) \) o determinante da matriz A. Se a matriz \(A = [a_{11}], \), o determinante de A é igual a:

\(det(A) = a_{11}\)

Sendo:

\(A=\left[\ 3\ \right]\)

Então:

\(det(A)=3\)

Para descobrir o determinante de uma matriz de ordem 2, calculamos a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e os termos da diagonal secundária.

\(A=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]\ \ \) 

\(det\left(A\right)=a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}\)

\(A=\left[\begin{matrix}2\ &3\\4&5\\\end{matrix}\right]\ \) 

\(det\left(A\right)=5\cdot2-4\cdot3=10-12=-2\ \)

Quanto maior o número de linhas e colunas de uma matriz, mais complexos são os métodos para se calcular o seu determinante. O método mais comum para o cálculo do determinante da matriz de ordem 3 é conhecido como regra de Sarrus. Consideremos a matriz de ordem 3:

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right]\)

Primeiramente, repetimos ao final da matriz as suas duas primeiras colunas:

\(A=\left|\begin{matrix}\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{matrix}\)

Agora, calculamos três produtos: o produto dos termos da diagonal principal e das duas diagonais paralelas a ela. Posteriormente, somamos esses três produtos e os chamamos de \(S_1\).

Calculamos também o produto entre os termos da diagonal secundária e das outras duas diagonais paralelas a ela e somamos esses três produtos como \(S_2\).

O determinante da matriz será a diferença entre \(S_1\) e \(S_2\):

 \({det(A)\ =\ a}_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{23}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}\ -\ (a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}+a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}+a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33})\)

Calcule o determinante da matriz:

\(A\ =\left[\begin{matrix}4&5&3\\2&-1&0\\1&3&1\\\end{matrix}\right]\ \) 

Resolução:

De início, copiamos as duas colunas ao final da matriz:

\(\left|\begin{matrix}4&5&3\\2&-1&0\\1&3&1\\\end{matrix}\right|\begin{matrix}4&5\\2&-1\\1&3\\\end{matrix}\)

Agora, calculamos o seu determinante:

\(det\left(A\right)=4\cdot\left(-1\right)\cdot1+5\cdot0\cdot1+3\cdot2\cdot3-(1\cdot\left(-1\right)\cdot3+3\cdot0\cdot4+1\cdot2\cdot5)\)

\(det\left(A\right)=-4+0+18-\left(-3+0+10\right)\)

\(det\left(A\right)=14-\left(+7\right)\)

\(det\left(A\right)=14-7\)

\(det(A)=7\)

Saiba mais: Como é feita a adição e a subtração de matrizes?

Exercícios resolvidos sobre matriz quadrada

Questão 1

Uma matriz pode ser definida como matriz quadrada quando:

A) o número de linhas é igual ao quadrado do número de colunas.

B) o número de colunas é igual ao quadrado do número de linhas.

C) o número de linhas é igual ao dobro do número de colunas.

D) o número de linhas é igual ao número de colunas.

E) o número de linhas e colunas é par.

Resolução:

Alternativa D

Para que a matriz seja considerada quadrada, é necessário que o número de linhas seja igual ao número de colunas.

Questão 2

Analise a matriz quadrada a seguir. Seu determinante é

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}-2\ &-3\\4&5\\\end{matrix}\right]\)

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Resolução:

Alternativa A

Calculando o determinante, temos:

\(det\left(A\right)=-2\cdot5-4\cdot\left(-3\right)\)

\(det\left(A\right)=-10+12\)

\(det\left(A\right)=2\)

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada, é como um “resumo numérico” das informações que ela continha. Ele é calculado com operações específicas dependendo da ordem da matriz. Indicamos o determinante de A como det A ou colocando os seus elementos numéricos entre barras.

Neste artigo sobre Determinante, você encontrará:

1. O que é determinante e quando usar
2. Como se calcula o determinante: matriz de 1°, 2° e 3° ordem.
3. Propriedades do determinante

O que é Determinante?

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Ele é como um “resumo numérico” da informação que estava contida ali. 

Só podemos obtê-lo fazendo operações específicas para cada ordem da matriz (1°, 2°, 3°) com os elementos que a compõem.

Na parte escrita, indicamos um determinante da matriz A da seguinte forma: det A. 

Quando estamos falando do símbolo matemático, o determinante é representado com uma matriz entre barras únicas.

Quando usar determinante?

Nós podemos usar o determinante de uma matriz em várias situações: na geometria analítica para verificar o alinhamento de três pontos no plano cartesiano, na geometria plana para calcular áreas de triângulos, para resolução de sistemas lineares…

Além da própria matemática, o cálculo é determinante também  é usado na física, como no estudo de campos elétricos.

Lembre-se: nós calculamos determinantes somente de matrizes quadradas (quantidade de colunas = quantidade de linhas)!

Como se calcula o determinante?

A primeira coisa antes de calcular o determinante de uma matriz é analisar a ordem dela. Isso significa que devemos ver se ela é do tipo 1×1, 2×2, 3×3 e assim por diante.

Quanto maior a sua ordem, mais trabalhoso é encontrar o determinante. Por isso existem métodos próprios e nós só aprendemos os das três primeiras ordens.

O determinante de uma matriz de ordem 2 é calculado fazendo a multiplicação da diagonal principal subtraída da multiplicação da diagonal secundária. Para a matriz de ordem 3 usamos a Regra de Sarrus. 

Vamos entender como é isso tudo:

Determinantes de 1.ª Ordem

Vamos relembrar: uma matriz é de ordem 1 quando possui exatamente uma linha e uma coluna, como A (1×1). 

Nesse caso, a matriz possui apenas um elemento aij = a11. Então, ele é o próprio determinante!

A = (a11)

det(A) = | a11 | = a11

A = [4]

det(A) = |4| = 4

Determinantes de 2.ª Ordem

Vamos relembrar: uma matriz é de ordem 2 quando possui exatamente duas linhas e duas colunas, como A (2×2). A partir daqui já lidamos com diagonais principais e secundárias.

Nesse caso, o cálculo do determinante se faz em 3 passos:

• 1° Passo: Multiplicamos os valores da diagonal principal
• 2° Passo: Multiplicamos os valores da diagonal secundária
• 3° Passo: Subtraímos o produto secundário do produto principal

Exemplo

Então, fazemos: 

det = (2 . 3) – (7 . 5) 

det = 6 – 35

det = -29

Determinantes de 3.ª Ordem

Vamos relembrar: uma matriz é de ordem 3 quando possui exatamente três linhas e três colunas, como A (3×3). 

Para calcular o determinante desse tipo de matriz, utilizamos a Regra de Sarrus. Nesse caso, o cálculo do determinante se faz em 5 passos:

• 1° Passo: repita as duas primeiras colunas ao lado da matriz. 
• 2° Passo: Multiplique os valores de todas as diagonais da esquerda para a direita (como principais). Trace setas sob os números para te guiar. 
• 3° Passo: Multiplique os valores de todas as diagonais da direita para a esquerda (como secundárias). Trace setas sob os números para te guiar.
• 4° Passo: Some os resultados das multiplicações das diagonais do mesmo sentido.
• 5° Passo: Subtraia os dois valores finais.

Exemplo

Multiplicação das diagonais da esquerda para a direita:

1 . 5 . 8 = 40

2 . 6 . 2 = 24

3 . 2 . 5 = 30

Multiplicação das diagonais da direita para a esquerda:

2 . 2 . 8 = 32

1 . 6 . 5 = 30

3 . 5 . 2 = 30

Soma dos resultados das multiplicações das diagonais do mesmo sentido:

40 + 24 + 30 = 94

32 + 30 + 30 = 92

Subtração dos valores finais.

94 – 92 = 2

det = 2

Propriedades do determinante

As propriedades matemáticas são “atalhos” que podemos pegar para chegar ao resultado. Elas são deduções lógicas que, se decorarmos, é só bater o olho e escrever o resultado. Ela nos poupa do trabalho de resolver uma conta!

Veja quais são as propriedades do determinante:

• 1ª propriedade: caso uma das linhas da matriz seja igual a 0, o determinante será igual a 0.

Comprovando: 

• 2ª propriedade: se temos duas matrizes A e B, então det(A·B) = det(A) · det(B).

Comprovando:

Calculando os determinantes separados, temos que:

det(A) = 2 · (-6) – 5 · 3

det(A) = -12 – 15 = -27

det(B) = 4 · 1 – 2 · (-2)

det(B) = 4 + 4 = +8

Então det(A) · det(B) = -27 · 8 =  -216

Agora vamos calcular det(A·B)

• 3ª propriedade: ao inverter-se a posição das linhas de uma matriz, o seu determinante terá o mesmo valor, porém, com sinal trocado.

Comprovando:

• 4ª propriedade: linhas iguais ou proporcionais fazem com que o determinante da matriz seja igual a 0.

Exemplo:

Note que, na matriz A, os termos da linha dois são o dobro dos termos da linha um.

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