Como calcular a raiz quadrada de 2 usando compasso

A construção de raízes de números naturais utilizando régua e compasso é algo simples e belo de se ver. Vamos ver dois processos diferentes de obter o mesmo resultado.

Seja o triângulo retângulo de catetos iguais a a. Sua hipotenusa h1 assumirá o valor de a√2, segundo o teorema pitagórico:

[Figura 1 – Triângulo retângulo]

Podemos construir um novo triângulo adjacente à hipotenusa do primeiro, cujos catetos medem a e a√2. Desta forma encontraremos sua hipotenusa h2 de valor a√3:

[Figura 2 – Triângulos retângulos adjacentes]

Assim, podemos continuar a construir triângulos retângulos adjacentes, cujos catetos medirão a e hN :

[Figura 3 – Triângulos enésimos]

Pela figura acima, podemos observar que, para cada triângulo TN, um de seus catetos medirá a e o outro medirá hN – 1 .

Se assumirmos que o cateto a será um segmento unitário, teremos que as hipotenusas hN dos triângulos assumirão os valores de raízes dos números naturais.

Então a figura 3 pode ser vista da seguinte forma:

[Figura 4 – Raízes de número naturais]

Podemos ainda concluir algumas relações trigonométricas desta formação peculiar:

[Figura 5 – Relações trigonométricas]

Observando a figura acima, temos de imediato que:

No entanto, podemos substituir o valos de hN da relação (1) em (2), obtendo:

Mas se a tem valor unitário, (3) assume a configuração:

Podemos, ainda, encontrar raízes de número naturais utilizando as diagonais de quadriláteros. Observe a figura abaixo:

[Figura 6 – Raízes através de quadriláteros]

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Quando procuramos na internet informações sobre como extrair a raiz quadrada de  números construtíveis* encontramos “receitas” que nos mostram como efetuar a raiz quadrada de números como os primos entre outros. Porém, dificilmente encontramos a base para tal. Assim, nosso objetivo será mostrar a justificativa para o processo de construção geométrica que resulta na raiz quadrada de um determinado número, de forma simplificada.

* Dizemos que um número real x é construtível , se x = 0 ou se for possível construir, com régua e compasso, através de um número finito desses procedimentos, um segmento de comprimento igual a |x|, a partir de um segmento de reta tomado como a unidade.

Justificativa:

Primeiramente, observe que o triângulo OPB está inscrito na circunferência de cento M, como

Como sabemos disso?  Traçando um segmento do ponto P ao M e lançando um olhar sobre os ângulos formados como a seguir:

Das relações métricas do triângulo retângulo temos que 

Voltando à construção dada na "receita" temos que para obter a raiz quadrada de um determinado número construtível, tomamos uma reta, nela marcamos os pontos O e A que determinam um segmento de uma unidade, adicionamos o ponto B, para que AB seja de medida igual ao valor que desejamos extrair a raiz, na mesma reta. O segmento determinado pelos pontos O e B corresponde à base de um triângulo retângulo e ao mesmo tempo ao diâmetro da circunferência que circunscreve este triângulo. O ponto P, na circunferência, determina o ângulo reto e pertence à reta perpendicular ao diâmetro passando pelo ponto A. A distância do ponto P à base do triângulo corresponde ao valor procurado. Visto que, pelas relações métricas do triângulo retângulo, h²=a.b, como b=1, h é a raiz quadrada de a.

Acreditamos que desta forma está plenamente justificada a construção inicial.

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