Escrito por: Jacob Whitmark Show Escrito em: November 20, 2021
 A trigonometria básica pode ser aplicada no campo para descobrir a altura de uma árvore sem usar escadas ou equipamentos pesados. Fazendo um triângulo retângulo você mesmo, utilizando a base e o topo da árvore como os três vértices, será necessário apenas um pouco de raciocínio para descobrir a altura da árvore.
Desenhe um triângulo retângulo se precisar de uma referência. Observe que o triângulo possui três lados e dois ângulos agudos. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto (90 graus). Step 2Afaste-se um pouco da árvore e meça a distância. Pelo fato do ângulo entre o solo e o tronco da árvore ser reto, essa distância é um dos lados adjacentes do triângulo retângulo e a distância entre você e a copa da árvore é a hipotenusa. Utilizando o clinômetro, observe o topo da árvore e meça o ângulo de elevação entre essa linha e o solo. Step 4O cosseno desse ângulo é a proporção do lado adjacente (distância no solo) sobre a hipotenusa. Não sabemos qual é a hipotenusa, portanto, utilizando a álgebra, podemos deduzir que seu comprimento é igual ao lado adjacente sobre o cosseno do ângulo. Utilize a calculadora para encontrar o cosseno do ângulo da elevação e divida a distância no solo por esse número; o resultado será a hipotenusa. Step 5O seno desse ângulo é a proporção do lado oposto (altura da árvore) sobre a hipotenusa. Já que a altura da árvore é desconhecida, você pode utilizar a álgebra para descobrir que essa medida (lado oposto) é igual à hipotenusa multiplicada pelo seno do ângulo de elevação. Utilize a calculadora para encontrar o seno desse ângulo e multiplique o resultado pela hipotenusa; o resultado será a altura da árvore.
As situações que envolvem razões trigonométricas surgem através de situações problemas e estão constantemente relacionadas a um triângulo retângulo. Os métodos resolutivos envolvendo modelos trigonométricos exigem os conhecimentos relacionados às razões trigonométricas, sendo utilizadas as relações seno, cosseno e tangente. Observe alguns exemplos: Sabendo que sen 28° = 0,46; cos 28º = 0,88 e tg 28° = 0,53, calcule o valor de x nos exemplos a seguir: Exemplo 1 A figura representa um triângulo retângulo. Com relação ao ângulo de 28°, o lado x é o cateto adjacente e a hipotenusa mede 8 cm. Nesse caso, para descobrir o valor de x, basta aplicar a fórmula do cosseno. cos28º = x / 8 0,88 = x / 8 x = 0,88 * 8 x = 7,04 cm Exemplo 2 Nesse caso, o lado de medida x é considerado o cateto oposto em relação ao ângulo de 28°, e o lado de medida 20 m é considerado o cateto adjacente. Como não foi fornecido o valor da hipotenusa, podemos utilizar o cálculo da tg de 28º para encontrar o valor de x. tg 28º = x / 20 0,53 = x / 20 x = 0,53 * 20 x = 10,6 m Exemplo 3 O lado desconhecido é oposto ao ângulo de 28º, dessa forma aplicaremos o cálculo do seno para descobrir a medida de x. sen 28º = x / 30 0,46 = x / 30 x = 0,46 * 30 x = 13,8 cm Os cálculos acima demonstrados possuem a finalidade de encontrar as medidas desconhecidas relacionando medidas de ângulos com medidas de comprimento, sempre buscando o auxílio das relações trigonométricas existentes. Nos modelos cotidianos, em que a representação geométrica sugere a figura de um triângulo retângulo, também devem ser usadas as definições e propriedades das relações trigonométricas na busca por resultados. Seno, cosseno e tangente relacionam as medidas dos lados de um triângulo retângulo com as medidas de seus ângulos. São chamados de relações trigonométricas ou razões trigonométricas. Como essas relações são definidas a partir de um triângulo retângulo, vale relembrar os elementos dessa figura geométrica. O que é um triângulo retângulo? Triângulo é um polígono que possui três lados. Quando um dos seus ângulos é igual a 90°, ele é chamado de retângulo. Observe que o ângulo reto está no vértice C do triângulo. Os lados que partem desse vértice são chamados de adjacentes ao ângulo reto e, na Trigonometria, são conhecidos como catetos. O lado que sobra sempre é o maior do triângulo retângulo e é chamado de hipotenusa. Afinal, o que é cateto oposto e cateto adjacente? Para definir seno, cosseno e tangente, é necessário escolher um ângulo como referência. Considere o ângulo α: o cateto BC é o cateto oposto, e o lado AC é o cateto adjacente, pois BC é o lado oposto ao ângulo α. Se escolhermos β como referência, será o contrário: AC será o cateto oposto, e BC, o cateto adjacente, pois, nesse caso, é AC que se opõe ao ângulo em questão. O que é seno? O seno do ângulo θ é o nome dado a uma razão entre a medida do cateto oposto a θ e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Razão é o resultado de uma divisão em que a ordem imposta deve ser respeitada. Sendo assim, seno é o resultado da divisão da medida do cateto oposto pela medida da hipotenusa: Senθ = Cateto oposto a θ Uma propriedade importante das razões trigonométricas é a seguinte: o valor do seno, por exemplo, sempre será o mesmo independentemente do comprimento dos catetos ou da hipotenusa. Sua variação ocorre apenas no momento em que se varia o ângulo θ. Isso acontece porque, se dois triângulos retângulos possuem mais um ângulo congruente, esses dois triângulos são semelhantes, logo, a razão entre seus lados possui o mesmo resultado. Para ilustrar essa situação, observe o exemplo a seguir: Note que existem três triângulos retângulos nessa figura: ACG, ADH e AEF. Note também que os catetos opostos ao ângulo de 30° em cada um desses triângulos são, respectivamente, CG, DH e EF, e as respectivas hipotenusas são AG, AH e AF. Note também que a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa de cada um desses triângulos aproxima-se de 0,5. Aumentando a medida do ângulo θ, aumentamos também o seu seno. O que é cosseno? O cosseno do ângulo θ é a razão entre a medida do cateto adjacente a θ e a hipotenusa do triângulo retângulo. Cosθ = Cateto adjacente a θ A propriedade discutida anteriormente para os senos também é válida para os cossenos. O que é tangente? A tangente de um ângulo é a única razão que não envolve a medida da hipotenusa. Ela é dada pela razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo θ. Tgθ = Cateto oposto a θ A propriedade mencionada tanto para seno quanto para cosseno também vale aqui. Afinal, para que servem essas razões? Definitivamente não queremos saber o resultado da divisão entre o cateto oposto e a hipotenusa, por exemplo. Todavia, sabendo que esse resultado vale para quaisquer triângulos com o mesmo ângulo θ, podemos definir uma tabela trigonométrica e usá-la para descobrir valores de lados de um triângulo retângulo quando conhecemos as medidas de um de seus ângulos. Observe: Exemplo Calcule a medida x do triângulo a seguir: Observe que o triângulo acima possui um ângulo reto e um ângulo de 30°. Note também que x é justamente a medida do cateto oposto a 30° e que a hipotenusa mede 5 cm. Com essas informações, qual das três razões trigonométricas é a mais adequada? A resposta para essa pergunta deve ser seno, pois essa é a única razão trigonométrica que envolve o cateto oposto e a hipotenusa. Substituindo os valores na razão seno, teremos: Sen30° = x Como dito, não importam as medidas dos lados de um triângulo. O seno de 30° sempre será igual a 0,5. Assim, podemos substituir: 0,5 = x 5·0,5 = x x = 2,5 Os valores de seno, cosseno e tangente de cada ângulo podem ser encontrados em uma tabela de razões trigonométricas (clique aqui) ou podem ser calculados em uma calculadora científica. Geralmente, é exigido que os alunos saibam os valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30°, 45° e 60°, que podem ser encontradas na tabela a seguir:
Tabela de valores trigonométricos |
Como calcular a altura usando seno, cosseno e tangente
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