Qual a área de um triângulo equilátero cujo lado mede 4 cm

O triângulo equilátero é um tipo especial de triângulo. Por essa razão, todas as propriedades que valem para os triângulos são válidas para ele, mas esse tipo também possui propriedades específicas.

Quando um polígono possui somente três lados, ele é conhecido como triângulo. Essa forma geométrica pode ser classificada quando se comparam seus lados. Assim, um triângulo pode ser escaleno, quando todos os lados são diferentes; isósceles, quando dois lados são congruentes; e equilátero, quando os três lados são congruentes.

O triângulo equilátero possui características específicas em razão das medidas iguais. Há, inclusive, fórmulas para cálculo de área e perímetro que são eficientes somente para triângulos equiláteros

Leia também: Pirâmides – figuras geométricas cujas faces laterais são formadas por triângulos

Propriedades do triângulo equilátero

Um triângulo é conhecido como equilátero quando ele possui a medida dos três lados congruentes, assim, consequentemente, os seus ângulos internos também são congruentes. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º e os ângulos são iguais, ao dividirmos 180º por 3, chegaremos a ângulos de 60º. Os ângulos internos do triângulo equilátero, portanto, sempre medem 60°.

Em razão dessas características, o triângulo equilátero possui propriedades específicas. Se traçarmos a altura do triângulo equilátero, ela também será bissetriz (segmento de reta que divide o ângulo em duas partes congruentes) e mediana (segmento de reta que liga o vértice ao ponto médio do lado oposto).

Ao dividirmos o triângulo como feito na imagem anterior, a altura do triângulo pode ser escrita em função do lado, o que pode ser demonstrado tanto por trigonometria quanto pelo teorema de Pitágoras.

A fórmula para calcular a altura de um triângulo equilátero é:

Leia também: Mediana, bissetriz e altura de um triângulo

No teorema de Pitágoras, é demonstrado que existe uma relação entre os lados de um triângulo retângulo. A soma do quadrado dos catetos é igual à hipotenusa ao quadrado. A hipotenusa é o maior lado oposto ao ângulo de 90º (no nosso caso, o lado que mede l), e os catetos são os outros dois lados. Então, temos que:

→ 2ª demonstração:

Vale lembrar dois dados importantes da trigonometria. Um deles é o seno de um ângulo e o outro é o valor do seno de 60º.

O seno de um ângulo qualquer é dado pela relação entre o cateto oposto e a hipotenusa do triângulo retângulo:

Vale lembrar também os ângulos notáveis, que são os ângulos de 30º, 45º e 60º. Neste caso usaremos o ângulo de 60º, então é importante pontuar que:

Isso torna possível demonstrar que a altura só depende de h. Veja:

Independentemente do tipo de demonstração, é possível perceber que a altura (h) depende somente do valor do lado para ser calculada.

Perímetro do triângulo equilátero

Perímetro é a soma de todos os lados de um polígono. Como o triângulo equilátero é um polígono regular, ou seja, possui todos os três lados congruentes, o cálculo do seu perímetro é muito simples, depende somente da medida do lado l de um triângulo equilátero. Como ele possui os três lados com a mesma medida, temos que:

P = 3l

Exemplo 1:

Calcule o perímetro do triângulo equilátero cujo lado mede 9 cm.

Resolução:

P = 3l

P = 3.9 = 27 cm

Exemplo 2:

Para cercar um terreno com 5 voltas de arame, foram necessários 450 metros de arame. Sabendo que o terreno tem o formato de um triângulo equilátero, qual é a medida de cada um dos seus lados?

Resolução:

Temos como dado 5 vezes o perímetro e queremos descobrir o valor dos lados.

Sendo assim, temos que:

Acesse também: Área do prisma – cálculo feito a partir da planificação de sólidos geométricos

Área do triângulo equilátero

Entendemos que área de um triângulo qualquer é dada pela multiplicação da base pela altura dividida por dois, mas o triângulo equilátero possui uma fórmula especial para ele, que é a seguinte:

→ Demonstração da fórmula:

A área de um triângulo qualquer é dada por:

Exercícios resolvidos

Questão 1 - A área e a altura de um triângulo equilátero que possui um perímetro de 15 cm são, respectivamente (sugestão: use √3 = 1,7)?

a) 15 e 225

b) 5 e 11,3

c)10,5 e 21

d) 4,25 e 10,625

e) 8,5 e 22,5

Resolução

- 1º passo: encontrar o valor do lado l.

Se o perímetro é 15 cm, significa que 3l é igual a 15, logo o lado do triângulo é 5 cm.

- 2º passo: calcular altura.

- 3º passo: calcular a área.

Letra d.

Questão 2 - Um triângulo equilátero possui lados medindo y, 2x + 3 e 4x – 2, logo os valores de x e y são, respectivamente:

a) 5 e 16

b) 16 e 5

c) 4 e 2

d)8 e 2,5

e) 2,5 e 8

Resolução:

Um triângulo equilátero possui lados congruentes, então:

Primeiro, vamos igualar os lados que possuem mesma incógnita:

Sabendo o valor de x, escolhemos qualquer um dos lados que possui essa incógnita e igualamos a y.

Letra E. 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

O triângulo equilátero é uma figura geométrica plana que possui como principal característica os três lados congruentes, ou seja, a medida desses três lados é a mesma.

Esse fato gera uma consequência imediata, os três ângulos internos desse triângulo também são iguais entre si. Além disso, esse triângulo possui importantes propriedades geométricas que facilitam a resolução de determinadas situações-problemas.

Leia também: Qual é a condição de existência de um triângulo?

Propriedades dos triângulos equiláteros

O triângulo equilátero possui algumas propriedades que facilitam a resolução de algumas situações-problemas.

Propriedade 1 – Todos os ângulos internos de um triângulo equilátero medem 60°.

Propriedade 2 – A altura (segmento perpendicular a um dos lados), a mediana (segmento que divide um lado ao meio) e a bissetriz (segmento que divide um ângulo ao meio) coincidem-se.

Perímetro do triângulo equilátero

Sabemos que o perímetro de um polígono qualquer é dado pela soma das medidas de todos os lados, e no triângulo equilátero, a ideia não é diferente. Pelo fato do triângulo equilátero possuir todos os lados iguais, podemos determinar uma fórmula que facilite o cálculo do perímetro.

Considere um triângulo equilátero de lado l:

Como o perímetro é dado pela soma de todos os lados, então:

2P = l + l + l

2P = 3 · l

Lembre-se: a notação para perímetro é 2P. Utilizamos a letra P para representar o semiperímetro. A fórmula afirma que para calcular o perímetro de um triângulo equilátero basta multiplicar a medida do lado por 3.

Determine o perímetro do triângulo equilátero cujo lado é de 4 cm.

Substituindo o valor do lado na fórmula deduzida, temos:

2P = 3 · l

2P = 3 · 4

2P = 12 cm

Portanto, o perímetro é de 12 centímetros.

Leia também: Semelhança de triângulos: quais são os casos?

Área do triângulo equilátero

Para calcular a área de um triângulo equilátero, inicialmente traçamos a altura relativa a um dos lados. Pelas propriedades sabemos que a altura coincide com a mediana, ou seja, ao traçar a altura, divide-se o lado pela metade.

Sabemos que a área de qualquer triângulo é dada pela multiplicação da base com a altura, e isso dividido por 2.

Observe que o valor da base é conhecido no caso l, entretanto o valor da altura é desconhecido. Desse modo, para determinar a área do triângulo equilátero, é necessário, antes, encontrar a altura dele. Para isso, utilizaremos o teorema de Pitágoras:

Como agora conhecemos a medida da altura, podemos substituir na fórmula da área de um triângulo.

Determine a área do triângulo equilátero cujo lado mede 4 cm.

Para calcular a área de um triângulo equilátero, basta substituir a medida do lado na fórmula, sabendo que, nela, l representa essa medida. Assim temos:

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Um fazendeiro precisou construir um cercado para que sua criação de galinhas não fugisse. Ao fazer o projeto, notou que o cercado ficaria em forma de um triângulo equilátero com 3 metros de comprimento de lado. Quantos metros de cerca esse fazendeiro terá que comprar? Sabendo que cada metro custa 4 reais e 50 centavos, quanto ele gastará?

Resolução

O terreno do fazendeiro pode ser representado por:

O perímetro é dado por:

2P = 3 · 3

2P = 9 m

Como cada metro custa 4,50 reais, o fazendeiro gastará 9 vezes esse valor:

gasto = 4,5 · 9

gasto = 40,5

Portanto, o fazendeiro gastará 40 reais e 50 centavos.

Questão 2 – Uma empresa de azulejos precisa cobrir o fundo de uma piscina com azulejos de 1 m2. A piscina tem o formato de um triângulo equilátero de lado de 6 metros. Determine a quantidade de azulejos a ser utilizada.

(Dado: Use √3 = 1,7)

Resolução

Inicialmente determinamos a área da piscina.

Como cada azulejo tem 1 m2, então terão que ser comprados 16 azulejos, uma vez que não se vende 0,3 azulejo.