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Vamos primeiro definir o que é um fatorial e como ele é usado. Em “geral, fatoriais são apenas produtos, e o símbolo usado para indicar um fatorial é o ponto de exclamação “!”. Por exemplo, "cinco fatorial", escrito como 5! é igual a 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Nota: n! significa o produto de todos os números inteiros positivos menores e igual a n; isto é, n! = 1 · 2 · 3 · ... · n ou como alguns autores preferem n! = n · ... · 3 · 2 · 1. Em regra geral n! = 1 · 2 · 3 · 4 · ... · (n – 2) · (n – 1) · n, logo podemos expressar n! como n · (n – 1)!. Isso vai nos ajudar a justificar o valor de 0!. Embora seja definido 0! como igual a 1, o exemplo a seguir vai ajudar a justificar esta definição. Podemos aplicar nossa conclusão de que n! = n · (n – 1)!, para o caso em que n = 1 obtendo: 1! = 1 · (1 – 1) = 1 · 0! = 0 Então simplificando temos 1 = 0! Talvez o leitor não esteja acostumado com este tipo de demonstração, contudo apresento a você outra maneira de olhar para o 0!: considerando o número de permutações de um conjunto. A permutação de n elementos distintos é um agrupamento ordenado desses elementos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos. Se n representa o número de elementos de um conjunto, digamos n = 1, então o número de permutações, n! = 1! = 1. Se n = 2, então o número de permutações é igual a 2! = 2 · 1 = 2 ou olhando para os arranjos dos elementos do conjunto: (2, 1), (1, 2). Se n = 3, em seguida, o número de permutações é igual a 3! = 3 · 2 · 1 = 6 ou arranjos dos elementos do conjunto: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Portanto, para n = 0, 0! é equivalente ao número de permutações de um conjunto vazio, que é ordenada de uma única maneira, de modo 0! = 1. Fonte: POSAMENTIER, Alfred S. FARBER, William. GERMAIN-WILLIAMS, Terri L. PARIS, Elaine. THALLER, Bernd. LEHMANN, Ingmar. 100 commonly asked questions in math class : answers that promote mathematical understanding, grades 6–12. Corwin a SAGE Company: California (EUA), 2.013. ***
R2 – Porque o fatorial é uma particularização de uma função chamada Gama (que é definida para todos os números reais, exceto os inteiros negativos). Essa tal função gama tem todas as propriedades do fatorial. ... Portanto, podemos dizer que o fatorial de zero é igual a 1. Qual é o fatorial de 1?Fatorial Qual o valor de zero dividido por zero?Um número diferente de zero ao ser dividido por zero dá erro. A resposta é "não existe". Veja: 4/0 = x dá x . 0 = 4, ou seja, só seria possível se o produto de um número por zero não fosse zero! Qual o valor de 9 elevado a 0?Resposta. Qualquer numero elevado a 0 é 1 !!! O que acontece quando um número é dividido por ele mesmo?Resposta: Qualquer número dividido por si própria dá a si próprio. O 1 é apenas uma representação de para quantos se divide o número. Como saber se um número é divisível por outro?Critérios de divisibilidade são regras de divisibilidade que usamos para verificar se um número é divisível por outro. Um número é divisível por outro quando o resto da divisão entre os dois é igual a zero....Divisibilidade por 10
Qual só é dividido por 1 e por ele mesmo?17 é primo pois também só é divisível por 1 e por ele mesmo. Como se sabe que o número é primo?Mas, como reconhecer os números primos? Para identificar um número primo devemos dividi-lo sucessivamente por números primos como: 2, 3, 5. . . e verificar se a divisão é exata (em que o resto é zero) ou não exata (onde o resto é diferente de zero). Qual o número não é primo e nem composto?- O número 1 não é primo nem composto (tem apenas 1 divisor). Quando multiplicamos um número primo por um número composto obtemos como resultado um número?Quando multiplicamos números primos, obtemos um número composto e, reciprocamente, quando isolamos os divisores primos de um número a, representamos a como um produto de fatores primos, i.e., Por exemplo, o número 90 é divisível por 2, e assim obtemos: 90 = 2 x 45.
Resultado da pesquisa no Google: R1 – Pense de onde veio a definicao de fatorial. Imagine que tu tens 5 pessoas para organizar numa fila. De quantas formas diferentes tu podes organizar a fila? Pra primeira posicao da fila voce pode escolher uma entre 5, pra segunda, uma entre 4, e assim por diante, resultando em 5*4*3*2*1 = 5!. Pra n pessoas, a mesma coisa: n!. Agora, imagine que tu tens so uma pessoa. De quantas formas tu podes fazer a fila? 1! = 1. Finalmente, de quantas formas tu podes fazer a fila se nao ha pessoa alguma pra organizar? De uma forma so (fila vazia). Pra isso, 0! = 1. R2 – Porque o fatorial é uma particularização de uma função chamada Gama (que é definida para todos os números reais, exceto os inteiros negativos). Essa tal função gama tem todas as propriedades do fatorial. Então 0! = 1 pois Gama(0) =1 A definição da Gama necessita de matemática superior para ser compreendida, mas entenda que vem do cálculo de uma área. R3 – Os fatoriais têm a seguinte propriedade: n*(n-1)! = n! Assim, podemos escrever: (n-1)! = n!/n Fazendo n = 1, podemos encontrar o fatorial de 0: (1-1)! = 1!/1 0! = 1/1 Portanto, podemos dizer que o fatorial de zero é igual a 1. R4 – Convenção uma pinóia. Basta notar que n!=n*(n-1)!;Fazendo n=1,temos 1!=1*(0!)=> 0!=1.Simples assim. [A resposta acima leva à estranha ideia de que 0 x (0-1)! = 1 — isto é, 0 x (-1)! = 1. A implicação é que o fatorial (supostamente impossível) de um número negativo, no caso -1, é um número tal que, multiplicado por zero, dá um! TEORIA DO ZERO À ESQUERDA em questão! Mas R3, a resposta anterior, talvez “cure” esta impressão inicial…] R5 [Edu Viana] – Fatorial de zero ? Caros .. intrigante .. mas o fatorial de zero é 1. Pq ???? Por definição, o fatorial de um número é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e excluindo o zero. Representamos o fatorial de n por n!…. logo n! = n * (n-1) * ( n-2)…. então podemos escrever n! = n * ( n-1)! Assim … 2! = 2×1 = 2 … como fatorial de 1 é igual a 1… temos, 1 = 1 * 0! … logo fatorial de zero tem que ser igual a 1. R6 – Wiki Note que esta definição implica em particular que  porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1. Deve-se prestar atenção neste valor pois este faz com que a função recursiva funcione para n = 0. R7 Eu conheço apenas a interpretação vinculada ao >> > > número de subconjuntos. Como Cn,p é igual ao número de >> > > subconjuntos de p elementos de um conjunto de n elementos, então >> > > Cn,0 = 1 indica o número >> > de subconjuntos de 0 elementos, a saber, o >> > > vazio. >> > > >> > > Porém, se C8,3 indica o número de comissões >> > > de 3 pessoas num grupo de 8, como aceitar que o número de >> > > comissões de >> > zero >> > > pessoas é igual C8,0=1? >> > > >> > > Se A5,3 fornece o número de senhas de 3 letras >> > > distintas a partir de um universo de 5, como aceitar que deste >> > > mesmo >> > universo é >> > > possível obter uma senha de zero letras, isto é, A5,0 = 1? >> > > >> > > Grato, >> > > JorgeR8 Acho que nao eh um postulado, mas sim uma definicao. Da mesma forma >> > que, por definicao, a^n = a*....*a (n vezes) para n inteiro >> > positivo. Da mesma forma que, por definicao, Gama(x) = Integral (0 >> > a oo) e^(-t) t^(x -1) dx >> > >> > Se eu fosse um cara prepotente, poderia definir número de Artur >> > como ln(1 + arctan(e^2 - 3,79)^pi)) + cosh(pi^e^+ e^(1,21pi. >> > Contrariamente a outras cosntantes, nao serve para nada, uma >> > definicao idiota, as seria uma definicao, nao um postulado. >> > >> > ArturR9 Olá ^.^ eu costumo pensar no fatorial como uma função definida por recorrência uma função f(n) que satisfaz a equação funcional ou recorrencia f(n+1)=f(n).(n+1) para n natural sendo uma recorrência de ordem 1 precisa de uma condição inicial que tomamos f(0)=1, porém se tomarmos outra condição inicial como f(1)=1 podemos deduzir f(0)=1 atraves da recorrencia, pois f(1)=1.f(0), f(1)=f(0), logo f(0)=1 se definirmos outra condição inicial f(2), ao inves de f(1) ou f(0), por exemplo definindo f(2)=2, podemos deduzir que f(1)=1 pois f(2)=2.f(1)=2, f(1).2=2 logo f(1)=1 e assim por diante, se definimos f(n) pra algum número natural n0, podemos achar os outros números a partir da recorrência, pois sendo uma recorrência de ordem 1 ela fica definida por apenas 1 condição inicial que pode ser qualquer. a função f(n) que satisfaz f(n+1)=f(n).(n+1) pra n natural, e a condição inicial f(0)=1, podemos definir como fatorial de n, f(n)=n! sendo f(n) diferente de zero pra todo n, podemos tomar f(n+1)/f(n) =(n+1) e tomar o produtorio de ambos lados, fazendo o n variar de n=0 até p-1 Prod [n=0,p-1] f(n+1)/f(n)= Prod [n=0, p-1](n+1) no primeiro lado, temos uma propriedade semelhante a soma telescópica, o resultado ficando apenas f(p+1)/f(0) =Prod [n=0, p-1](n+1) assim f(p+1)=f(0).Prod [n=0, p-1](n+1)=f(0) . Prod [n=1, p](n) isto é f(p+1)=f(0) . Prod [n=1, p](n) depende do valor que damos para f(0) que é nossa condição inicial pro fatorial. |
Por que 0 fatorial é 1
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