A distância entre dois pontos é a medida do segmento de reta que os une. Show Podemos fazer o cálculo dessa medida usando a Geometria Analítica. Distância entre dois pontos no planoNo plano, um ponto fica totalmente determinado conhecendo um par ordenado (x, y) associado a ele. Para conhecer a distância entre dois pontos, iremos inicialmente representá-los no plano cartesiano, para então calcular essa distância. Exemplos: 1) Qual a distância entre o ponto A (1,1) e o ponto B (3,1)?  d(A,B) = 3 - 1 = 2 2) Qual a distância entre o ponto A (4,1) e o ponto B (1,3)? Note que a distância entre o ponto A e o ponto B é igual a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 2 e 3. Assim, usaremos o teorema de Pitágoras para calcular a distância entre os pontos dados. [d(A,B)]2 = 32 + 22 = √13 Fórmula da distância entre dois pontos no planoPara encontra a fórmula da distância, podemos generalizar o cálculo feito no exemplo 2. Para dois pontos quaisquer, tais como A (x1,y1) e B (x2, y2), temos: Para saber mais, leia também:
Distância entre dois pontos no espaçoUsamos um sistema de coordenadas tridimensional para representar pontos no espaço. Um ponto fica totalmente determinado no espaço quando existe uma tripla ordenada (x,y,z) associado a ele. Para encontrar a distância entre dois pontos no espaço, inicialmente podemos representá-los no sistema de coordenadas e a partir daí, efetuar os cálculos. Exemplo: Qual a distância entre o ponto A (3,1,0) e o ponto B (1,2,0)? Nesse exemplo, observamos que o ponto A e B pertencem ao plano xy. A distância será dada por: [d(A,B)]2 = 12 + 22 = √5 Fórmula da distância entre dois pontos no espaçoPara saber mais, leia também:
Exercícios Resolvidos1) Um ponto A pertence ao eixo das abscissas (eixo x) e é equidistante dos pontos B (3,2) e C (-3,4). Quais são as coordenadas do ponto A?
Como o ponto A pertence ao eixo das abscissas então sua coordenada é (a,0). Assim temos que encontrar o valor de a. (0 - 3)2 + (a - 2)2 = (0 + 3)2 + (a -4)2 (3,0) são as coordenadas do ponto A. 2) A distância do ponto A (3,a) ao ponto B (0,2) é igual a 3. Calcule o valor da ordenada a. 32 = (0 - 3)2 + (2 - a)2 3) ENEM - 2013 Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano: A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas a) (65 ; 35) b) (53 ; 30) c) (45 ; 35) d) (50 ; 20) e) (50 ; 30) Alternativa correta e: (50;30) Veja também: exercícios sobre distância entre dois pontos 4) ENEM - 2011 Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5,5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto a) (-5,0) b) (-3,1) c) (-2,1) d) (0,4) e) (2,6) Alternativa correta b: (-3,1). Veja também: exercícios sobre Geometria Analítica
Estado do Acre Secretaria de Estado de Educação, Cultura e Esporte Esc. Estadual de Ensino Médio BELO PORVIR Aluno:__________________________________ Professor: Charles Junior B. Moreira Componente Curricular: Matemática Ano Letivo 2020 Bimestre: 1º Série/Ano: 2º Turma: _________ D6 Questão 01 ––––––––––––––––––––––––––◊ Observe o plano cartesiano a seguir: O par ordenado que corresponde ao ponto P é (A) (4, 3). (B) (-3, -4). (C) (-2, 4). (D) (3, -3). (E) (1, 2). D14 Questão 02 ––––––––––––––––––––––––––◊ Observe a reta real a seguir: O número racional está representado na reta real pela letra (A) K. (B) M. (C) P. (D) Q. (E) L. D18 Questão 03 ––––––––––––––––––––––––––◊ A tabela a seguir representa o comportamento de uma função polinomial de 1º grau. Assinale a alternativa que apresenta o gráfico correspondente a essa função. D14 Questão 04 –––––––––––––––––––––––––◊ Observe a reta real a seguir onde estão representados os pontos ; e . As letras P, Q e R correspondem, respectivamente as frações na seguinte ordem (A) ; e . (B) ; e . (C) ; e . (D) ; e . (E) ; e . D20 Questão 05 ––––––––––––––––––––––––––◊ Observe os gráficos de funções polinomiais de 1º grau. Assinale a alternativa que apresenta os números correspondentes aos gráficos de funções decrescentes. (A) I e II. (B) II e III. (C) II e IV. (D) III e V. (E) IV e V. D19 Questão 06 ––––––––––––––––––––––––––◊ Observe a função poligonal 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4. O zero dessa função (A) é inferior a 1. (B) é igual a 2. (C) é igual a 3. (D) está entre o intervalo 4 e 5. (E) está entre o intervalo 5 e 6. D23 Questão 07 ––––––––––––––––––––––––––◊ Observe a função polinomial de 1º grau a seguir: 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑 O gráfico que representa essa função é o D6 Questão 08 ––––––––––––––––––––––––––◊ Considere quatro pontos cujas coordenadas estão representadas a seguir: Assinale a alternativa que apresenta o plano cartesiano com a marcação dos pontos M, N, P e Q. D24 Questão 09 ––––––––––––––––––––––––––◊ Observe o gráfico a seguir: Assinale a representação algébrica que corresponde ao gráfico no conjunto dos reais no intervalo (𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟎). (A) (B) (C) (D) (E) D19 Questão 10 ––––––––––––––––––––––––––◊ Considere os seguintes planos de telefonia celular oferecidos por duas empresas do ramo: Carlos utiliza, em média, 200 minutos por mês em ligações. Considerando essas informações, podemos afirmar que (A) o plano da empresa A é mais vantajoso para Carlos, pois economizará R$ 10,00 em média. (B) o plano da empresa B é mais vantajoso para Carlos, pois economizará R$ 10,00 em média. (C) o plano da empresa A é menos vantajoso para Carlos, pois gastará R$ 20,00 a mais, em média. (D) o plano da empresa B é menos vantajoso para Carlos, pois gastará R$ 20,00 a mais, em média. (E) o plano da empresa A é tão vantajoso quanto o plano B. Questão 11 ––––––––––––––––––––––––––◊ Considerando que A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∩ B = {4, 5} e A – B = {1, 2, 3}, determine o conjunto B. A) {4, 5, 6, 7, 8}. B) {1,2,3} C) {4,5} D) {6,7,8} E) { 1,2,3,4} Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 1, 2} e C = {2, 3}, determine (A U B) ∩ (B U C). A) {0, 1, 2} B) {1,2} C) {3} D) {0,1} E) { 2,3} Questão 12 ––––––––––––––––––––––––––◊ (UFSE) - Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência: a) venceu A, com 120 votos. b) venceu A, com 140 votos. c) A e B empataram em primeiro lugar. d) venceu B, com 140 votos. e) venceu B, com 180 votos. D19 Questão 13 ––––––––––––––––––––––––––◊ Uma lan house propõe a seus clientes mensalistas duas opções de pagamento. Para um cliente que utiliza o serviço dessa lan house, duas horas por dia, durante 20 dias do mês, (A) é mais vantajosa a opção I onde economizará R$ 32,00. (B) é mais vantajosa a opção I onde economizará R$ 22,00. (C) é mais vantajosa a opção II onde economizará R$ 32,00. (D) é mais vantajosa a opção II onde economizará R$ 22,00. (E) é mais vantajosa a opção II onde economizará R$ 12,00 D19 Questão 14 ––––––––––––––––––––––––––◊ Observe a função polinomial . O zero dessa função (A) está entre o intervalo −4 e −2 (B) é inferior a −8. (C) é igual a −8 . (D) é igual a −4. (E) está entre o intervalo −8 e −2. D27 Questão 15 ––––––––––––––––––––––––––| Considere a função , definida por . Assinale a alternativa que mostra sua representação gráfica. |
Observe os pontos no plano cartesiano a seguir. o ponto de coordenadas (–3, 2) corresponde a letra *
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