O que são funções exponenciais e logarítmicas?

Conhecemos como função logarítmica a função com lei de formação f(x) = logax, cujo domínio  são os números reais positivos e o contradomínio são os números reais. A base, por definição, deve ser positiva e diferente de 1.

A função logarítmica é útil para situações como os juros compostos — já que ela é a função inversa da função exponencial — e a medição de magnitude de terremotos, há também sua aplicação na química e na geografia. A função logarítmica pode ser crescente ou decrescente, ela é decrescente quando a sua base é um número maior que 0 e menor que 1, e crescente quando a sua base é maior do que 1.

Leia também: Propriedades das potências – técnicas que facilitam as operações com expoentes

Definição da função logarítmica

Definimos a função logarítmica como f: R* + → R, ou seja, seu domínio é o conjunto dos números reais não nulos e seu contradomínio são os números reais, tal que a lei de formação pode ser descrita por f(x) = logax,, em que x é a variável e a é a base do logaritmo. Lembrando que, por definição, em um logaritmo a base é positiva e diferente de 1. 

Exemplos:

a) f(x) = log x  → (Quando a base não aparece no logaritmo, seu valor é 10.)

b) f(x) = log0,5 x → (Nesse caso a base é 0,5.)

c) f(x) = log8x  →  (Nesse caso a base é 8.)

Domínio da função logarítmica

Por definição, o domínio é o conjunto dos números reais positivos, isso acontece porque não é possível calcular-se logaritmos de um número negativo tendo a base positiva, pois um número positivo elevado a qualquer número sempre resultará em um número positivo. Por exemplo, suponha que queiramos calcular o logaritmo a seguir.

Exemplo:

• log3 -3 → Não existe nenhum número real que faz com que 3n seja igual a -3.

Esse exemplo é um caso particular, mas podemos estender a ideia para qualquer número negativo. Por esse motivo, o domínio dessa função é somente o dos números reais positivos, o que faz com que o gráfico de uma função logarítmica, como veremos a seguir, fique apenas no primeiro e quarto quadrantes, já que o valor de x em f(x) = logax será sempre positivo.

Veja também: Potências com expoente fracionário e decimal

Gráfico da função logarítmica

Para construir o gráfico de uma função logarítmica, é necessário atribuir alguns valores para x e encontrar o valor de f(x) nesses casos. Existem duas possibilidades para esse gráfico, que pode ser  crescente ou decrescente. O que define seu comportamento é o valor da base a.

Seja: f(x) = logax

Se a > 1 → f(x) é crescente;

Se 0 < a < 1 → f(x) é decrescente.

Vamos construir o gráfico de uma função crescente, lembrando que uma função é crescente graficamente quando à medida que o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta.

Exemplo:

f(x) = log2x

Agora que temos os pontos, é possível construirmos o gráfico.

Note que a base é maior que 1, logo, o gráfico será crescente.

Uma função é considerada decrescente quando à medida que o valor de x aumenta, o valor de y diminui. Vamos construir um gráfico de uma função logarítmica decrescente.

Exemplo:

Agora que temos os pontos, é possível construirmos o gráfico.

Note que a base é menor que 1, logo, ele será decrescente.

Acesse também: Quais são as diferenças entre função e equação?

Função logarítmica e função exponencial

A função logarítmica e a função exponencial são conhecidas como funções inversas uma da outra. Muitos autores explicam a função logarítmica por meio da função exponencial, acontece que, se a função exponencial f(x) = ax , f: R → R*+ tiver a sua lei de formação invertida, encontraremos a função f(x) = logax. Além disso, na função logarítmica, o domínio e o contradomínio invertem-se em comparação com a função exponencial, como vimos na definição.

Graficamente, se traçarmos a bissetriz dos eixos ímpares, o gráfico da função exponencial é simétrico ao gráfico da função logarítmica.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Seja f(x) = log2x, o valor do produto f(9) · f(8) · f(7) · … · f(3) · f(2) · f(1) é igual a:

a) 0

b) 9

c) 32

d) 64

e) 1024

Resolução

Alternativa A.

Analisando a função, compreendemos que calcular cada um dos seus valores numéricos seria bastante trabalhoso e até mesmo impossível sem o uso de uma calculadora científica, porém sabemos que f(1) = log21 = 0, logo, como f(1) = 0 e zero é o elemento neutro da multiplicação, sabemos que o produto dos termos f(9) · f(8) · f(7) · … · f(3) · f(2) · f(1) = 0.

Questão 2 - (Enem 2016) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por:

Sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma constante real positiva. Considere que E1 e E2 representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.

Qual a relação entre E1 e E2?

Resolução

Alternativa C.

Japão

M = 9 e E = E1

Então temos que:

Chamaremos de I a equação:

- LogE0  = 13,5 – logE1

Agora, utilizando os dados da China, encontraremos outra equação:

M = 7,0 E = E2

Seja II a equação:

- logE0 = 10,5 – logE2

Então temos que I = II, logo:

A função exponencial é utilizada para descrever e modelar o comportamento de várias situações no nosso dia a dia. Podemos observá-la, por exemplo, na matemática financeira, em situações que envolvem juros compostos, em reprodução de cultura de bactérias, e até mesmo o comportamento de novos casos da covid-19, durante a pandemia em 2020, aproxima-se muito de um comportamento exponencial.

A lei de formação da função exponencial é f(x) = ax, podendo gerar um gráfico crescente ou decrescente, dependo do valor da base “a”. A função inversa da função exponencial é a função logarítmica.

Leia também: Quais são as diferenças entre função e equação?

Definição da função exponencial

Definimos como função exponencial uma função f: ℝ → ℝ*+, ou seja, seu domínio é o conjunto dos números reais, e seu contradomínio é o conjunto dos números reais positivos diferentes de 0. Além disso, a sua lei de formação pode ser descrita por f (x) = ax, em que ‘a’ é a base, cujo valor sempre será um número real positivo.

Exemplos:

f(x) = 2x

f(x) = 0,3x

Podemos observar que f(x) é a variável dependente, podendo ser representada por y também, e x é a variável independente.

Podemos dividir a função exponencial em dois casos: crescente ou decrescente.

O gráfico da função f(x) = ax é crescente quando a base é um número maior do que 1, ou seja, quando a > 1. Nesse caso, quanto maior o valor de x maior será o valor de y.

A função exponencial é decrescente quando a base é um número maior que 0 e menor que 1, ou seja, quando 0<a<1. Caso ela seja decrescente, quanto maior o valor de x menor será o valor de y.

Veja também: Tipos de gráficos – quando usar cada um?

Gráfico da função exponencial

Para traçar o gráfico de uma função exponencial, é necessário encontrar o valor numérico para alguns valores de x. Existem duas possibilidades para o comportamento do gráfico, ele pode ser crescente ou decrescente, como vimos anteriormente. Quando o gráfico é crescente, a função exponencial é caracterizada por possuir um crescimento muito rápido em comparação, por exemplo, com a função afim.

Podemos observar que o gráfico não passa pelo 3º e 4º quadrante do plano cartesiano, pois o contradomínio será, como vimos na definição, os reais positivos e maiores que 0. Por mais próximo que o gráfico chegue do eixo x, ele não o tocará, não há valor algum no domínio que faça com que ax seja igual a 0, lembrando que, por definição, a base é sempre maior do que 0.

Exemplos:

Construa os gráficos das funções:

a) f(x) = 3x

Como a >1, então essa função é crescente. Para construir o gráfico, vamos construir a tabela com alguns valores numéricos da função.

Após encontrar alguns valores numéricos, é possível representar no plano cartesiano gráfico da função:

Nesse caso, a base é menor que 1, ou seja, 0<a<1, logo o gráfico será decrescente. O fato de ele ser decrescente não altera o método que utilizaremos para construí-lo, assim como foi feito no outro, encontraremos alguns valores numéricos.

Após encontrar alguns valores numéricos, é possível representar no plano cartesiano o gráfico da função:

Para saber mais informações sobre a construção dos gráficos desse tipo de função, acesse: gráfico da função exponencial.

Propriedades da função exponencial

Em uma função exponencial, f(0) = 1. Essa propriedade não passa de uma consequência das propriedades de potência, já que a base de todo número diferente de 0 elevado a 0 é igual a 1.

f(0) = a0=1

A função exponencial é injetiva. Isso significa que, para valores diferentes de x, a imagem também será diferente, ou seja, f(x1) ≠ f(x2) com x1 ≠ x2. Ser injetiva significa que, para valores diferentes de y, existirá um único valor de x que faz com que f(x) seja igual a y.

Como vimos em um tópico anterior, o gráfico da função exponencial pode ser crescente, se a base for maior que 1 (a >1), e decrescente, caso a base seja um número menor que 1 e maior que 0 (0<a<1).

O gráfico da função exponencial nunca corta o eixo x. Por menor que seja o valor da imagem, ele nunca chegará a ser 0. Dizemos que ele tende a 0, mas não existe valor de x que faça com que f(x) = 0.

Conheça mais detalhes sobre essas propriedades, acessando o texto: propriedades da função exponencial.

Função exponencial e função logarítmica

A comparação entre essas duas funções é bastante comum, já que a função logarítmica possui como função inversa a função exponencial. Isso significa que os gráficos das duas são simétricos em relação à bissetriz do eixo x.

Exemplo:

Encontre a função inversa f (x)-1 da função exponencial de lei de formação f(x) = 5x.

Para encontrar a função inversa, trocamos x e y de lugar.

x = 5y

Agora vamos isolar o y novamente, mas para isso aplicaremos log na base 5 dos dois lados.

log5x = log55y
log5x = ylog55
log5x= y

Então, a função inversa será:

f(x)-1 = log5x

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Um biólogo está estudando uma cultura de bactérias que se reproduzem de formal exponencial. A lei de formação que descreve a reprodução dessas bactérias é f(t) = Qi · 3t , em que Qi é a quantidade inicial de bactérias e t é o tempo dado horas. Sabendo que havia 200 bactérias em uma amostra, qual será a quantidade de tempo necessária para que essa cultura tenha o total de 16.200 bactérias?

a) 2 horas

b) 3 horas

c) 4 horas

d) 5 horas

e) 6 horas

Resolução

Alternativa C

Sabemos que f(t) = 16 200 e que Qi=200, realizando a substituição desses termos, vamos encontrar o valor de t.

Questão 2 - (ENEM – 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t) = 1800·(1,03)t. De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais:

a) 7416,00

b) 3819,24

c) 3709,62

d) 3708,00

e) 1909,62

Resolução

Alternativa E

Sabemos que t = 2, realizando a substituição.

s(t) = 1800·(1,03)t

s(2) = 1800·(1,03)²

s(2) = 1800· 1,0609

s(2) = 1909,62