Determine o volume de um prisma triangular regular no qual a aresta da base mede 4 cm

O volume do prisma é calculado pela multiplicação entre a área da base e a altura.

O volume determina a capacidade que possui uma figura geométrica espacial. Vale lembrar que, geralmente, ele é dado em cm3 (centímetros cúbicos) ou m3 (metros cúbicos).

Fórmula: Como Calcular?

Para calcular o volume do prisma utiliza-se a seguinte expressão:

V = Ab.h

Onde,

Ab: área da base
h: altura

Obs: Não se esqueça que para calcular a área da base é importante saber o formato que a figura apresenta. Por exemplo, num prisma quadrangular a área da base será um quadrado. Já num prisma triangular, a base é formada por um triângulo.

Você Sabia?

O paralelepípedo é um prisma de base quadrangular que tem como base os paralelogramos.

Leia também:

Princípio de Cavalieri

O Princípio de Cavalieri foi criado pelo matemático italiano (1598-1647) Bonaventura Cavalieri no século XVII. É utilizado até hoje para calcular áreas e volumes dos sólidos geométricos.

O enunciado do Princípio de Cavalieri é o seguinte:

“Dois sólidos nos quais todo plano secante, paralelo a um dado plano, determina superfícies de áreas iguais são sólidos de volume iguais.”

Segundo esse princípio, o volume de um prisma é calculado pelo produto da altura pela área da base.

Exemplo: Exercício Resolvido

Calcule o volume de um prisma hexagonal cujo lado da base mede x e sua altura 3x. Note que x é um número dado.

Inicialmente, vamos calcular a área da base para, em seguida, multiplicá-la pela sua altura.

Para isso, precisamos saber do apótema do hexágono, que corresponde à altura do triângulo equilátero:

a = x√3/2

Lembre-se que o apótema é o segmento de reta que parte do centro geométrico da figura e é perpendicular a um dos seus lados.

Logo,

Ab= 3x . x√3/2
Ab = 3√3/2 x2

Por conseguinte, calcula-se o volume do prisma pela fórmula:

V = 3/2 x2 √3 . 3x
V = 9√3/2 x3

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (UE-CE) Com 42 cubos de 1 cm de aresta formamos um paralelepípedo cujo perímetro da base é 18 cm. A altura deste paralelepípedo, em cm, é:

a) 4 b) 3 c) 2

d)1

2. (UF-BA) Em relação a um prisma pentagonal regular, é correto afirmar:

(01) O prisma tem 15 arestas e 10 vértices. (02) Dado um plano que contém uma face lateral, existe uma reta que não intercepta esse plano e contém uma aresta da base. (04) Dadas duas retas, uma contendo uma aresta lateral e outra contendo uma aresta da base, elas são concorrentes ou reversas. (08) A imagem de uma aresta lateral por uma rotação de 72° em torno da reta que passa pelo centro de cada uma das bases é outra aresta lateral.

(16) Se o lado da base e a altura do prisma medem, respectivamente, 4,7 cm e 5,0 cm, então a área lateral do prisma é igual a 115 cm2.

3. (Cefet-MG) De uma piscina retangular com 12 metros de comprimento por 6 metros de largura, foram retirados 10 800 litros de água. É correto afirmar que o nível de água baixou:

a) 15 cm b) 16 cm c) 16,5 cm d) 17 cm

e) 18,5 cm

4. (UF-MA) Conta uma lenda que a cidade de Delos, na Grécia Antiga, estava sendo assolada por uma peste que ameaçava matar toda a população. Para erradicar a doença, os sacerdotes consultaram o Oráculo e este ordenou que o altar do Deus Apolo tivesse seu volume duplicado. Sabendo-se que o altar tinha forma cúbica com aresta medindo 1 m, então o valor em que a mesmo deveria ser aumentado era:

a) 3√2 b) 1

c) 3√2 - 1

e) 1 - 3√2

5. (UE-GO) Uma indústria deseja fabricar um galão no formato de um paralelepípedo retângulo, de forma que duas de suas arestas difiram em 2 cm e a outra meça 30 cm. Para que a capacidade desses galão não seja inferior a 3,6 litros, a menor de suas arestas deve medir no mínimo:

a) 11 cm b) 10,4 cm c) 10 cm

d) 9,6 cm

Determinar a área lateral do prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 5 cm e a altura 10 cm .

A área lateral de um prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das suas três faces laterais.

Resolução:
Área total =




Volume =

Resposta:

Resolução:
1. a base é um triângulo equilátero, então: altura do triângulo da base
apótema
e
2. Área lateral =
Sendo temos que
Resposta:

Considerações:

a) b)
c) d)
e)   n.d.a

(C)

Um prisma triangular regular tem as arestas da base medindo 5 cm e 7 cm . Calcular a área da base, a área lateral, a área total e o volume.

Os prismas são sólidos geométricos cujas faces laterais são paralelogramos que possuem duas bases poligonais congruentes e paralelas. O volume dos prismas é uma forma de mensurar a quantidade de espaço ocupada por eles a partir de algumas de suas medidas. O volume também é conhecido como capacidade.

A fórmula usada para calcular o volume dos prismas é a seguinte:

V = AB·h

Em que:

V = volume do prisma
AB = área da base do prisma
h = altura

A área total das bases é o dobro da área de uma das bases do prisma. Essas bases, como dito anteriormente, são polígonos. Quando esses polígonos forem triangulares ou quadriláteros, será fácil calcular a área. Entretanto, caso sejam outro polígono, o problema em questão deverá propor alguma fórmula ou forma alternativa para que essa área seja calculada.

A estratégia usada para mostrar que a fórmula V = AB·h vale para todo prisma depende do princípio de Cavalieri. De acordo com esse princípio, independentemente do formato da base de um prisma A, sempre existirá um bloco retangular cuja área da base será igual à área da base do prisma A. Sendo assim, se os dois possuírem a mesma altura, terão o mesmo volume. Logo, a fórmula para o cálculo do volume de ambos é a mesma.

Confira a seguir exemplos de cálculo de área de alguns prismas.

Exemplos

1º exemplo – Um bloco retangular possui 15 cm de largura, 10 cm de comprimento e 45 cm de altura. Qual é o volume desse bloco retangular?

Solução: O bloco retangular é um prisma reto cuja base é um retângulo. A largura e o comprimento de um prisma são as dimensões de sua base. Dessa maneira, a base desse prisma é um retângulo cuja “altura” e “base” medem 10 cm e 15 cm, respectivamente. Assim, a área da base AB será:

AB = 15·10 = 150 cm2

A partir disso, o volume do prisma será calculado da seguinte forma:

V = AB·h

V = 150·45

V = 6750 cm3

Portanto, o volume desse prisma é de 6750 cm3.

2º exemplo – Calcule o volume de um prisma cuja base é um triângulo equilátero com 18 cm de lado e 30 cm de altura.

Solução: Para calcular a área da base, é necessário calcular a área do triângulo equilátero e multiplicar pela altura do prisma. A área desse triângulo pode ser calculada pela fórmula a seguir. Essa fórmula também pode ser encontrada com mais detalhes e exemplos no texto: Área de um triângulo equilátero.

AB = l2·√3
       4

AB = 182·√3
        4

AB = 324·1,73
       4

AB = 560,52
       4

AB = 140,13 cm2

Assim, a área do prisma será:

V = AB·h

V = 140,13·30

V = 4203,9 cm3

3º exemplo – Calcule o volume do prisma abaixo sabendo que suas bases são regulares.

Solução: Na imagem abaixo, observe a divisão do hexágono regular feita por meio de suas diagonais. Dessa maneira, é possível dividir o hexágono em 6 triângulos equiláteros, cujo lado corresponde a 20 cm. Assim, a área da base desse prisma será igual a 6 vezes a área da do triângulo equilátero de lado 20 cm.

AB = 6·202·√3
          4

AB = 6·400·1,73
         4

AB = 6·692
          4

AB = 6·173

AB = 1038 cm2

Assim, é possível calcular o volume:

V = AB·h

V = 1038·50

V = 51900 cm3

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática