O volume da pirâmide corresponde a capacidade total deste sólido geométrico. Show A pirâmide é um sólido geométrico de base poligonal e seu volume está relacionado com sua base e altura. Fórmula do volume da pirâmide Onde, 1. Determine o volume de uma pirâmide regular hexagonal de altura 30 cm e aresta de base de 20 cm. Resolução: Primeiramente, temos de encontrar a área da base dessa pirâmide. Nesse exemplo, ela é um hexágono regular de lado l = 20 cm. Logo, Ab = 6 . l2√3/4 Feito isso, podemos substituir o valor da área da base na fórmula do volume: V = 1/3 Ab.h V = 1/3 . 600√3 . 30 V = 6000√3 cm3 2. Qual o volume de uma pirâmide regular com 9 m de altura e base quadrada com perímetro de 8 m? Resolução: Para resolver esse problema, temos que estar atento ao conceito de perímetro. Ele é a soma de todos os lados de uma figura. Já que se trata de um quadrado, temos que cada lado tem medida de 2 m. Assim, podemos encontrar a área da base: Ab = 22 = 4 m Feito isso, vamos substituir o valor na fórmula do volume da pirâmide: V = 1/3 Ab.h V = 1/3 4 . 9 V = 1/3 . 36 V = 36/3 V = 12 m3 Exercícios sobre volume da pirâmideExercício 1(Vunesp) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura. Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m3) necessário para a construção da pirâmide será: a) 36 b) 27 c) 18 d) 12 e) 4
Resposta correta: d)12 Resolução Dados: Aresta da base = 3 m Base quadrada Altura = 4 m O volume da pirâmide é a área da base vezes a altura, dividido por 3. Área da base Ab = L x L Ab = 3 x 3 = 9 m² Aplicando os valores na fórmula do volume:
Desta forma, o volume da pirâmide é de 12 m³. (Unifor-CE) Uma pirâmide regular tem 6√3 cm de altura e a aresta da base mede 8 cm. Se os ângulos internos da base e de todas as faces laterais dessa pirâmide somam 1800°, o seu volume, em centímetros cúbicos, é: a) 576 b) 576√3 c) 1728 d) 1728√3 e) 3456
Resposta correta: a) 576 Resolução Dados: Aresta da base = 8 cm Altura = 6√3 cm Forma do polígono da base, ainda desconhecida. Soma dos ângulos internos da base e dos lados = 1800° Objetivo Fórmula do volume da pirâmide Passo 1: descobrir o formato da base e calcular sua área Como a pirâmide é regular, se trata de um polígono regular na base. Vamos chamar de n o número de lados deste polígono. A soma dos ângulos internos de um polígono regular é:
Todos os lados de qualquer pirâmide são triângulos e, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°. A pirâmide tem tantos lados quanto o número de lados na base, sendo assim, a soma dos ângulos das laterais é: A soma de todos os ângulos da pirâmide é:
Do enunciado, temos que a soma total é 1800°. Substituindo na fórmula e resolvendo para n, temos:
A base é um hexágono e sua área á calculado como:
Substituindo o valor de L fornecido no enunciado: A área da base vale, portanto, . Passo 2: calcular o volume da pirâmide Usando a fórmula do volume da pirâmide, temos: Com isso, o volume da pirâmide é de 576 cm³. Exercício 3(Unirio-RJ) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15 cm, e a sua base é um quadrado cujos lados medem 18 cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a: a) 2√7 b) 3√7 c) 4√7 d) 5√7
Resposta correta: b) 3√ 7 Resolução Dados: Aresta lateral = 15 cm Aresta da base = 18 cm Base na forma de um quadrado Objetivo Passo 1: identificar um triângulo retângulo que contenha a altura
Onde, h é a altura d/2 é a metade da diagonal Passo 2: determinar a diagonal Aplicando o Teorema de Pitágoras na base onde d é a diagonal e L o lado.
Passo 3: determinando a altura h Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo destacado onde d/2 é a metade da diagonal e a hipotenusa 15 cm, Fatorando o 63,
Desta forma, a altura da pirâmide é de cm. (Enem )Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
Resposta correta: Resolução Dados Pirâmide de base quadrangular 19 cm de altura 6 cm de aresta da base 1 cm de distância entre os blocos Blocos com mesma altura Pirâmide superior Objetivo Estratégia Passo 1: calcular o volume total Área da base da pirâmide maior Altura Deve-se descontar 3 cm da altura total de 19 cm pois, há um espaço de 1 cm entre os segmentos. h = 19 - 3 = 16 cm Volume da pirâmide maior
Passo 2: calcular o volume da pirâmide de cima Área da base da pirâmide de cima Altura da pirâmide de cima Calculamos que a altura do corpo da vela, sem considerar os espaços vazios entre os blocos é de 16 cm. Os blocos possuem mesma altura, sendo assim, a altura do bloco menor é: hm = 16 / 4 = 4 cm Volume da pirâmide menor
Passo 3: calcular volume dos troncos volume dos troncos = volume total - volume da pirâmide de cima volume dos troncos = 192 - 3 = 189 cm³ Conclusão (PUC - RJ 2016) Numa pirâmide de base quadrada, todas as arestas medem x. Quanto vale o volume da pirâmide? a) √2/6 x³ b) π x² c) x³ + x² + x + 1 d) x³ e) √6/3 x³
Resposta correta: a) √2/6 x³ Resolução Dados Medida das arestas = x Medida da altura: desconhecida Objetivo Fórmula do volume da pirâmide Passo 1: determinar a altura h Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo, temos:
Onde d é a diagonal do quadrado da base. Diagonal da base Substituindo d² na equação 1: Passo 2: área da base
Passo 3: volume da pirâmide em função de x Como há uma raiz no denominador, devemos racionalizar a fração. Fazemos isto multiplicando o denominador e o numerador por .
Exercício 6(EEAR 2021) Considere uma pirâmide quadrangular regular de 75 cm³ de volume. Se 5 cm é a medida da aresta da base dessa pirâmide, então sua altura mede ____ cm. a) 9 b) 6 c) 5 d) 3
Resposta correta: 9 Resolução Dados Base quadrangular Volume = 75 cm³ Aresta da base = 5 cm Objetivo Área da base Fórmula do volume da pirâmide Isolando h A altura da pirâmide é de 9 cm. Leia mais:
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Determine a área total de uma pirâmide regular hexagonal sabendo que a aresta da base mede 4 cm
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