Cortamos um canto de um cubo, como mostra na seguinte figura

cada linha? A) B) C) D) E) 8)Cortamos um canto de um cubo, como mostrado na seguinte figura. Qual das representações abaixo corresponde ao que restou do cubo? OBMEP Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas 69 9)Você já viu um truque numérico? Aqui vão os passos de um truque numérico: (I) Escolha um número qualquer. (II) Multiplique-o por 6 . (III) Do resultado subtraia 21 . (IV) Divida agora este novo resultado por 3 . (V) Deste último resultado subtraia o dobro do número que você escolheu. (a) Experimente fazer esses cinco passos três vezes, iniciando cada vez com um número diferente. Qual foi o resultado de seu experimento? (b) A seguir, usando a letra x para representar o número que você pensou, mostre por que os resultados do item (a) não são apenas uma coincidência, mas sim um fato matemático. 10)Na figura abaixo vemos uma mesa de sinuca quadriculada e parte da trajetória de uma bola, tacada a partir de um canto da mesa, de modo que, sempre, ao bater em uma das bordas da mesa, segue seu movimento formando ângulos de 45° com a borda. (a) Em qual das quatro caçapas a bola cairá? (b) Quantas vezes a bola baterá nas bordas da mesa antes de cair na caçapa? (c) A bola atravessará a diagonal de quantos desse quadrados durante sua trajetória? OBMEP Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas 70 3a Lista 1. (A) O algoritmo de divisão de Euclides nos dá 237 7 31 20= × + ; logo 237 não é divisível por 31 . Isso quer dizer que a professora realmente vai ter que comprar mais balas para que todos os alunos recebam o mesmo número de balas. De acordo com o enunciado, devemos então adicionar à expressão 7 31 20× + o menor inteiro positivo x tal que 7 31 20 x× + + seja múltiplo de 31 . Como 31 20 11x = − = , basta que a professora compre 11 balas. 2.(D) O artesão produz 6 braceletes a cada 20 minutos. Como 1 hora = 60 minutos = 3 20 minutos× , o artesão produz 6 3 18× = braceletes em 1 hora. Como ele trabalhou 12horas 8horas 4horas− = , o número de braceletes feitos pelo artesão é 18 4 72× = . O auxiliar produz 8 braceletes a cada meia-hora, portanto em 1 hora ele produz 16 braceletes. Para produzir 72 braceletes ele precisará de 72 4,5 16 = horas = 4 horas e 30 minutos. Como ele inicia seu trabalho às 9 horas, ele terminará seu trabalho às 9 horas + 4 horas + 30 minutos = 13 horas e 30 minutos . 3. (B) O pentágono tem 5 lados, logo seu ângulo central é 72360 5 = D D . Como 252 72 180= +D D D , podemos pensar na rotação de 252D como uma rotação de 72D seguida de outra de 180D , conforme ilustrado na figura abaixo, onde O é o centro do polígono. 4. (C) Solução 1: Como o perímetro do retângulo é 100 , seu semi- perímetro é 50 . Como o semi-perímetro de um retângulo é a soma do comprimento com a largura, concluímos que esses são da forma a e 50 – a. A área de um retângulo é o produto do comprimento pela largura. No nosso caso, esta área é ( ) 250 . 50a a a a− = − .Pelo teorema de Pitágoras, temos ( )22 250x a a= − + , ou seja, ( )2 2 22500 100 2 2500 2 50x a a a a= − + = − − . Logo ( )2 2150 2500 2 a a x− = − e obtemos a expressão da área do retângulo em função de x. Solução 2: Área do retângulo de medidas a e b é A= ab. Como 50a b+ = , temos ( )2 2 2 22 50a b a b ab+ = + + = . Pelo Teorema de Pitágoras, 2 2 2x a b= + , assim, 2 2 2500x A+ = 72o 180o rotação de 72o rotação de 180o a 50 – a x . SOLUÇÕES 4a Lista OBMEP Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas 71 5. (D) Usando a identidade ( )2 2 22x y x xy y+ = + + , temos ( ) ( )22 2 2 2 26 2 4 4 8 4 15 124x xy y x xy y xy x y xy+ + = + + + = + + = + × = 6. (C) Completamos a figura marcando os ângulos α e β , lembrando que ângulos opostos pelo vértice são iguais. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o, podemos escrever as três igualdades abaixo, uma para cada um dos triângulos da figura: ox 1807 =+α ox 1808 =+β ox 1805 =++ βα Logo, ooooxxx 180180180180)5()8()7( =−+=++−+++ βαβα e como xxxxxxx 10587)5()8()7( =−−−+++=++−+++ βαβαβαβα segue que ox 18010 = , donde 18ox = 7. (E) Observe nas ilustrações (a), (b), (c) e (d) que iniciando o desenho no ponto P e seguindo as setas de acordo com a ordem numérica, é possível completar cada desenho sem tirar o lápis do papel. Já o desenho da opção (e) não pode ser construído sem tirar o lápis do papel. De fato, excetuando-se o vértice de início do traçado e o vértice de finalização, os demais vértices do desenho devem possuir obrigatoriamente um número par de linhas chegando até eles, pois a cada vez que se chega a um desses vértices por uma linha, deixa-se esse mesmo vértice por outra linha. No caso da letra (e), os quatro vértices externos possuem três linhas chegando a cada um deles, logo é impossível fazer tal traçado. OBMEP Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas 72 8. (E) Cortando um canto do cubo, eliminamos um de seus vértices. Como cada vértice se liga a três arestas do cubo, uma representação do cubo cortado deve mostrar três cortes ao redor de um mesmo vértice. 9. (a) Vamos fazer o experimento com os números 0, 5 e – 4. O resultado final é sempre 7− . (b) É razoável conjeturar então que para qualquer número escolhido o resultado final deste procedimento será sempre –7. Seja x o número inicial. Temos então as operações: Portanto, o resultado será 7− qualquer que seja o número inicialmente escolhido. 10. A bola muda a direção de sua trajetória cada vez que bate na borda da mesa. Como a trajetória faz sempre um ângulo de 45D com a borda, a bola seguirá sempre as diagonais dos quadrados que ela cruza. a) Traçando esta trajetória, concluímos que a bola cairá na caçapa D ; b) A bola baterá 5 vezes na borda da mesa; c)Contando quantos são os quadradinhos atravessados, descobrimos que ela atravessará 23 quadradinhos. OBMEP Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas 73 1) Se m e n são inteiros maiores do que zero com m < n, definimos m ∇ n como a soma dos inteiros entre m e n, incluindo m e n. Por exemplo, 5 ∇ 8 = 5 + 6 + 7 + 8 = 26. Então o valor de 22 26 4 6 ∇ ∇ é: A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 2) O preço de uma corrida de táxi é R$ 2,50 fixos (ʺbandeiradaʺ), mais R$ 0,10 por cada 100 metros rodados. Tenho apenas R$ 10,00 no bolso. Logo, tenho dinheiro para uma corrida de até: A) 2,5km B) 5,0km C) 7,5km D) 10,0km E) 12,5km 3) Quantos números entre 1 e 601 são múltiplos de 3 ou múltiplos de 4 ? A) 100 B) 150 C) 250 D) 300 E) 430 4) Se ,x y ze são números inteiros positivos tais que xyz = 240 , xy + z = 46 e x + yz = 64 , qual é o valor de x + y + z ? A) 19 B) 20 C) 21 D) 24 E) 36 5) Na reta abaixo estão representados os cinco números a, b, m, n, p e q Então os números que melhor representam ,a b a b+ − e ab são, respectivamente, (A) m, p e q (B) m, q e p (C) n, q e p (D) n, p e q (E) q, m e p 6) Numa corrida de carros, um piloto percorreu três trechos: um de 240km , um de 300km e um de 400km . O piloto sabe que as velocidades médias nesses trechos foram 40 /km h , 75 /km h e 80 /km h , mas não se lembra qual dessas velocidades corresponde a cada um desses trechos.. Podemos garantir que o tempo total em horas gasto pelo piloto para percorrer os três trechos foi: A) menor