Como fazer raiz quadrada de delta

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Temos que:

.

.

.

Precisamos agora encontrar o valor de .

Já achamos que , agora é só achar os valores de .

Vamos precisar dividir em dois casos agora, para e para .

Pronto, achamos que os valores de são e .

Quer conferir? É só substituir esses valores na equação...

Possíveis Deltas

Existem três casos para deltas...

1º Caso

.

Nesses casos, a equação possuirá duas raízes.

Graficamente, interpretamos assim:

2º Caso

.

Nesses casos, a equação possuirá apenas uma raiz.

Graficamente, interpretamos assim:

3º Caso

.

Nesses casos, a equação não possuirá raiz real.

Graficamente, podemos interpretar como:

Método Soma e Produto

Esse método é um daqueles que salva nossa vida e nos traz muita agilidade na hora de calcularmos.

Como o próprio nome diz, esse método faz a relação entre soma e multiplicação entre as raízes.

Temos que:

Sendo e , valores dos coeficientes obtidos na equação.

Com esse monte de letras parece ser complicado, mas com um exemplo prático, você vai ver como é fácil...

Aplicando

Vamos encontrar as raízes da equação .

Nesse caso, temos:

.

.

.

Vamos primeiro jogar esses valores na fórmula da multiplicação

Temos que , agora precisamos pensar quais valores e poderiam assumir para que multiplicados dessem .

Guarde esses números, eles serão importantes no final.

Agora usaremos a fórmula da soma.

OLHA O SINAL!!!

Do mesmo jeito que fizemos antes, precisamos pensar em dois valores para e que somados dão .

Temos que e , logo pelo método da soma e produto, as raízes dessa equação são e .

Quando dizemos “raiz de uma equação”, nos referimos ao resultado final de uma equação qualquer. As equações de 1º grau (do tipo ax + b = 0, onde a e b são números reais e a≠0) possuem apenas uma raiz, um único valor para sua incógnita. As equações de 2º grau (do tipo ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a≠0) podem ter até duas raízes reais. O número de raízes de uma equação do 2º grau irá depender do valor do discriminante ou delta: ∆. Equações completas do 2º grau são resolvidas aplicando a fórmula de Bháskara:

Condições de existência da raiz de uma equação do 2º grau:

Nenhuma raiz real: quando delta for menor que zero. (negativo)

Uma única raiz real: quando delta for igual a zero. (nulo)

Duas raízes reais: quando delta for maior que zero. (positivo)

Por Marcos Noé Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola

 Equação - Matemática - Brasil Escola

A “Fórmula de Bhaskara” é considerada uma das mais importantes da matemática.

Ela é usada para resolver as equações de segundo grau, ou seja, determinar os valores reais da incógnita que tornam verdadeira a igualdade. Para isso, são usados os valores dos coeficientes a, b e c.

A Fórmula de Bhaskara é expressa da seguinte maneira:

Onde,

x: é uma variável chamada de incógnita
a: coeficiente quadrático
b: coeficiente linear
c: coeficiente constante

Discriminante da Equação

A expressão dentro da raiz quadrada na fórmula de Bhaskara é chamada discriminante da equação e é representada pela letra grega delta (Δ), ou seja:

Normalmente essa expressão é calculada separadamente, pois conforme o valor encontrado, podemos saber antecipadamente o número de raízes da equação e se pertencem ao conjunto dos números reais.

Note que a, b e c são as constantes da equação e o valor de Delta (Δ) pode ocorrer de três maneiras:

Se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas.

Se o valor de Δ for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará uma raiz real.

Se o valor de Δ for menor que zero (Δ

Assim, substituindo a expressão do discriminante por delta, a fórmula de Bhaskara ficará:

Exemplo
Quantas e quais são as raízes da equação ?

Solução

O primeiro passo para resolver uma equação usando a fórmula de Bhaskara é identificar os coeficientes da equação. Desta forma, os coeficientes na equação são: a = + 1, b = - 5 e c = + 6.

Para saber o número de raízes, precisamos calcular o valor do delta, assim temos:

Como delta é maior que zero , então a equação terá duas raízes reais e distintas. Vamos agora aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor das raízes.

Lembre-se que uma raiz quadrada tem duas respostas, uma positiva e uma negativa, por isso, repetimos o cálculo com a fórmula de Bhaskara, utilizando o valor positivo e negativo.

Assim, as duas raízes da equação são 2 e 3.

Equações de Segundo Grau

As equações do segundo grau são chamadas "equações quadráticas”, dado que determinam os valores de uma equação polinomial de grau dois. São as equações onde o maior expoente é 2.

Elas são representadas pela expressão:

Nesse caso, a, b e c são números reais e a ≠ 0, por exemplo:

2x2 + 3x + 5 = 0

Onde,

a = 2 b = 3

c = 5

Observe que se o coeficiente a for igual a zero, o que temos é uma equação do primeiro grau:

bx + c = 0

Leia mais em Função Quadrática.

Exemplos

Para compreender melhor os coeficientes (a, b, c) da equação de segundo grau, confira abaixo alguns exemplos:

x2 - 1 = 0 ⇒ a = 1; b = 0; c = - 1

- x2 + 2x = 0 ⇒ a = - 1; b = 2; c = 0

- 4x2 = 0 ⇒ a = - 4; b = 0; c = 0

2x2 + 3x + 5 = 0 ⇒ a = 2; b = 3; c = 5

3x2 - 4x + 1 = 0 ⇒ a = 3; b = - 4; c = 1

Classificações das Equações de Segundo Grau

As equações do 2º grau podem ser de dois tipos:

• Completas: quando os coeficientes a, b e c, são diferentes de zero.
• Incompletas: quando o coeficiente a é diferente de zero (a ≠ 0) e b, ou c, ou ambos são iguais a zero.

A fórmula de Bhaskara é mais utilizada nas equações de segundo grau completas. Nas incompletas também pode ser usada, entretanto, existem métodos mais simples para resolvê-las.

Função do segundo grau e fórmula de Bhaskara

As funções do segundo grau são determinadas por polinômios do segundo grau.

Esta função tem o domínio real (eixo x) e sua imagem está determinada no intervalo que vai do vértice ao infinito, [vértice, infinito).

O gráfico da função do segundo grau é uma parábola e pode ter concavidade para cima (se o coeficiente a, que multiplica o termo x² é positivo, ou para baixo quando a é negativo.

Os pontos de intersecção entre a curva da função e o eixo x são as raízes determinadas pela fórmula de Bhaskara.

Exemplo
Esboce em um plano cartesiano a curva da função do 2° grau:

Resolução:
Como o parâmetro a que multiplica o termo x² é negativo, no caso a = -1, a parábola é aberta para baixo, possui concavidade para baixo.

Para conhecer os pontos onde a curva corta o eixo x, temos que determinar as raízes da equação do segundo grau. Para isso, igualamos a função à 0.

Determinando as raízes

Os coeficientes são:

a = -1 b = 1

c = 6

Discriminante:

Utilizando a fórmula de Bhaskara e considerando os valores positivos e negativos da raiz quadrada:

As raízes da equação são -2 e 3, dessa forma, a curva cortará o eixo x nestes pontos.

Plotando o gráfico da função temos:

Curiosidade

A fórmula de Bhaskara recebe esse nome uma vez que faz homenagem ao matemático e astrônomo indiano Bhaskara Akaria ou Bhakara II (1114-1185). Ele é considerado um dos mais importantes matemáticos do século XII.

(PUC- Campinas) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a:

a) a2 - 2b
b) a2 + 2b
c) a2 – 2b2
d) a2 + 2b2
e) a2 – b2

Pratique mais exercícios sobre fórmula de Bhaskara.