No estudo do sinal da função afim, buscamos os intervalos nos quais a função possui certas características. Lembrando que os valores das funções dependem unicamente da sua variável e da sua lei de formação. A forma geral de uma função do 1º grau dá-se da seguinte maneira:
 Teremos duas situações a serem analisadas, quanto ao sinal dessa função. a > 0: Função crescente.
Temos que o valor para x=r consiste na raiz da função, ou seja, no zero da função. Partindo desse zero podemos analisar os dois possíveis sinais de uma função (positivo e negativo). Note no gráfico que:
Caso você não queira construir todo o gráfico, basta encontrar o zero da função e analisar o sinal da função na reta dos reais da variável x. Para isso, use o dispositivo prático, mostrado a seguir:
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Note que os sinais (positivo e negativo) representam o valor da função naqueles intervalos (x>r e x<r). a < 0: Função decrescente. Na função decrescente, quanto maior for o valor de x, menor será o valor de y (ou f(x)), ou seja, o valor da função decresce conforme o valor da variável x aumenta. Sendo assim, a análise do sinal da função será diferente. Vejamos a representação gráfica de uma função decrescente:
Analisando o gráfico, temos que:
Pelo dispositivo prático, temos:
Portanto, basta saber se a função é crescente ou decrescente, fato este determinado pelo sinal do coeficiente a, e depois determinar o zero da função. Com isso o estudo do sinal fica fácil. Compreender esse estudo dos sinais é importante não apenas para as funções no geral, mas também para a determinação do conjunto solução das inequações. Uma função do segundo grau é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro e que pode ser reduzida à forma: f(x) = ax2 + bx + c. O estudo dos sinais de uma função do segundo grau é uma análise que determina os intervalos de números reais nos quais a função é positiva, negativa ou nula. Ideia central do estudo dos sinais Ao fazer o estudo dos sinais de uma função do segundo grau, estamos interessados em descobrir:
Graficamente, estamos procurando os intervalos no eixo 0x onde a função está acima do eixo x, abaixo do eixo x e sobre o eixo x. Isso significa que estamos buscando os respectivos intervalos em que a função é positiva, negativa ou nula. Observe o gráfico da função do segundo grau f(x) = x2 – 4x + 3: No gráfico acima, para todos os valores de x maiores do que 1 e, ao mesmo tempo, menores do que 3, a função está abaixo do eixo x. Logo, os valores de y são negativos. Observe também que a função está acima do eixo x para todos os valores de x maiores do que 3 e menores do que 1. Dessa forma, a função é positiva nesses dois intervalos. A função é nula nos pontos de encontro entre ela e o eixo x, portanto, nesse caso, exatamente sobre os pontos 1 e 3 do eixo x. Essa análise pode ser usada sempre que o gráfico da função estiver disponível. Quando ele não estiver, pode-se usar o método algébrico, que descrevemos abaixo, ou construir o gráfico da função. Método algébrico É possível realizar o estudo dos sinais de uma função do segundo grau a partir de suas raízes. Assim, analisa-se, por elas, a concavidade da parábola que representa a função. Para isso, é necessário encontrar as raízes da função do segundo grau, por qualquer método, e determinar a concavidade da parábola que representa essa função. Isso pode ser feito observando o coeficiente a: Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Se a parábola está voltada para baixo. Em uma dada função do segundo grau f(x) = ax2 + bx + c, suponha que suas raízes sejam x1 e x2. Se o coeficiente a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Para essa função, o intervalo ]x1, x2[ faz com que a função seja negativa; os valores maiores que x2 e menores que x1 fazem com que a função seja positiva, se x2 > x1. Além disso, os próprios valores de x1 e x2 são os pontos onde a função é nula. Se o coeficiente a parábola é voltada para baixo. Assim, o intervalo ]x1, x2[ faz com que a função seja positiva; os valores maiores que x2 e menores que x1 fazem com que a função seja negativa, se x2 > x1. Além disso, os próprios valores de x1 e x2 são os pontos onde a função é nula. Exemplo: Dada a função f(x) = x2 – 4x, suas raízes são: x2 – 4x = 0 x(x – 4) = 0 x = 0 ou x – 4 = 0 x = 4 Como a = 1 > 0, então, no intervalo entre 0 e 4, a função é negativa. Para qualquer valor maior que 4, ou menor que 0, a função é positiva; e sobre os pontos 0 e 4, essa função é nula.
Estudo do sinal Estudar o sinal de uma função f(x) significa determinar para que valores de x ∈ ao domínio da função a imagem f(x) será positiva, negativa ou nula, ou seja f(x) > 0, f(x) < 0 ou f(x) = 0. Existe um interesse especial no estudo de função em que y pode ser calculado a partir de x por meio de uma fórmula (ou regra, ou lei). Exemplo 1: A lei de correspondência que associa cada número real x ao número y o dobro de x, é uma função definida pela fórmula y = 2x, ou f(x) = 2x. O domínio e o conjunto imagem dessa função são R. A notação da função é, portanto, f: R Nessa função temos:
Para fazermos o estudo dos sinais da função de 1º grau, precisamos antes estabelecer uma importante propriedade dessa função. Uma função de 1º grau, f(x) = ax + b:
Como fazer o estudo dos sinais de f(x) = ax + bPor exemplo, para estudar os sinais de f(x) = -x + 5 1º) Cálculo da raiz: f(x) = 0 → -2x + 5 = 0 → x = 2º) Como a = -2, a função é decrescente. Portanto, o gráfico de f tem o seguinte aspecto:
Assim temos: f(x) = 0 ↔ x = f(x) > 0 ↔ x < f(x) < 0 ↔ x > Domínio (D), contradomínio (CD), Imagem (Im). Definimos função como a relação entre duas grandezas representadas por x e y. No caso de uma função do 1º grau, sua lei de formação possui a seguinte característica: y = ax + b ou f(x) = ax + b, em que os coeficientes a e b pertencem aos números reais e diferem de zero. Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da imagem crescem ou decrescem de acordo com o valor do coeficiente a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e caso ele tenha sinal negativo, a função é decrescente. Função crescente: a > 0 Na função crescente, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y também aumentam; ou, à medida que os valores de x diminuem, os valores de y diminuem. Observe a tabela de pontos e o gráfico da função y = 2x – 1.
Função decrescente: a < 0 No caso da função decrescente, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem; ou, à medida que os valores de x diminuem, os valores de y aumentam. Veja a tabela e o gráfico da função y = – 2x – 1.
De acordo as análises feitas sobre as funções crescentes e decrescentes do 1º grau, podemos relacionar seus gráficos aos sinais. Veja: Sinais da função do 1º grau crescente: Sinais da função do 1º grau decrescente: Exemplo: Determine os sinais da função y = 3x + 9. Fazendo y = 0, calcule a raiz da função: 3x + 9 = 0 3x = –9 x = –9/3 x = – 3 A função possui o coeficiente a = 3, no caso, é maior que zero, portanto, a função é crescente. Por Marcos Noé |
Como fazer o estudo dos sinais das funções
Postagens relacionadas
direito autoral © 2024 mesadeestudo Inc.
