Como calcular raiz quadrada de uma matriz de ordem 2

O determinante de uma matriz possui várias aplicações atualmente. Utilizamos o determinante para verificar se três pontos estão alinhados no plano cartesiano, para calcular áreas de triângulos, para resolução de sistemas lineares, entre outras aplicações na matemática. O estudo de determinantes não se limita à matemática, há algumas aplicações na física, como no estudo de campos elétricos.

Calculamos determinantes somente de matrizes quadradas, ou seja, matrizes em que a quantidade de colunas e a quantidade de linhas são iguais. Para calcular o determinante de uma matriz, precisamos analisar a ordem dela, ou seja, se ela é 1x1, 2x2, 3x3 e assim sucessivamente, quanto maior a sua ordem, mais difícil será encontrar o determinante. No entanto, há métodos importantes realizar-se o exercício, como a regra de Sarrus, utilizada para calcular-se determinantes de matrizes 3x3.

Leia também: Processo para resolução de um sistema linear m x n

Determinante de matriz de ordem 1

Uma matriz é conhecida como de ordem 1 quando possui exatamente uma linha e uma coluna. Quando isso ocorre, a matriz possui um único elemento, o a11. Nesse caso o determinante da matriz coincide com esse seu único termo.

A = (a11)

det(A) = | a11 | = a11

Exemplo:

A = [2]

det(A) = |2| = 2

Para calcular-se determinantes de matrizes de ordem 1, é necessário então apenas conhecer o seu único elemento.

A matriz quadrada 2x2, conhecida também como matriz de ordem 2, possui quatro elementos, nesse caso, para calcular o determinante, é necessário conhecermos o que é a diagonal principal e a diagonal secundária.

Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, calculamos a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e os termos da diagonal secundária. Utilizando o exemplo algébrico que construímos, o det(A) será:

Exemplo:

Determinante de matriz de ordem 3

A matriz de ordem três é mais trabalhosa para obter-se o determinante do que as anteriores, na verdade, quanto maior a ordem de uma matriz, mais difícil será esse trabalho. Nela é necessário utilizar o que conhecemos como regra de Sarrus.

A regra de Sarrus é um método para calcular-se determinantes de matrizes de ordem 3. É necessário seguir alguns passos, sendo o primeiro duplicar as duas primeiras colunas no final da matriz, conforme o exemplo a seguir.

Agora vamos multiplicar os termos de cada uma das três diagonais que estão no mesmo sentido da diagonal principal.

Realizaremos um processo parecido com a diagonal secundária e as outras duas diagonais que estão no mesmo sentido que ela.

Note que os termos da diagonal secundária estão sempre acompanhados com o sinal negativo, ou seja, sempre trocaremos o sinal do resultado da multiplicação dos termos da diagonal secundária.

Exemplo:

Veja também: Teorema de Binet – processo prático para a multiplicação de matrizes

Propriedades do determinante

Caso uma das linhas da matriz seja igual a 0, então o seu determinante será igual a 0.

Exemplo:

Seja A e B duas matrizes, det(A·B) = det(A) · det(B).

Exemplo:

Calculando os determinantes separados, temos que:

det(A) = 2 · (-6) – 5 · 3
det(A) = -12 – 15 = -27

det(B) = 4 · 1 – 2 · (-2)
det(B) = 4 + 4 = +8

Então det(A) · det(B) = -27 · 8 =  -216

Agora vamos calcular det(A·B)

Seja A uma matriz e A’ uma nova matriz construída trocando-se as linhas da matriz A, então det(A’) =  -det(A), ou seja, ao inverter-se a posição das linhas de uma matriz, o seu determinante terá o mesmo valor, porém de sinal trocado.

Exemplo:

Linhas iguais ou proporcionais fazem com que o determinante da matriz seja igual a 0.

Exemplo:

Note que, na matriz A, os termos da linha dois são o dobro dos termos da linha um.

Acesse também: Aplicação das matrizes nos vestibulares

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Vunesp) Considerando as matrizes A e B, determine o valor de det(A·B):

a) -1

b) 6

c) 10

d) 12

e) 14

Resolução

Alternativa E

Sabemos que det(A·B) = det(A) · det(B):

det(A) = 1· 4 – 2 · 3 = 4 – 6 = -2
det(B) = -1 · 1 – 3 · 2 = -1 – 6 = -7

Então temos que: det(A·B) = det(A) · det(B)

det(A·B) = -2 (-7) = 14

Questão 2 - Dada a matriz A, qual deve ser o valor de x para que det(A) seja igual a 0?

a) 1/2

b) 1/3

c) 1/9

d) 3
e) 9

Resolução

Alternativa B

Calculando o determinante de A, temos que:

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Esse número é encontrado fazendo-se determinadas operações com os elementos que compõe a matriz.

Indicamos o determinante de uma matriz A por det A. Podemos ainda, representar o determinante por duas barras entre os elementos da matriz.

Determinantes de 1.ª Ordem

O determinante de uma matriz de Ordem 1, é igual ao próprio elemento da matriz, pois esta apresenta apenas uma linha e uma coluna.

Exemplos:

Determinantes de 2.ª Ordem

As matrizes de Ordem 2 ou matriz 2x2, são aquelas que apresentam duas linhas e duas colunas.

O determinante de uma matriz desse tipo é calculado, primeiro multiplicando os valores constantes nas diagonais, uma principal e outra secundária.

A seguir, subtraindo os resultados obtidos dessa multiplicação.

Exemplos:

Matriz A =

Matriz B =

Determinantes de 3.ª Ordem

As matrizes de Ordem 3 ou matriz 3x3, são aquelas que apresentam três linhas e três colunas:

Para calcular o determinante desse tipo de matriz, utilizamos a Regra de Sarrus, que consiste em repetir as duas primeiras colunas logo a seguir à terceira:

Seguimos os seguintes passos:

1) Calculamos a multiplicação em diagonal. Para tanto, traçamos setas diagonais que facilitam o cálculo.

As primeiras setas são traçadas da esquerda para a direita e correspondem às diagonais principais:

2) Calculamos a multiplicação do outro lado da diagonal. Assim, traçamos novas setas.

Agora, as setas são traçadas da direita para a esquerda e correspondem à diagonal secundária:

Matriz A =

3) Somamos cada uma delas:

4) Subtraímos cada um desses resultados:

Logo, o determinante é:

Leia Matrizes e Determinantes e, para entender como calcular determinantes de matriz de ordem igual ou superior a 4, leia Teorema de Laplace.

Você pode ser interessar por

• Sistemas Lineares
• Multiplicação de Matrizes

Exercícios sobre Determinantes

Exercício 1

(UNITAU) O valor do determinante (imagem abaixo) como produto de 3 fatores é:

a) abc. b) a (b + c) c. c) a (a - b) (b - c). d) (a + c) (a - b) c.

e) (a + b) (b + c) (a + c).

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta: c) a(a - b)(b - c).

Passo 1: aplicar a Regra de Sarrus.

Produtos das diagonais principais

Produtos das diagonais secundárias

Passo 2: subtrair os produtos das diagonais principais e secundárias.

Passo 3: fatorar o resultado.

Colocando a em evidência:

Agrupando os termos dentro do colchetes

Colocando b e c em evidência, dentro dos colchetes

Colocando o produto (a - b) em evidência

Como é um produto, podemos eliminar os parênteses

(UEL) A soma dos determinantes indicados a seguir é igual a zero

a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b. b) se e somente se a = b. c) se e somente se a = - b. d) se e somente se a = 0.

e) se e somente se a = b = 1.

Exercício 3

(UEL-PR) O determinante mostrado na figura a seguir é positivo sempre que

a) x > 0. b) x > 1.

c) x d) x e) x > -3.

Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.