A idade dos funcionários do departamento de recursos humanos de uma empresa está na lista a seguir

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Lista de Exercícios de Estatística e Probabilidade Profa. Renata Guimarães Quelha de Sá Conceitos Básicos e Distribuição de frequências 1) Classifique as seguintes variáveis a) Número de peças defeituosas produzidas em uma linha de montagem. b) Peso de pacientes. c) Fumante. d) Tipo sanguíneo. e) Grau de satisfação do consumidor com determinado produto. 2) Um hospital e maternidade possui 3.200 funcionários. O departamento de Recursos Humanos fez uma pesquisa de clima organizacional com 620 funcionários selecionados nos diversos setores do hospital e um dos tópicos abordados foi o grau de satisfação com os benefícios oferecidos pela empresa. A análise dos dados mostrou que 55% dos funcionários estão satisfeitos com os benefícios oferecidos. De acordo com as informações contidas no enunciado, identifique: a) A população em estudo. b) A variável em estudo. c) O tamanho da amostra. d) A informação numérica 55% é um parâmetro ou uma estatística? 3) Analise os itens a seguir e classifique-os como Verdadeiro (V) ou Falso (F): ( ) A estatística descritiva usa os dados de uma amostra para fazer estimativas e testar hipóteses a respeito das características de uma população. ( ) A inferência estatística aborda a organização e a descrição dos dados experimentais. ( ) Uma variável estatística será qualitativa quando resultar de uma classificação por tipos ou atributos. ( ) Uma variável estatística será quantitativa quando seus valores forem expressos em números. ( ) O rol é um arranjo dos dados brutos. ( ) Série estatística é toda tabela que apresenta um conjunto de dados estatísticos distribuídos em função da época, do local ou da espécie. 4) Uma loja de produtos de informática resolveu fazer uma pesquisa com seus clientes adolescentes para saber a idade da maioria deles. Para tanto, selecionou uma amostra de 25 clientes, sendo as idades mostradas abaixo. a) Construa a tabela de distribuição de frequência f, fr(%), Fa e FRa(%). b) Construa um histograma da distribuição de frequência. c) Qual a idade mais frequente, segundo a amostra? d) Quantos clientes têm idade até 14 anos? e) Qual a porcentagem de clientes com idade maior que 13 anos? 5) Considerando a distribuição de frequência correspondente aos diferentes preços (R$) de um produto em 20 lojas pesquisadas em Resende no ano de 2020. Construa uma tabela de frequências fr(%), Fa e FRa(%). Responda: a) O nº de lojas com preço até R$ 52: b) A % de lojas com preço de R$ 53: c) O nº de lojas com preço menor que R$ 52: d) A % de lojas com preço maior que R$ 53: e) O nº de lojas com preço entre R$52 e R$53: f) A % de lojas com preço entre R$52 e R$54 6) Um professor aplicou uma prova de Estatística para alunos do determinado curso, corrigiu-as, organizou as notas e construiu o histograma demonstrado abaixo. Considere as afirmativas a seguir. I. A porcentagem de alunos com nota 7,0 é 8%. II. O número de alunos com notas até 5,0 é 4. III. A porcentagem de alunos com nota maior que 6,0 é 36%. A opção que traz a afirmativa correta é: a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e III, apenas. d) II e III, apenas. e) I, II e III. 7) Complete as distribuições de frequência abaixo: Nº de defeitos nas máquinas em um mês Nº de peças com defeito em um dia 8) Os salários mensais, em R$, dos 20 funcionários de uma empresa são listados abaixo. Resolva as questões de a) a f) 720 720 800 840 760 720 760 800 720 760 800 840 840 720 720 840 680 760 800 720 a) Construa a tabela de distribuição de frequência f e FRa. b) Construa um histograma. c) Qual o salário mais frequente d) Quantos funcionários recebem até R$ 840 e) Qual a % de funcionários com salários até R$ 760 f) Quantos funcionários recebem entre R$ 760 e R$ 800 9) A seguir temos as idades dos funcionários de uma determinada empresa. Fazer uma distribuição de frequências, agrupando os dados em classes. Baseado na tabela de frequências construída, responda: a) Quantos são os funcionários com idade inferior a 33 anos? b) Que porcentagem de funcionários tem idade igual ou superior a 47 anos? c) Quantos são os funcionários com idade maior ou igual a 26 anos e não tenham mais que 40 anos? d) Qual a porcentagem de funcionários com idade abaixo de 40 anos? e) Qual a porcentagem de funcionários que têm no mínimo 40 anos? 10) Um consultor estava interessado em saber quanto, geralmente, cada pessoa gastava em um determinado supermercado no primeiro sábado após receberem seus pagamentos (salários). Para isso ele entrevistou 50 clientes que passaram pelos caixas entre 13h e 18h, e anotou os valores gastos por cada um deles. Estes valores estão listados a seguir: Analisando o conjunto de dados, responda os seguintes itens: a) Qual é a variável em estudo? Classifique-a. b) Construa uma tabela de frequências a partir do conjunto de dados brutos. 11) Analise o gráfico a seguir e responda: a) Qual a variável em estudo? Classifique-a. b) Quantos funcionários ganham entre R$ 800,00 (inclusive) e R$ 1.100,00 (exclusive)? c) Qual o número de funcionários total desta empresa? d) Qual a porcentagem de funcionários que ganham R$ 1.700,00 ou mais?

Art. 93. A empresa com 100 (cem) ou mais empregados está obrigada a preencher de 2% (dois por cento) a 5% (cinco por cento) dos seus cargos com beneficiários reabilitados ou pessoas com deficiência, habilitadas, na seguinte proporção:
I. até 200 empregados……………….. 2%;
II. de 201 a 500 empregados…………… 3%;
III. de 501 a 1 000 empregados………… 4%;
IV. de 1 001 em diante………………. 5%.

Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 3 fev. 2015.

Constatou-se que a empresa possui 1 200 funcionários, dos quais 10 são reabilitados ou com deficiência, habilitados.

Para adequar-se à referida lei, a empresa contratará apenas empregados que atendem ao perfil indicado no artigo 93.

A moda, a média e a mediana são conhecidas como medidas de tendências centrais. No estudo da Estatística, é bastante comum que elas sejam utilizadas para compreender melhor o comportamento de um conjunto de dados.

Em um conjunto de dados, a moda é o valor mais frequente no conjunto, ou seja, que mais se repete. Já a mediana é o valor central do conjunto. Já com relação às médias, existem vários tipos, sendo as mais comuns a média aritmética simples e a média aritmética ponderada. A moda, a média e a mediana são bastante recorrentes em exames de seleção e no Enem.

Leia também: Medidas de dispersão: amplitude e desvio

Resumo sobre moda, média e mediana

• A moda, a média e a mediana são conhecidas como medidas de tendências centrais.
• Elas são utilizadas para representar um conjunto de dados com um único valor.
• A moda é o valor com maior frequência absoluta em um conjunto.
• A mediana é o valor que está posicionado no centro do conjunto.
• Existem vários tipos de média, mas os principais são a média aritmética simples e a média aritmética ponderada.

Moda, média e mediana: o que são?

A moda, a média e a mediana são conhecidas como medidas de tendências centrais. Durante o estudo da Estatística, utilizamos as medidas centrais para representar um conjunto de dados com um único valor. A partir da moda, da média ou da mediana, é possível tomar determinadas decisões.

Moda

Em um conjunto de dados, a moda é aquele resultado mais recorrente no conjunto, ou seja, com maior frequência absoluta. Já parou para pensar sobre como as lojas planejam os seus estoques de um determinado produto? Ainda que existam várias marcas de um mesmo produto, há aquele tem maior saída. Para analisar isso, é utilizada a moda.

Exemplo:

Em uma loja de calçados femininos, o estoque é reposto mensalmente. Para entender melhor o consumo de seus clientes, o dono da loja decidiu anotar o tamanho escolhido pelos 35 primeiros clientes em uma lista:

N = {35, 37, 36, 34, 38, 35, 37, 37, 33, 36, 38, 37,35, 37, 34, 33, 37, 36, 35, 38, 36, 35, 36, 37, 38, 39, 37, 37, 36, 37, 33, 37, 35, 37, 39}

Analisando os dados coletados, para realizar o próximo pedido, o tamanho de calçado mais recorrente entre as clientes é a moda desse conjunto.

N = {35, 37, 36, 34, 38, 35, 37, 37, 33, 36, 38, 37,35, 37, 34, 33, 37, 36, 35, 38, 36, 35, 36, 37, 38, 39, 37, 37, 36, 37, 33, 37, 35, 37, 39}

A partir da moda, é possível perceber que 37 é o tamanho mais recorrente entre as clientes dessa loja, dado esse que ajudaria a loja na escolha dos tamanhos na hora de repor o estoque.  Representamos a moda por Mo. Nesse caso, temos que Mo = 37.

Para encontrar a moda, basta escolher o valor com maior frequência absoluta.

Exemplo 2:

Analise os conjuntos e encontre a sua moda:

a) A = {1, 0, 2, 3, 1, 4, 5, 1, 2, 3, 0, 7, 8, 9}

Analisando o conjunto A, é possível perceber que existem dois elementos que mais se repetem no conjunto:

A = {1, 0, 2, 3, 1, 4, 5, 1, 0, 3, 0, 7, 8, 9, 0, 1}

Nesse caso existem dois valores que possuem maior frequência absoluta, logo o conjunto terá duas modas, configurando-se como um conjunto bimodal.

Mo = {0, 1}

b) B { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Analisando esse conjunto, podemos perceber que todos os elementos se repetem de forma igualitária. Quando a frequência absoluta dos termos é a mesma, o conjunto não terá uma moda, logo dizemos que o conjunto é amodal.

Mediana

Dado um conjunto numérico, conhecemos como mediana o valor que ocupa a posição central dos valores quando organizamos esses dados em ordem. Para encontrar a mediana, é possível listar os termos em ordem crescente ou decrescente e encontrar o termo que ocupa a posição central.

Para isso, podemos distinguir dois casos: quando há uma quantidade ímpar de elementos no conjunto e quando há uma quantidade par de elementos no conjunto.

Exemplo:

A altura dos professores da área de ciências da natureza de uma escola foi listada a seguir:

A = { 1,79 m; 1,72 m; 1,63 m; 1,82 m; 1,65 m; 1,75 m; 1,80 m}

Para encontrar a mediana, é essencial que o primeiro passo seja colocar os dados em ordem crescente ou decrescente.

A = {1,63; 1,65; 1,72; 1,75; 1,79; 1,80; 1,82}

Note que há sete elementos no conjunto. Como há uma quantidade ímpar de elementos, a mediana será o termo que está exatamente na metade da lista. Para encontrar o termo central, primeiro encontramos a posição desse termo, dividindo a quantidade de termos por 2, e arredondamos o resultado para o próximo número inteiro, que será a posição do termo central.

Como há 7 elementos, sabemos que 7 : 2 = 3,5. Sempre vamos arredondar para o termo posterior, então a mediana desse conjunto é o 4º termo do conjunto. Agora analisaremos o conjunto:

A = {1,63; 1,65; 1,72; 1,75; 1,79; 1,80; 1,82}

Portanto, a mediana é 1,75 m.

Quando a quantidade de elementos do conjunto é par, é necessário calcular a média entre os dois termos que se encontram no meio do conjunto em ordem.

Exemplo:

B = { 1, 2, 2, 3, 6, 10, 15, 16,16, 20}

Ao realizar a contagem da quantidade de termos, há 10 termos. Então, temos que 10 : 2 = 5, logo os termos centrais são o 5º e o 6º termo.

• O 5º termo da sequência é 6.
• O 6º termo da sequência é 10.

A mediana é a soma desses números dividida por 2, ou seja, (10 + 6): 2 = 16 : 2 =  8. Logo, a mediana desse conjunto é 8.

Leia também: Gráficos — representações que facilitam a análise de dados

Média

Entre as medidas centrais, a mais utilizada é a média. Existem vários tipos de média, mas as mais comuns são a média aritmética simples e a média aritmética ponderada.

A média aritmética é calculada pela soma de todos os elementos do conjunto dividida pela quantidade de elementos do conjunto.

Título: formula-media-artimetica

n → quantidade de elementos

Exemplo:

A idade dos funcionários do departamento de recursos humanos de uma empresa está na lista a seguir:

{28, 30, 29, 31, 32, 33, 34}

Calcule a idade média dos funcionários desse departamento.

Resolução:

Sabemos que há 7 elementos, então temos que:

→ Videoaula sobre média aritmética

Na média aritmética ponderada, são atribuídos pesos para cada um dos valores. Quanto maior for o peso, maior será a influência daquele determinado dado no valor da média aritmética ponderada.

Para calcular a média aritmética ponderada, utilizamos a fórmula:

p1, p2, p3, … pn → pesos

x1, x2, x3, … xn → valores do conjunto

Para calcular a média ponderada, calculamos o produto de cada valor por seu respectivo peso e, depois, calculamos a soma entre esses produtos e dividimos pela soma dos pesos.

Exemplo:

Durante uma seleção de professores, a prova era dividida em algumas etapas, e cada uma delas tinha um peso. O candidato vencedor seria o que alcançasse maior nota. Vamos encontrar, então, o candidato que possui maior média aritmética.

• Prova de língua estrangeira → peso 1
• Prova prática → peso 2
• Prova específica da área→ peso 3
• Análise de currículo → peso 4

Os candidatos Armando e Belchior tiveram as seguintes notas:

Então, calcularemos as médias:

Agora calcularemos a média de Belchior:

O candidato que possui maior média é o Belchior, logo ele será contratado.

→ Videoaula sobre média ponderada

Moda, média e mediana no Enem

A Estatística em si é uma das áreas mais importantes da Matemática e está sempre presente no nosso cotidiano. Tendo isso em vista, em todas as edições da prova do Enem desde 2009, foi comum haver mais de uma questão envolvendo essa área.

A matriz de referências do Enem mostra que um dos objetivos da prova é avaliar a relação do estudante com as medidas centrais.

Isso justifica a recorrência desse conteúdo com problemas ligados a gráficos ou tabelas, nos quais o candidato tem que encontrar uma ou mais medidas centrais para resolver a questão. Vejamos a seguir alguns exercícios resolvidos sobre o tema envolvendo essa habilidade cobrada no Enem.

Exercícios resolvidos sobre moda, média e mediana

Questão 1 — (Enem 2012) O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010.

Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é:

A) 212.952

B) 229.913

C) 240.621

D) 255.496

E) 298.041

Resolução:

Alternativa B.

Note que há 10 valores. Quando dividimos 10 por 2, temos que o termo central é a média entre o 5º e o 6º termo da sequência. Colocando a sequência em ordem, temos que:

181.419, 181.719, 204.804, 209.425, 212.952, 246.875, 266.415, 298.041, 299.415, 305.068

(212.952 + 246.875) : 2 = 229.923

Questão 02 — (Enem 2018) A Comissão Interna de Prevenção de Acidentes (CIPA) de uma empresa, observando os altos custos com os frequentes acidentes de trabalho ocorridos, fez, a pedido da diretoria, uma pesquisa do número de acidentes sofridos por funcionários. Essa pesquisa, realizada com uma amostra de 100 funcionários, norteará as ações da empresa na política de segurança no trabalho.

Os resultados obtidos estão no quadro:

A média do número de acidentes por funcionário na amostra que a CIPA apresentará à diretoria da empresa é:

A) 0,15.

B) 0,30.

C) 0,50.

D) 1,11.

E) 2,22.

Resolução:

Alternativa D.

Calcularemos a média ponderada. Sabendo que o peso será o número de trabalhadores, cuja soma é 100, temos:

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática