Sabendo que estas frações são equivalentes, determine o valor de x:

Neste post vamos aprender o que são as frações equivalentes.

Observe as seguintes imagens:

A primeira figura está dividida em duas partes e pintamos uma delas. Então, sua fração será 1/2.

A segunda figura está dividida em 4 partes e pintamos duas delas. Então, sua fração será 2/4.

E a terceira figura foi dividida em 6 partes e pintamos 3, então sua fração será 3/6.

Observe que a parte pintada em todas elas é a mesma, embora representem frações diferentes.

Ou seja, as três frações têm o mesmo resultado, por isso, são equivalentes.

O que são as frações equivalentes?

As frações equivalentes são aquelas que representam a mesma quantidade mesmo quando o numerador e o denominador são diferentes.

Como sabemos se duas frações são equivalentes?

São equivalentes se os produtos do numerador de uma e o denominador da outra são iguais, ou seja, produtos cruzados.

Vamos ver uns exemplos:

Vamos ver se 2/5 e 4/10 são equivalentes.

Para conferir, vamos multiplicar o numerador de uma fração pelo denominador da outra.

2 x 10 = 20                     5 x 4 = 20

Como o resultado é o mesmo, podemos dizer que 2/5 e 4/10 são realmente frações equivalentes.

Agora vamos verificar se 3/7 e 7/3 são frações equivalentes.

Para fazer isso. vamos multiplicar como aparece na imagem:

3 x 3 = 9                    7 x 7 = 49

Como o resultado não é o mesmo, podemos dizer que 3/7 e 7/3 não são equivalentes.

Como podemos calcular frações equivalentes?

Por amplificação

Multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo número

Por exemplo, partindo da fração 1/3 e multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo número, podemos obter diferentes frações equivalentes.

Se multiplicamos por 2:           1 x 2 = 2          3 x 2 = 6

Então, a fração 2/6 é equivalente a 1/3.

Se multiplicamos novamente por 2:          2 x 2 = 4          6 x 2 = 12

Então, a fração 4/12 é equivalente a 1/3 e a 2/6.

Se agora multiplicamos por 3:           4 x 3 = 12          12 x 3 = 36

Então, 12/36 é uma fração equivalente a 1/3, a 2/6, e a 4/12.

Vídeo tutorial sobre amplificação

Confira este vídeo tutorial sobre amplificação de fração.

Por simplificação

Dividindo o numerador e o denominador por um divisor comum de ambos.

Por exemplo, 12/30 podemos dividir o numerador e o denominador por 2, já que tanto o numerador como o denominador são pares.

12 : 2 = 6          30 : 2 = 15

Sendo assim, 6/15 é uma fração equivalente a 12/30.

Agora podemos dividir por 3.

6 : 3 = 2          15 : 3 = 5

Sendo assim, as frações 2/5, 6/15 e 12/30 são equivalentes.

Vídeo tutorial sobre simplificação

Assista a este vídeo tutorial sobre como simplificar as frações.

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Para continuar aprendendo:

• Frações equivalentes. Amplificação e simplificação
• Subtração de frações com exercícios e exemplos
• Como resolver uma soma de frações
• Subtração e Adição de frações
• Como fazer subtração de frações

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CURSO: PEDAGOGIA - 6º semestre DISCIPLINA: MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Prof.Ms.Alexandre Las Casas AULA 3: Conjunto dos Números Racionais; Frações; Operações com Frações. Resolução de Problemas com Frações. OBJETIVOS  Ler e escrever números racionais fracionários;  Determinar frações equivalentes;  Relacionar frações a representações de parte de um inteiro;  Representar frações maiores que um inteiro nas formas fracionaria e mista;  Resolver operações com frações;  Resolver e elaborar situações problema que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural; CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador  Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas. Z = {... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,...} Q = conjunto dos números racionais Exemplos: racionais. números são exemplo, por , 2 3 , 1 , 5 3 , 1 , 4 5 2 a) : Então   , - b a . ) int , , , min ( 3 3 2 2 1 1 1 ) ) int ( 3 9 2 6 1 3 , 3 ) eiro o seja ou todo o representa que fração uma temos ador deno ao igual for numerador o que Sempre todo o m representa que Frações c eiro do parte mesma a m representa que frações São es Equivalent Frações b           Assim, podemos escrever: É interessante considerar a representação decimal de um número racional, que se obtém, dividindo a por b. Ideias relacionadas a frações Ao trabalhar com frações associada a ideia de partes de um inteiro é importante compreender que o denominador indica a quantidade de partes em que o inteiro foi dividido e o numerador, a quantidade de partes tomadas desse inteiro. O que são frações? Fração é uma forma de representar partes de um ou mais inteiros. Por exemplo, ao dividir uma pizza em 8 fatias, teremos que cada parte corresponde a um oitavo do total. Confira na figura: } 0 e , com , | {      b Z b Z a b a x x Q Ou seja, se somarmos todas as partes, obteremos um inteiro, veja: O número que se encontra na parte de cima da fração chamamos de numerador, e o número que está na parte de baixo chamamos de denominador. Assim, no exemplo anterior, o número 1 é o numerador e o número 8 é o denominador. LEITURA DE FRAÇÕES Para ler uma fração, primeiro lemos o seu numerador e, em seguida, o denominador. Exemplo: Supor, uma parede, dividida em duas partes “iguais”, onde uma delas já esta pintada.  A parede representa a unidade (1), que tambem pode ser chamada de todo ou inteiro.  A parede foi dividida em duas partes “iguais”, das quais apenas uma está pintada. Representamos a parte pintada da parede pela fração 1 2 .  1 é o numerador da fração e, nesse caso, indica o número de partes pintadas.  2 é o denominador da fração e, nesse caso, indica o número de partes iguais em que a parede (o todo) foi dividida. O numerador e o denominador são os termos de uma fração. Se as duas partes em que a parede foi dividida estivessem pintadas, a parede inteira (o todo) estaria pintada. Assim, podemos representa-la por 1 ou pela fração 2 2 . Exemplos de fração ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? Numerador 1 2 1 3 5 4 3 5 Denominador 2 3 4 5 6 7 8 9 Como se le Um meio Dois terços Um quarto Três quintos Cinco sextos Quatro sétimos Três oitavos Cinco nonos Leitura de Frações cujo denominador é uma potência de base 10, ou seja, 10, 100, 1000: 0,6 0,01 0,001 6 10 seis décimos 23 100 vinte e três centésimos 1 1000 um milésimo Para denominadores diferentes de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou de potências de base 10, lemos o numerador da fração e, depois, o denominador seguido da palavra avos. Exemplos: 4 13 quatro treze avos 8 30 oito trinta avos 26 85 vinte e seis oitenta e cinco avos FORMA MISTA O número misto ou fração mista possui uma parte inteira e uma parte fracionária. Ele é representado pela parte inteira seguida de uma fração própria, essa representação facilita o reconhecimento do que é inteiro e do que é fracionário no número. Veja alguns exemplos: Gráfico de gantt em gestão de projetos – PMBOK Gestão de tempo  No primeiro exemplo, lemos: um inteiro e três quintos, pois cada barra azul, foi dividida em cinco partes “iguais”. 5 3 1 , 5 3 1 5 3 5 5 seja Ou    No segundo exemplo, lemos dois inteiros e quatro nonos, pois cada barra verde, foi dividida em nove partes “iguais”. 9 4 2 , 2 9 4 1 1 9 4 9 9 9 9 9 4 seja Ou      Tipos de fração Existem três classificações possíveis para uma fração, as frações aparentes, as frações próprias e as frações impróprias. Para compreender como transformar uma fração em um número misto, antes precisamos entender cada uma dessas classificações. Representamos como números mistos somente frações impróprias.  Fração aparente Uma fração é aparente quando ela é a representação de um número inteiro, ou seja, o denominador é divisível pelo numerador. Exemplos: Sabemos que 10 : 2 = 5, que 12 : 4 = 3 e que -25 : 5 = -5, o que faz essas frações serem consideradas aparentes, pois elas representam números inteiros.  Fração própria Uma fração é própria quando o numerador é menor que o denominador. Exemplos:  Fração imprópria Uma fração é imprópria quando o numerador é maior que o denominador e ela não representa um número inteiro, ou seja, o numerador não é divisível pelo denominador: Exemplos: Analisando as três classificações, como a fração aparente é um número inteiro, e ela não pode ser representada como um número misto; Já na fração própria, como o numerador é menor que o denominador, a divisão sempre vai gerar um resultado menor que 1, ou seja, não há parte inteira. A única fração que pode ser descrita com uma parte inteira e uma parte fracionária é a fração imprópria. MA parou aqui. Como transformar uma fração imprópria em um número misto? Para realizar a representação de uma fração imprópria como um número misto, é necessário dividir o numerador pelo denominador, para saber quantas partes inteiras existem. O quociente será a parte inteira, e o resto será o novo numerador da fração: Exemplo: Calculando a divisão 17 : 3, temos: Dessa forma, temos 5 partes inteiras e o resto é 2, então, a representação dessa fração imprópria como um número misto é: 17 = dividendo; 3 = divisor; 5 = quociente; 2 = resto O quociente representa a parte inteira, o resto representa o numerador e o divisor representa o denominador. Lê-se: Cinco inteiros e dois terços. Como transformar um número misto em uma fração imprópria? Agora fazendo o processo inverso, para transformar um número misto em uma fração imprópria, basta realizarmos a soma da parte inteira com a parte fracionária. Exemplo: = [( 5 1 ) = ????. ???? = ????????] + [( ???? ???? ) = ????. ???? = ????] 5 Ou, pegamos a parte inteira, multiplicamos pelo denominador (4 . 5 = 20) e somamos o resultado com o numerador (20 + 3 = 23), em seguida, colocamos o resultado obtido (23) no numerador e mantemos o denominador (5). O denominador sempre vai ser mantido. Lê-se: Vinte e três quintos. EXERCICIOS Questão 1 - Analisando a fração imprópria a seguir, a alternativa que contém a representação da fração como um número misto é: Resolução Alternativa C Para encontrar a fração mista equivalente à fração imprópria, vamos realizar a divisão do numerador pelo denominador: Então, há 2 inteiros e o resto é igual a 4, sendo assim, o número misto que representa a fração é: Questão 2 - A alternativa, a seguir, que corresponde à representação do número misto como uma fração imprópria simplificada é: Resolução Alternativa E Para encontrar a representação fracionária, vamos somar a parte inteira com a parte fracionária do número misto: Ou, a parte inteira multiplicada pelo denominador (3. 12 = 36), o resultado somado com o numerador (36 + 7 = 43) e mantemos o denominador (12). Portanto, 12 43 FRAÇÕES EQUIVALENTES O que são frações equivalentes? Frações equivalentes são aquelas que representam a mesma quantidade ou o mesmo número, ou a mesma parte do inteiro. Exemplo:  Olhando para essas imagens, podemos encontrar algumas equivalências, por exemplo: considerar 6/24 é o mesmo que considerar 1/4. Ou seja:  Podemos dizer também que 12/24 é o mesmo que considerar 1/2. Ou seja:  Ou, por exemplo, considerar 18/24 é o mesmo que considerar 3/4. Essas frações são todas equivalentes, pois elas representam a mesma quantidade. Perceba também que se a simplificarmos encontraremos outras frações equivalentes. Vamos dizer que duas frações são equivalentes quando as multiplicamos de forma cruzada e o resultado da igualdade é verdadeiro. Exemplo: Verifique se as frações 18/24 e 3/4 são equivalentes. Quando multiplicamos de forma cruzada encontramos 72, nos dois produtos. Como a igualdade é verdadeira, as frações são equivalentes. Como encontrar frações equivalentes? A equivalência entre frações é a possibilidade de representar a mesma quantidade em frações diferentes. Para encontrar a fração ou as frações equivalentes, basta dividir ou multiplicar o numerador e o denominador da fração por um mesmo número diferente de zero. Quando realizamos a operação de divisão, estamos simplificando a fração. Vamos determinar algumas frações equivalentes a 2/8.  No primeiro caso, multiplicamos por 2, o numerador e o denominador e encontramos a fração equivalente a 2/8, igual a 4/16.  No segundo caso, multiplicamos por 5, o numerador e o denominador e encontramos a fração equivalente a 2/8, igual 10/40.  No terceiro caso, dividimos por 2, o numerador e o denominador e encontramos a fração equivalente a 2/8, igual a 1/4. É importante lembrar que para conseguir encontrar frações equivalentes devemos dividir ou multiplicar o numerador e o denominador ao mesmo tempo, pelo mesmo número, diferente de zero.  Observem que se simplificássemos 4/16, encontraríamos o valor 1/4 (dividiríamos por 4, o numerador e o denominador, encontraríamos o resultado simplificado).  O mesmo acontece para o resultado 10/40, encontraríamos o valor 1/4 (dividiríamos por 10 o numerador e o denominador, encontraríamos o resultado simplificado). Observem que sempre que dividirmos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número diferente de zero, teremos o resultado, simplificado. EXERCICIOS Questão 1 - Verifique se as frações a seguir são equivalentes: Resolução Multiplicando em cruz, temos: Como a igualdade e diferente, as frações não são equivalentes. Questão 2 - Sabendo que estas frações são equivalentes, determine o valor de x: Resolução Multiplicando em cruz, temos: 20. x = 4 . 5 20.x = 20 x = 20/20 x = 1 Portanto, para que as frações sejam equivalentes o valor de x deve ser igual a 1. Pode ver que se substituir o x por 1, a hora que multiplicar cruzado vai obter como resultado: 20 = 20. Complemento ???? ???? = 4 20 =1.20=20 e 5.4=20 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Antes de iniciar as operações com frações, sobre Adição e Subtração, vamos falar sobre MMC. Mínimo múltiplo comum (MMC) Mínimo múltiplo comum (MMC) é o menor número múltiplo de dois ou mais números. Esse cálculo é muito comum ao fazer-se somas e subtrações entre frações. O mínimo múltiplo comum possui diversos usos, e um deles é ao fazer-se somas ou subtrações de frações com denominadores diferentes. Conhecemos como MMC o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números. Encontrar o MMC entre dois números é procurar o menor número múltiplo de dois ou mais números simultaneamente. Para encontrar o MMC entre dois números, podemos fazer uma lista dos múltiplos de cada um deles até achar um que seja comum a ambos, ou então utilizar o método de decomposição em fatores primos ou até mesmo o de fatoração sucessiva. O que é o MMC? Conhecemos como MMC o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números. Encontrar o MMC entre dois números é identificar o menor número inteiro diferente de zero e múltiplo de ambos simultaneamente. Para compreender o que é o MMC, é fundamental saber o que são os múltiplos de número. Conhecemos como múltiplos de um número o produto obtido quando multiplicamos um número natural por outro número natural. Exemplo 1: Encontrar os múltiplos de 12. Já vimos anteriormente que encontrar o conjunto dos múltiplos de um número é multiplicar esse número por: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....... Sendo assim: 12 . 0 = 0 12 . 1 = 12 12 . 2 = 24 12 . 3 = 36 ............... 12 . 8 = 96 ................ E assim sucessivamente, não tem fim. M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96…} Note que o conjunto dos números múltiplos de 12 é formado pelos resultados de 12 vezes 0, 12 vezes 1, 12 vezes 2, e assim sucessivamente. O conjunto de múltiplos é infinito. Exemplo 2: Vejamos agora os múltiplos de 14: M(14) = {0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112…} Podemos encontrar o mínimo múltiplo comum entre esses dois números (12, 14), para isso, basta analisar as duas listas de múltiplos e procurar o menor número inteiro diferente de zero e que seja múltiplo dos dois. MMC(12, 14) M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96…} M(14) = {0, 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112…} MMC(12, 14) = 84 Portanto, o MMC entre os números 12 e 14 é 84. Para calcular o MMC entre dois ou mais números, existem vários métodos. Os que mais se destacam são três, apresentados a seguir.  1º método - comparação dos múltiplos O primeiro deles é o que nós utilizamos anteriormente para encontrar o MMC entre 12 e 14: escrever a lista de múltiplo de cada um dos números e encontrar o menor múltiplo em comum entre eles. Exemplo: MMC(10, 15) M(10) = {0, 10, 20, 30…} M(15) = {0, 15, 30…} MMC(10, 15) = 30 Acontece que esse método é pouco prático quando há mais números, ou então, quando os números são maiores, muitas vezes encontrar o MMC escrevendo a lista de múltiplos de cada um dos números pode ser bastante trabalhoso. 2º método - decomposição em fatores primos O método de decompor os números em fatores primos facilita encontrar os múltiplos em comum quando os números são maiores. Os números que não são primos podem ser escritos como o produto entre números primos. Esse método consiste em reescrever os números na forma fatorada e multiplicar os fatores com os seus maiores expoentes. Exemplo: Encontre o MMC(36, 40): 36 : 2 = 18 40 : 2 = 20 18 : 2 = 9 20 : 2 = 10 9 : 3 = 3 10 : 2 = 5 3 : 3 = 1 5 : 5 = 1 Portanto 36 é o mesmo que 22 . 32 Portanto 40 é o mesmo que 23 . 5 Primeiro vamos escrever esses números na sua forma fatorada: 36 = 2² · 3² 40 = 2³ · 5 Os fatores encontrados na decomposição foram 2, 3 e 5. Vamos realizar a multiplicação entre eles com os seus respectivos expoentes. Note que o 2 apareceu em ambos, nesse caso, escolhemos o maior expoente: MMC(36, 40) = 2³ · 3² · 5 MMC(36, 40) = 8 · 9 · 5 MMC(36, 40) = 360  3º método - método das divisões sucessivas O terceiro método é o mais utilizado e é conhecido como método prático do MMC ou método das divisões sucessivas. Como o nome sugere, nele se realiza divisões sucessivas com esses números simultaneamente para encontrar os fatores cujo o produto será o MMC. Números Primos são aqueles divisíveis por 1 e por ele mesmo. O único número primo que é par é o número 2. Os outros todos são ímpares. O conjunto dos números primos é infinito. Esse método das divisões sucessivas, dividimos sempre pelos números primos, começando pelo 2, se houver número par, depois pelo número 3 e assim sucessivamente. Não posso dividir por 5 e depois voltar para o 3. Devo seguir a ordem, só vou dividir por 5, se o número não for divisível por 3. O conjunto dos números primos é dado por: Números Primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31....} Exemplo: Calcule MMC(48, 84). 1º passo: montar o algoritmo e encontrar o menor número primo que divide pelo menos um dos dois números. 2º passo: realizar a divisão desses números por 2 e escrever o resultado logo abaixo: 3º passo: com os resultados encontrados, repetiremos o processo, dividindo-os novamente por 2: 4º passo: note que 2 não divide o 21, mas ainda divide o 12, então escreveremos o 2 como fator, mas realizaremos somente a divisão que tem resultado inteiro, repetindo o processo até que não tenha mais nenhum número divisível por 2. 5º passo: encontraremos agora o próximo número primo que divide qualquer um dos dois números, que, no caso, é o 3, e realizaremos a divisão. 6º passo: como 3 não divide mais nenhum dos dois números, então encontraremos o próximo número que divide qualquer um dos dois números, que no caso é 7. 7º passo: agora que não é mais possível dividir, calculamos o produto entre os números encontrados para encontrar o MMC. Então, o MMC(48, 84) = 336. PROPRIEDADES IMPORTANTES DO MMC 1ª propriedade: o MMC entre dois números primos entre si é igual ao produto entre esses dois números. Exemplo: MMC(10, 9) Note que os divisores de 10 são D(10) = {1, 2, 5, 10} e os divisores de 9 são {1, 3, 9}. Sendo assim, não existe nenhum divisor comum entre esses números, logo, temos que: MMC(10, 9) = 10 × 9 = 90 2ª propriedade: quando um dos números de que queremos encontrar o MMC é múltiplo do outro, então o MMC entre esses números será o maior deles. Exemplo: MMC(4, 12) M(4) = {0, 4, 8, 12 , 16...} M(12) = {0, 12…} MMC(4, 12) = 12 NB parou aqui MMC em frações Utilizamos o MMC para igualar os denominadores de frações, a fim de que seja possível calcular a adição ou a subtração entre duas frações. Para calcular a soma de duas frações com denominadores distintos, é necessário calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores, a fim de escrever frações equivalentes que possuam o mesmo denominador e, assim, ser possível realizar a soma. Exemplo: Primeiro encontraremos o MMC(9, 5). Como eles são primos entre si, basta multiplicar 9 × 5 = 45, então, temos que: MMC(9, 5) = 45 Encontrado o MMC, agora precisamos analisar as frações. Na primeira, para que o denominador seja igual a 45, é necessário multiplicar por 5 tanto o numerador quanto o denominador. Já na segunda fração, como o denominador igual a 5, é necessário multiplicar o numerador e o denominador por 9. Após igualar os denominadores, é possível realizar a soma entre as frações: Exemplo 2 de Redução de fração ao mesmo denominador Podemos transformar duas frações que representam quantidades diferentes de um mesmo inteiro, por exemplo, 1/2 e 2/5 em frações com denominadores iguais. Esse processo é conhecido como redução de fração ao mesmo denominador. Para reduzir as frações 1/2 e 2/5 ao mesmo denominador devemos encontrar as frações equivalentes a cada uma delas, ou seja, frações diferentes, mas que representam a mesma quantidade. 1/2 é o mesmo que a metade de um inteiro, pois dividimos o inteiro em 2 partes iguais e consideramos 1, portanto é possível dividir esse mesmo inteiro em partes diferentes e continuar considerando a metade do inteiro, veja: Todas essas frações 2/4, 3/6, 4/8 e 5/10 são equivalentes a 1/2, pois representa a mesma quantidade. Se pegarmos esse mesmo inteiro utilizado acima e encontrarmos frações equivalentes a 2/5, teremos: Como as frações equivalentes a 1/2 e 2/5 foram encontradas levando em consideração o mesmo inteiro, podemos dizer que as frações 1/2 e 2/5 transformadas em um mesmo denominador ficariam respectivamente iguais a 5/10 e 4/10. Uma maneira mais prática de reduzir as frações ao mesmo denominador é encontrar o mínimo múltiplo comum (menor múltiplo comum) dos números que representam os denominadores, por exemplo: As frações 3/20 e 5/6 possuem os números 20 e 6 como denominadores e o menor múltiplo comum (mmc) entre eles é 60. Assim, o denominador comum das frações 3/20 e 5/6 será 60. Depois de encontrar o “novo denominador” temos que dividi-lo pelo “antigo” e multiplicar o resultado pelo numerador, devemos fazer sempre esse processo, pois se mudamos o denominador temos que encontrar um numerador proporcional. Veja como é feito: OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Quando realizamos qualquer operação entre frações, o resultado ainda é uma fração. No conjunto dos números racionais, fazem parte de um conjunto fechado as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Em matemática, quando dizemos ...