A equação reduzida da reta é a maneira de representar de forma algébrica a reta, sendo possível obter, por meio do estudo da geometria analítica, informações importantes sobre o comportamento da reta quando representada no plano cartesiano.
A equação reduzida da reta é a equação y = mx + n, em que m e n são, respectivamente, os coeficientes angular e linear, e x e y são, respectivamente, a variável independente e dependente. Por meio do valor do coeficiente angular, é possível saber se a reta é crescente, decrescente ou constante. Já o coeficiente linear mostra o ponto em que a reta intercepta o eixo vertical y.
Leia também: Elipse — figura muito estudada na geometria plana e na analítica
Qual é a equação reduzida da reta?
No estudo da geometria analítica, é bastante recorrente a representação de figuras geométricas por meio de uma equação. Com a reta não é diferente, e a equação reduzida que descreve a reta é a seguinte:
m → coeficiente angular
n → coeficiente linear
y → variável dependente
x → variável independente
Vale salientar que m e n são números reais.
Exemplos:
a) y = 2x – 4
m = 2 e n = – 4
b) y = – 3x + 5
m = – 3 e n = 5
A equação da reta nos dá a coleção de pontos que formam a reta no plano cartesiano, sendo possível analisar o gráfico por meio da equação e fazer a sua representação no plano cartesiano. Para entender como encontrar a equação da reta, vamos antes conhecer o significado de cada um dos seus coeficientes e aprender a encontrá-los.
O coeficiente angular está ligado à inclinação da reta e o cálculo desse coeficiente pode ser feito de duas maneiras:
-
quando conhecemos a inclinação da reta em relação ao eixo x;
-
quando conhecemos dois pontos pertencentes à reta.
O primeiro método é calcular a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x no sentido anti-horário.
Conhecendo o valor do ângulo α, temos que:
Exemplo:
Encontre o coeficiente angular da reta a seguir:
Como o ângulo é de 45º, então basta calcular a tangente de 45º.
m = tg 45º
m = 1
Mais recorrente que o primeiro caso, no segundo caso encontramos o coeficiente angular da reta conhecendo dois pontos A(x1,y1) e B (x2, y2). Para isso, utilizamos a fórmula a seguir:
Exemplo:
Encontre o coeficiente angular da reta utilizando os pontos A e B do gráfico a seguir:
Ao analisar a malha quadriculada, é fácil ver que as coordenadas são A(1,1) e B( – 1, 3). Usando esses dois pontos, temos que:
O coeficiente angular traz informações importantes sobre o gráfico da reta. Podemos classificar essa reta como crescente, decrescente ou constante de acordo com o valor do coeficiente angular.
Exemplos:
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y = 2x – 1 → crescente, pois m = 2.
-
y = – x + 5 → decrescente, pois m = – 1.
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y = 3 → constante, pois m = 0.
Veja também: Qual é a equação geral da circunferência?
Coeficiente linear
Na equação reduzida y = mx + n, conhecemos o n como coeficiente linear. Quando x = 0, o valor de y = n; sendo assim, o coeficiente linear é o ponto em que a reta intercepta o eixo y.
Passo a passo de como calcular a equação reduzida da reta
Para calcular a equação reduzida da reta, é necessário encontrar o valor do coeficiente angular e do coeficiente linear. Para isso, precisamos conhecer dois pontos pertencentes à reta. Veja o passo a passo para encontrar a equação da reta.
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1º passo: encontramos o valor do coeficiente angular m.
-
2º passo: substituir na equação y = mx + n o valor encontrado para m e o valor de x e y pelo valor de um dos dois pontos.
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3º passo: resolver a equação para calcular o valor de n.
-
4º passo: agora que conhecemos o valor de m e n, bastar substituir na equação reduzida y = mx + n para encontrar a equação da reta.
Exemplo:
Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A (2,1) e B (4,7).
Primeiro encontramos o coeficiente angular:
Agora que encontramos o coeficiente angular, escolhemos um ponto: por exemplo, o ponto A (2,1). Na equação y = mx + n, vamos substituir os valores do ponto A, ou seja, x = 2 e y = 1, e também o valor encontrado para m, no caso m= 3.
y = mx + n
x = 2 y = 1 e m = 3
1 = 3 · 2 + n 1 = 6 + n 1 – 6 = n
n = – 5
Como conhecemos o valor de m e de n, então a equação reduzida da reta será:
y = mx + n
m = 3 e n = – 5
y = 3x + ( – 5)
y = 3x – 5
Representação gráfica da reta
Para construir o gráfico da reta conhecendo a sua equação, encontramos dois pontos pertencentes a essa reta e traçamos a reta que passa por esses dois pontos.
Exemplo:
Encontre o gráfico da reta y = 2x – 1.
Analisando a reta, o primeiro ponto, que é o mais fácil de identificar, é A ( 0, – 1), pois sabemos que o coeficiente linear é o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Se substituirmos na equação x = 0, encontramos y = – 1.
Agora precisamos de outro ponto qualquer. Para isso, atribuímos um valor para x e encontramos o seu correspondente em y. Por exemplo, escolhendo x = 1, temos que:
y = 2x – 1
x = 1
y = 2 ·1 – 1
y = 2 – 1
y = 1
O ponto B (1, 1) pertence à reta, então marcamos os pontos A(0, –1) e B (1,1) no plano cartesiano e traçamos a reta que passa por esses dois pontos.
Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos no espaço?
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Analisando as equações, marque a alternativa correta:
I → y = – 2x + 5
II → y = – 2 + 3x
III → y = 5
As retas são, respectivamente:
A) crescente, decrescente e constante. B) decrescente, decrescente e constante. C) crescente, decrescente e crescente.
D) decrescente, crescente e crescente.
E) decrescente, crescente e constante.
Resolução
Alternativa E.
I → m = – 2. Como ele é negativo, a reta é decrescente.
II → m = 3. Como ele é positivo, a reta é crescente.
III → m = 0. Note que x não aparece, logo m = 0, então a reta é constante.
Questão 2 - Dada a reta que passa pelos pontos A(-1, 2) e B (2,3), o seu coeficiente angular é igual a:
Resolução
Alternativa D.
Dados os dois pontos, encontraremos o coeficiente angular:
Uma equação polinomial é caracterizada por ter um polinômio igual a zero. Ela pode ser caracterizada pelo grau do polinômio, e, quanto maior esse grau, maior será o grau de dificuldade para encontrar-se sua solução ou raiz.
É importante também, nesse contexto, compreender o que é o teorema fundamental da álgebra, que afirma que toda equação polinomial possui pelo menos uma solução complexa, em outras palavras: uma equação de grau um terá, pelo menos, uma solução, uma equação de grau dois, terá, pelo menos, duas soluções, e assim sucessivamente.
Leia também: Quais são as classes de polinômios?
O que é uma equação polinomial
Uma equação polinomial é caracterizada por ter um polinômio igualado a zero, assim, toda expressão do tipo P(x) = 0 é uma equação polinomial, em que P(x) é um polinômio. Veja, a seguir, o caso geral de uma equação polinomial e alguns exemplos.
Considere an, an –1, a n –2, …, a1, a0 e x números reais, e n um número inteiro positivo, a expressão seguinte é uma equação polinomial de grau n.
As equações seguintes são polinomiais.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0
Assim como os polinômios, as equações polinomiais possuem seu grau. Para determinar o grau de uma equação polinomial, basta encontrar a maior potência cujo coeficiente seja diferente de zero. Portanto, as equações dos itens anteriores são, respetivamente:
a) A equação é do quarto grau: 3x4 + 4x2 – 1 = 0.
b) A equação é do segundo grau: 5x2 – 3 = 0.
c) A equação é do primeiro grau: 6x – 1 = 0.
d) A equação é do terceiro grau: 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0.
O método de resolução para uma equação polinomial depende do seu grau. Quanto maior o grau de uma equação, maior a dificuldade em resolvê-la. Neste artigo, mostraremos o método de resolução para equações polinomiais do primeiro grau, segundo grau e biquadradas.
Uma equação polinomial do primeiro grau é descrita por um polinômio de grau 1. Assim podemos escrever uma equação do primeiro grau, de forma geral, da seguinte maneira.
Considere dois números reais a e b com a ≠ 0, a expressão a seguir é uma equação polinomial do primeiro grau:
ax + b = 0
Para resolver essa equação, devemos utilizar o princípio da equivalência, ou seja, tudo que é operado em um lado da igualdade dever também ser operado do outro lado. Para determinar a solução de uma equação do primeiro grau, devemos isolar a incógnita. Para isso, o primeiro passo é eliminar o b do lado esquerdo da igualdade, e, em seguida, subtrairemos b dos dois lados da igualdade.
ax + b – b = 0 – b
ax = – b
Veja que ainda o valor da incógnita x não está isolado, o coeficiente a precisa ser eliminado do lado esquerdo da igualdade, e, para isso, vamos dividir ambos os lados por a.
Resolva a equação 5x + 25 = 0.
Para resolver o problema, devemos utilizar o princípio da equivalência. Tendo em vista facilitar o processo, omitiremos a escrita da operação do lado esquerdo da igualdade, sendo equivalente então dizer que vamos “passar” o número para o outro lado, trocando o sinal (operação inversa).
Saiba mais sobre a resolução desse tipo de equação acessando o nosso texto: Equação do primeiro grau com uma incógnita.
Uma equação polinomial do segundo grau tem como característica um polinômio de grau dois. Assim, considere a, b e c números reais com a ≠ 0. Uma equação do segundo grau é dada por:
ax2 + bx + c = 0
A sua solução pode ser determinada utilizando-se o método de Bhaskara ou por fatoração. Se quiser saber mais sobre as equações desse tipo, leia: Equação do segundo grau.
→ Método de Bhaskara
Utilizando o método de Bhaskara, temos que suas raízes são dadas pela seguinte fórmula:
Determine a solução da equação x2 – 3x + 2 = 0.
Observe que os coeficientes da equação são, respetivamente, a = 1, b = – 3 e c = 2. Substituindo esses valores na fórmula, temos que:
→ Fatoração
Veja que é possível fatorar a expressão x2 – 3x + 2 = 0 utilizando a ideia de fatoração de polinômios.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Observe agora que temos um produto igualado a zero, e um produto é igual a zero somente se um dos fatores é igual a zero, portanto, temos que:
x – 2 = 0
x = 2
ou
x – 1 = 0
x = 1
Veja que encontramos a solução da equação utilizando dois métodos diferentes.
A equação biquadrada é um caso particular de uma equação polinomial do quarto grau, normalmente uma equação do quarto grau seria escrita na forma:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Em que os números a, b, c, d e e são reais com a ≠ 0. Uma equação do quarto grau é considerada biquadrada quando os coeficientes b = d = 0, ou seja, a equação fica na forma:
ax4 + cx2 + e = 0
Veja, no exemplo a seguir, como resolver essa equação.
Resolva a equação x4 – 10x2 + 9 = 0.
Para resolver a equação, vamos utilizar a seguinte mudança de incógnita, e sempre que a equação for biquadrada, faremos tal mudança.
x2 = p
Da equação biquadrada, observe que x4 = (x2)2 e, portanto, temos que:
x4 – 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
p2 – 10p + 9 = 0
Veja que agora temos uma equação polinomial do segundo grau e podemos utilizar o método de Bhaskara, assim:
No entanto, devemos lembrar que, no início do exercício, foi feita uma mudança de incógnita, então, devemos aplicar o valor encontrado na substituição.
x2 = p
Para p = 9 temos que:
x2 = 9
x’ = 3
ou
x’’ = – 3
Para p = 1
x2 = 1
x’ = 1
ou
x’’ = – 1
Portanto, o conjunto solução da equação biquadrada é:
S = {3, –3, 1, –1}
Leia também: Dispositivo prático de Briot-Ruffini – divisão de polinômios
Teorema fundamental da álgebra (TFA)
O teorema fundamental da álgebra (TFA), provado por Gauss em 1799, afirma que toda equação polinomial da seguinte forma possui pelo menos uma raiz complexa.
A raiz de uma equação polinomial é sua solução, ou seja, o valor da incógnita é que torna a igualdade verdadeira. Por exemplo, uma equação do primeiro grau possui uma raiz já determinada, assim como a equação do segundo grau, que possui pelo menos duas raízes, e a biquadrada, que possui pelo menos quatro raízes.
Exercícios resolvidos
Questão 1 – Determine o valor de x que torne a igualdade verdadeira.
2x – 8 = 3x + 7
Resolução
Observe que, para resolver a equação, é necessário organizá-la, isto é, deixar todas as incógnitas no lado esquerdo da igualdade.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Pelo princípio da equivalência, podemos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo mesmo número, e, como desejamos descobrir o valor de x, multiplicaremos ambos os lados por –1.
(–1) – x = 15 (–1)
x = – 15
Questão 2 – Marcos possui R$ 20 a mais que João. Juntos, eles conseguem comprar dois pares de tênis, custando R$ 80 cada par e sem sobrar nenhum dinheiro. Quantos reais têm João?
Resolução
Considere que Marcos possui x reais, como João tem 20 reais a mais, então ele possui x + 20.
Marcos → x reais
João → (x + 20) reais
Como eles compraram dois pares de tênis que custam 80 reais cada, então, se juntarmos as partes de cada um, teremos que:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Portanto, Marcos tinha 70 reais, e João, 90 reais.
Por Robson Luiz
Professor de Matemática