Vamos descobrir de um jeito fácil a raiz quadrada de um número
O estudo da raiz quadrada é importante para várias áreas de conhecimento da matemática, então porque não termos um tópico só dela?
Neste post vamos explicar tudinho que você precisa saber para encontrar a raiz quadrada de um número!
1. Números primos e fatoração
Para aprendermos a encontrar a raiz quadrada de um número, precisamos relembrar os números primos e a fatoração de um número.
Os números primos são aqueles maiores do que 1 e que possuem apenas dois divisores, o 1 e ele mesmo. Essa lista é infinita, então vamos decorar só os primeiros, ok? São eles:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,...
A fatoração de um número é dada pela divisão dele por números primos, ou seja, vou reescrever um número com apenas multiplicações de números primos.
Exemplo: Fatore o número 192.
192 | 2 96 | 2 48 | 2 24 | 2 12 | 2 6 | 2 3 | 3
1 |
Logo, podemos escrever o 192 = 2.2.2.2.2.2.3 ou 192 = 2 6.3
2. Raiz quadrada de um número natural
Para encontrar a raiz quadrada de um número natural, basta fatorar o número e depois juntar de dois em dois para tirar da raiz, veja o exemplo,
Exemplo: Encontre a √36
36 | 218 | 2 9 | 2 3 | 2
1 |
Então, podemos escrever 36 = 2.2.3.3 ou 36 = 22.32, como temos dois 2 e dois 3, logo eles “saem” da raiz, ficando √36 = 2.3 = 6
A raiz é a operação inversa da potenciação, logo para alguns casos simples basta fazer a seguinte pergunta “que número ao quadrado que resulta no valor desta raiz?”.
Veja os casos mais simples: √100 = 10, pois, 102 = 100 √81= 9, pois, 92 = 81 √64= 8, pois, 82 = 64 √49= 7, pois, 72 = 49 √36= 6, pois, 62 = 36 √25= 5, pois, 52 = 25 √16= 4, pois, 42 = 16 √9= 3, pois, 32 = 9 √4= 2, pois, 22 = 4 √1= 1, pois, 12 = 1
Quando conseguimos encontrar um número que responde a essa pergunta dizemos que a raiz é exata, pois não “sobra” nada dentro da raiz.
Exemplo: Encontre a raiz exata de √225
225| 3 75 | 3 25 | 5 5 | 5
1 |
Então, √225 = √32.52 = 3.5 = 15
3. Raiz não exata de um número
O mesmo procedimento é feito para as raízes não exatas, só que agora vai “sobrar” números dentro da raiz, veja:
Exemplos:
192 | 2 96 | 2 48 | 2 24 | 2 12 | 2 6 | 2 3 | 3
1 |
Logo, podemos escrever √192= √2.2.2.2.2.2.3 = √22.22.22.32 = 2.2.2.√3 = 6√3
Observe que nesse exemplo só os números 2 fizeram pares entre si, o número 3 ficou sozinho, “sobrando” dentro da raiz.
245 | 5 49 | 7 7 | 7
1 |
Logo, √245 = √5.72 = 7√5
221 | 13 17 | 17
1 |
Neste último caso, como não temos nenhum número ao quadrado, pois temos um de cada, nada sai da raiz, então não temos uma simplificação para √221.
4. Raiz quadrada de um número fracionário
A raiz quadrada de um número fracionário é feita da mesma forma que para o número natural, só que a resposta será uma fração também, veja:
Exemplo:
Vamos “distribuir” a raiz para o numerador e o denominador.
√16/25 = √16/√25
Agora basta encontrar suas raízes.
√16/√25 = 4/5
√225/400 = √225/√400 = 15/20
Sempre precisamos simplificar a fração, então a resposta final será:
15:5/20:5 = 3/4√225/400 = 3/4
5. Raiz quadrada de um número decimal
Um modo de como podemos resolver a raiz de um número decimal é passar pra fração e repetir o processo anterior, veja:
Exemplo:
√0,25 = √25/100 = √25/√100 = 5:5/10:5 = 1/2 = 0,5√0,16 = √16/100 = √16/√100 = 4:2/10:2 = 2/5 = 0,4👉 Se prepare para o Enem e Vestibulares estudando Matemática de graça no Descomplica!
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A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente. Já outros exemplos, como v15 e v18, têm como valor um número decimal aproximado.
O valor da raiz quadrada dos números é um assunto recorrente durante os estudos, sendo utilizada em equações matemáticas e em cálculos geométricos, por exemplo. Por isso é fundamental que você saiba os principais métodos empregados para determinar seus valores. Vamos conhecê-los?
Tentativa e erro
Algumas raízes quadradas você já pode até saber de cabeça, como v4 (=2x2), v9 (=3x3), v16 (=4x4) e v25 (=5x5) . Além delas, diante de alguma questão, você pode buscar o valor da raiz através de tentativas, multiplicando um número pelo outro até encontrar a resposta correta. Veja o exemplo:
Qual a raiz quadrada de v196?
Tomando como base v100 = 10, você pode tentar multiplicar de um em um até chegar ao valor correto, por exemplo:
11 * 11 = 121
12 * 12 = 144
13 * 13 = 169
14 * 14 = 196
É preciso perceber que esse método é bom para números menores, dos quais você conhece as raízes quadradas próximas. Porém, pode não funcionar tão bem para valores não inteiros.
Cálculo por fatoração
A fatoração consiste na decomposição do número em fatores primos. Assim, é possível verificar se o número é um quadrado perfeito, ou seja, o valor de sua raiz quadrada é um número inteiro. Veja a demonstração:
Vamos utilizar v1296 como exemplo. Para iniciar a conta, você deve dividi-lo pelo primeiro número primo possível, veja:
Lembre-se de que a raiz quadrada possui 2 como valor de potenciação. Assim, você deve desmembrar os números para que fiquem com o mesmo expoente 2, e assim consiguir “cortar” da raiz. Veja:
Veja outro exemplo com v1225:
Desmembrando o número temos:
Raiz quadrada não exata
Quando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz quadrada não é um número inteiro, mas sim decimal. Para descobrirmos o valor, é preciso projetar entre quais quadrados perfeitos o número se encontra. Veja o exemplo:
Vamos calcular a raiz quadrada de v54. Podemos perceber que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 e v64. Logo, v54 está entre 7 e 8. Para descobrir o valor aproximado, você deve adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo:
7,1 * 7,1 = 50,41
7,2 * 7,2 = 51,84
7,3 * 7,3 = 53,29
7,4 * 7,4 = 54,76
O correto é escolher a casa decimal cujo valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso acima, podemos aproximar o valor de v54 para 7,3; visto que 7,4 ultrapassa o número 54.
Veja outro exemplo:
Vamos calcular a raiz quadrada de v218. Os quadrados perfeitos mais próximos são v196 e v225. Logo, o valor da raiz quadrada de v218 está entre 14 e 15. Vamos para as tentativas:
14,1 * 14,1 = 198,81
14,2 * 14,2 = 201,64
14,3 * 14,3 = 204,49
14,4 * 14,4 = 207,36
14,5 * 14,5 = 210,25
14,6 * 14,6 = 213,16
14,7 * 14,7 = 216,09
14,8 * 14,8 = 219,04
Nesse caso, você pode colocar a raiz como 14,7. Porém, ela não dá um valor tão próximo. Assim, você pode adicionar uma casa decimal, veja:
14,71 * 14,71 = 216,38
14,72 * 14, 72 = 216,67
14,73 * 14,73 = 216,97
14,74 * 14,74 = 217,26
14,75 * 14,75 = 217,56
14,76 * 14,76 = 217,85
14,77 * 14,77 = 218,15
Portanto, o melhor valor para a raiz quadrada de v218 é 14,76.
O número mais indicado de aproximação vai depender bastante do exercício. Alguns podem pedir uma casa decimal, outros acima de duas. É possível até que o enunciado dê esses valores em alguns casos. O importante é que você saiba calcular.
Aprender as operações e os cálculos básicos da matemática é fundamental para você desenvolver o conhecimento para problemas maiores. Para te ajudar com os estudos, separamos mais alguns posts como sugestão para as próximas revisões:
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1
Primeiramente, separe as casas do número em pares. Esse método faz uso de um processo semelhante à divisão longa para calcular a raiz quadrada exata, uma casa de cada vez. Embora não seja crucial, você talvez descubra que o processo fica mais fácil quando é organizado visualmente e o número está dividido em partes. O primeiro a se fazer é desenhar uma linha vertical separando a área de trabalho em duas regiões, fazendo a seguir uma linha horizontal menor perto do topo direito a fim de ter uma seção pequena em cima e uma grande em baixo. Agora, separe as casas do número em pares começando com a vírgula: seguindo essa regra, por exemplo,
se torna. Escreva o valor no topo do espaço esquerdo.- Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de . Faça duas linhas para dividir a área de trabalho como no caso anterior e escrevana porção superior do espaço esquerdo, e não se preocupe se houver apenas um número solitário à esquerda em vez de um par. Você deverá escrever a resposta () na região direita superior.
- Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de
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2
Descubra qual é o maior
inteiro cujo quadrado é menor ou igual que o número (ou o par de números) à esquerda. Comece com a porção mais à esquerda de seu número, quer se trate de um par ou de um valor isolado. Determine qual é o maior quadrado perfeito que seja menor ou igual a esse número e tire sua raiz quadrada: esse valor é representado por . Anote-o no espaço direito superior e escreva seu quadrado no quadrante direito inferior.- No exemplo, a porção mais à esquerda é o número . Como se sabe que, é possível afirmar que, uma vez que se trata do maior valor inteiro cujo quadrado é menor ou igual a . Escrevano quadrante superior — essa será a primeira casa do resultado. A seguir, escreva(quadrado de ) no quadrante direito inferior — esse valor será importante para o próximo passo.
- No exemplo, a porção mais à esquerda é o número
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3
Subtraia o número recém-calculado do par à esquerda. Assim como acontece na divisão longa, a próxima etapa é subtrair o quadrado encontrado da porção que acaba de ser estudada. Escreva esse valor sob a primeira porção e execute a subtração apropriada, escrevendo a resposta logo abaixo.
- No exemplo, um será colocado abaixo do a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a .
- No exemplo, um será colocado abaixo do a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a
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4
Desça o próximo par. Mova a próxima porção do número em estudo para baixo e ao lado do valor subtraído que você acaba de encontrar. Multiplique a seguir o valor no topo direito por e escreva a resposta no quadrante direita inferior. Basta agora separar um espaço para o problema de multiplicação no próximo passo:
.- No exemplo, o próximo par à disposição é . basta observá-lo próximo ao do quadrante esquerdo inferior. A seguir, multiplique o valor por e obtenha , de modo que. Escreva no canto direito inferior, seguido por.
- No exemplo, o próximo par à disposição é
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Preencha os espaços em branco no quadrante direito. Em cada um deles agora estará o mesmo número inteiro. Ele deve ser o maior que permita ao resultado da multiplicação à direita ser menor ou igual ao número agora presente no lado esquerdo.
- No exemplo, preencher os espaços em branco com dá como resultado:. Esse é um valor maior que. Dessa forma, é grande demais, mas provavelmente servirá. Escreva nos espaços em branco e prossiga:. Confirma-se que ele atende à necessidade porque, então escreva o número no quadrante direito superior. Essa é a segunda casa na raiz quadrada de .
- No exemplo, preencher os espaços em branco com
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Subtraia o valor calculado do número agora à esquerda. Continue subtraindo no mesmo estilo da divisão longa. Tome o resultado do problema de multiplicação no quadrante direito e subtraia-o do valor que está agora no lado esquerdo, colocando a sua resposta logo abaixo.
- No exemplo, será subtraído de , resultando em.
- No exemplo,
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Repita o Passo 4. Desça a próxima porção do número cuja raiz quadrada está sendo calculada. Ao chegar na vírgula, escreva uma casa decimal na resposta presente no quadrante direito superior. A seguir, multiplique o valor no topo direito por e escreva a operação em branco (
) como previamente.- No exemplo, como a vírgula de está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte () no quadrante esquerdo. Ao se multiplicar por o valor no topo direito (), obtém-se— escrevano quadrante direito inferior.
- No exemplo, como a vírgula de está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte (
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Repita os Passos 5 e 6. Encontre o maior valor decimal capaz de preencher os espaços em branco à direita que traga um resultado menor ou igual ao número atualmente à esquerda. A seguir, basta avançar no problema.
- No exemplo, , que é menor ou igual ao número à esquerda (). Observando-se que, que é alto demais, você chega à conclusão de queé a resposta que está buscando. Escreva-o como a próxima casa decimal no quadrante direito superior e subtraia o resultado da multiplicação do número à esquerda:.
- No exemplo,
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9
Continue a calcular as casas decimais. Desça um par de zeros à esquerda e repita os Passos 4, 5 e 6. Para ainda maior precisão, continue a repetir o processo até encontrar os centésimos, milésimos e assim por diante em sua resposta. Basta continuar nesse ciclo até chegar ao resultado na casa decimal desejada.
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1
Defina o número cuja raiz quadrada será calculada como a área
de um quadrado. Como essa área tem por fórmula, onderepresenta o comprimento de um de seus lados, ao tentar encontrar a raiz quadrada de seu valor você estará tentando calcular o comprimento do quadrado em questão. -
2
Especifique as variáveis relativas a cada casa decimal de sua resposta. Defina a variável
como sendo a primeira casa decimal de (raiz quadrada que está sendo calculada),como sendo a segunda,como sendo a terceira e assim por diante. -
3
Atribua variáveis alfabéticas a cada porção do número inicial. Associe a variável
ao primeiro par de casas decimais em (valor inicial),ao segundo par de casas decimais e assim por diante. -
4
Entenda a conexão do presente método com a divisão longa. Essa forma de calcular a raiz quadrada é basicamente um problema de divisão longa que divide o número inicial por sua raiz quadrada, dando sua raiz quadrada como resposta. Assim como nos problemas de divisão longa, nos quais o interesse está direcionado a uma casa decimal por vez, aqui se deve concentrar em duas por vez (que correspondem à próxima casa decimal da raiz quadrada).
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5
Encontre o maior número cujo quadrado seja menor ou igual a . A primeira casa decimal na resposta representa o maior número inteiro cujo quadrado não excede (de modo que
). No exemplo,e, de modo que.- Em um exemplo, se você quisesse dividir por através do método de divisão longa, o primeiro passo seria parecido: você deveria procurar pelo primeiro dígito () e encontrar o maior número inteiro que, ao ser multiplicado por , resultaria em algo menor ou igual a . Basicamente, trata-se de encontrarde modo que. Nesse caso, seria igual a.
- Em um exemplo, se você quisesse dividir
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6
Visualize o quadrado cuja área você pretende calcular. A resposta, que é a raiz quadrada do número inicial, será representada por , que descreve o comprimento de um quadrado de área (número inicial). Os valores para , e representam as casas decimais presentes em . Outra forma de colocar essa definição é afirmar que, no caso de uma resposta com duas casas decimais
, no caso de uma resposta com três casas decimaise assim por diante.- No exemplo, . Lembre-se de querepresenta a resposta com na casa das unidades e na casa das dezenas. Tomando-seecomo exemplo, resultará no número. Serepresenta a área do quadrado,representa a área do maior quadrado interno,representa a área do menor quadrado interno erepresenta a área de cada um dos retângulos que sobraram. Ao executar esse processo longo e complicado, você terá em mãos a área do quadrado inteiro, bastando somar as áreas calculadas a partir dos quadrados e retângulos em seu interior.
- No exemplo,
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7
Subtraia
de . Desça um par () de casas decimais de . A expressãorepresenta quase a totalidade da área do quadrado, da qual se subtraiu o maior quadrado interno. O resto, por sua vez, pode ser representado peloobtido no Passo 4 (no exemplo supracitado). Aqui,(área de ambos os retângulos mais a área do quadrado menor). -
8
Procure por , também escrito como
. No exemplo, você já conhece () e (), sendo agora necessário calcular o valor de . Ele provavelmente não será um valor inteiro e, por isso, é preciso realmente calcular a maior possibilidade inteira que satisfaça à condição. Por fim, você restará com. -
9
Resolva a operação. Para prosseguir, multiplique por , mude a posição das dezenas (o equivalente a multiplicar o valor por
), coloque na posição das unidades e multiplique o resultado por . Em outras palavras, basta realizar a operação. Ela é a mesma que se realiza ao se escrever(sendo) no quadrante direito inferior presente no Passo 4. Já no Passo 5, por sua vez, você encontrará o maior valor inteiro de que caberá no espaço em branco satisfazendo a condição . -
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Subtraia a área da área total. Isso dá como resultado a área
até então desconsiderada (e que será usada para calcular as próximas casas de modo similar). -
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Para calcular a próxima casa decimal , simplesmente repita o processo. Desça o próximo par (
) de a fim de obterà esquerda e procure pelo maior valor de que satisfaça à condição(equivalente a escrever duas vezes o valorcom duas casas decimais acompanhado por . Procure pelo maior valor de casa decimal cabível nos espaços em branco que traga um resultado menor ou igual a , assim como antes.