O que é a raiz quadrada média

Fala aee! Beleza?? Vamos lá!

Nesse exercício, podemos seguir os procedimentos do enunciado para determinar a energia rms de uma distribuição de Fermi. Então, temos:

Onde a densidade dos estados é:

Substituindo:

Integrando:

é porque o processo de calcular a média do quadrado da energia tornam mais pesadas as energias maiores.

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Quando se procuram valores aproximados para a raiz quadrada de um n�mero positivo, em geral se pensa em dar esses valores na forma decimal. Ali�s, � assim que eles aparecem em uma calculadora, por exemplo. Isso � equivalente a exigir que o n�mero racional utilizado como aproxima��o tenha como denominador uma pot�ncia de 10. No entanto, os antigos gregos, que nem sequer tinham a nota��o decimal, sentiam-se satisfeitos com qualquer outro denominador. Quando Arquimedes (287-212 a.C.), em seu not�vel livro A medida do c�rculo, aproxima o comprimento da circunfer�ncia por meio dos per�metros de pol�gonos regulares inscritos e circunscritos, usa, sem dar nenhuma explica��o, valores aproximados para

, tais como 265/153 e 1.351/780. Observamos que

. Os estudiosos t�m especulado sobre o m�todo pelo qual os gregos teriam chegado a essas aproxima��es (ver [6]). � primeira vista, parece que elas prov�m das fra��es cont�nuas (ver [8] e [3]).

De fato, a fra��o cont�nua simples para

, ou seja:

(repetindo-se indefinidamente o padr�o 1, 2, 1, 2, ...), produz as seguintes aproxima��es para

...

isto �:

...

As seis primeiras decimais (n�o utilizadas naquela �poca) de cada fra��o s�o, respectivamente:

1,000000 2,000000 1,666667 1,750000 1,727273 1,733333 1,731707 1,732143 1,732026 1,732057 1,732049 1,732051 ...

Pode-se observar que as aproxima��es s�o alternadamente por falta e por excesso (ver [8]), e que as aproxima��es usadas por Arquimedes est�o nessa lista. Entretanto, � estranho que Arquimedes tivesse em mente essa lista, pois por que teria ele utilizado o 9o e o 12o termos da lista, e n�o dois consecutivos, como parece mais natural? Al�m disso, alguns historiadores objetam que a teoria das fra��es cont�nuas s� teria surgido cerca de 18 s�culos depois de Arquimedes, com os italianos Bombelli (1526-1573?) e, principalmente, Cataldi (1548-1626). Essa obje��o, por�m, n�o � s�ria, pois vest�gios de uso de fra��es cont�nuas aparecem em v�rios autores da antig�idade, e, al�m disso, o pr�prio algoritmo de Euclides (300 a.C.) para o MDC identifica-se essencialmente com a fra��o cont�nua para um n�mero racional (ver [9]).

cont�nuas. Um esquema desse tipo para

� mencionado por Thurnbull ([5]), que o chama de �escada de Eudoxo� (matem�tico ateniense que viveu de 408 a 355 a.C.).

� prov�vel que, j� na �poca de Arquimedes, circulassem listas de aproxima��es racionais para ra�zes quadradas, obtidas por diversos m�todos. Um desses m�todos, que nos parece particularmente atraente, e preserva seu interesse ainda hoje, � o uso de m�dias. Esse processo j� era conhecido pelo matem�tico grego Her�o de Alexandria (100 d.C.), e � atribu�do por alguns a Arquitas de Taranto (428-365 a.C.). Mas, na primeira metade do s�culo XX, descobriu-se que ele j� era utilizado pelos mesopot�mios (onde hoje � o Iraque), h� uns 3500 anos (ver [1]).

Recordemos que, dados dois n�meros positivos a e b, suas m�dias aritm�tica A, geom�trica G, e harm�nica H t�m as propriedades:

(ii)

A demonstra��o dessas propriedades � simples (ver [7]), e as id�ias b�sicas s�o as seguintes: Como

, segue imediatamente que

, e que a igualdade s� ocorre quando

. Aplicando-se esse mesmo resultado a

e a

do c�lculo direto. � conveniente observar, para uso na sala de aula, que essas propriedades t�m interpreta��es geom�tricas muito sugestivas, algumas delas encontradas em [5].

Utiliza��o de m�dias para aproximar ra�zes quadradas

Vamos usar esses fatos para calcular, por exemplo, aproxima��es racionais de

. Primeiro, como

, temos, pela propriedade (i):

Como, pela propriedade (ii), a m�dia geom�trica dessas duas novas fra��es continua sendo igual a

, temos:

Aplicando sucessivamente o mesmo procedimento:

(Voc� observa algum parentesco entre essa lista de aproxima��es e a anterior, obtida por fra��es cont�nuas?)

Em decimais, as aproxima��es agora obtidas s�o, aproximadamente:

O �ltimo valor j� � uma aproxima��o excepcional, e sua precis�o pode ser observada na curiosa desigualdade:

Generalizando, o processo consiste no seguinte: dado um n�mero

, do qual se quer calcular a raiz quadrada, fatora-se o referido n�mero na forma

, com

. Em seguida, formam-se:

Vamos verificar agora que o processo funciona sempre. Em primeiro lugar, pelas propriedades das m�dias recordadas no in�cio, tem-se, para todo n:

Al�m disso:

Isto �, os

s�o aproxima��es por falta, cada vez melhores, de

, enquanto os

s�o aproxima��es por excesso, cada vez melhores, de

Mais ainda, a seq��ncia crescente formada pelos

� limitada superiormente por

(e portanto converge a um n�mero c), enquanto a seq��ncia decrescente formada pelos

� limitada inferiormente por

(e portanto converge a um n�mero d), sendo

. Por�m,

, ter�amos

, o

, o que � imposs�vel, com c e d positivos. Logo,

Conclus�o: as seq��ncias de m�dias harm�nicas e aritm�ticas obtidas no processo formam aproxima��es cada vez melhores de

, por falta e por excesso, respectivamente, e aproximam-se de

tanto quanto quisermos tomar termos da seq��ncia em n�mero suficiente.

Podemos analisar agora o erro cometido nas aproxima��es.

Como

, tanto o erro cometido ao tomar a n-�sima aproxima��o por excesso, isto �,

, quanto o erro cometido ao tomar a n-�sima aproxima��o por falta, isto �,

, s�o menores que

Sendo u uma aproxima��o por falta de

, tem-se que

, de modo que

Essa desigualdade permite verificar que o erro decresce muito rapidamente, a partir do momento em que seja menor que 1, o que obrigatoriamente termina por ocorrer, j� que

tende a zero.

Por exemplo, suponhamos que se queira calcular

. Pode-se tomar

, de modo que

. Isso significa que, se, em alguma etapa do processo,

for, digamos,

, ent�o, na etapa seguinte, n�o exceder� a

, na seguinte a

, e assim por diante, o que representa uma converg�ncia muito r�pida.

N�o � interessante escolher agora a fatora��o

, pois as primeiras aproxima��es ser�o muito pobres:

, com

, o que � rid�culo.

Mas se tomarmos a fatora��o

, a situa��o j� � muito melhor:

n
0	6	19	13	4,225
1			3,38	0,285610
2			0,264209	0,001745
3			0,001634	0,000000

O �ltimo valor, na realidade, n�o � 0, e sim 0,00000007, aproximadamente, mas em todo caso mostra que as aproxima��es seguintes (por falta e por excesso) v�o coincidir at� as seis casas decimais que estamos usando. O leitor poder� comprovar que s�o iguais a 10,677078, o que corresponde a

com seis decimais exatas.

Como

, v�-se que a converg�ncia ser� tanto mais r�pida quanto mais pr�ximos estiverem os dois fatores escolhidos inicialmente. Por fim, deve-se notar que, se o objetivo � obter somente aproxima��es em decimais, nada impede que sejam utilizados valores iniciais n�o inteiros. (Ali�s, a utiliza��o de fatores n�o inteiros ser� essencial quando M for primo, e mais ainda quando M n�o for inteiro, j� que o processo vale para qualquer n�mero real.) Por exemplo, para

pode-se utilizar

, o que equivale a

A converg�ncia ser� bastante r�pida:

n
0	10	11,4	1,4
1	10,654206	10,700000	0,045794
2	10,677054	10,677103	0,000049
3	10,677078	10,677078	0,000000

Se, na rela��o de recorr�ncia (1), se levar em conta que HnAn = M , obt�m-se:

(3)

Ou seja, cada aproxima��o por excesso obtida durante o processo � a m�dia aritm�tica entre a aproxima��o por excesso anterior An e M/An. De modo inteiramente an�logo, o leitor pode comprovar que cada aproxima��o por falta Hn+1 � a m�dia harm�nica entre a aproxima��o por falta anterior Hn e M/Hn. Isso significa que o processo descrito pela f�rmula (3) coincide com o conhecido �m�todo de Newton (1642-1727)� (ver [2], [4] e RPM 21, p�g.13).

Mais uma vez se constata que, ao estudar a hist�ria da Matem�tica, o professor pode extrair da� n�o somente epis�dios curiosos, mas tamb�m quest�es interessantes, que permitam a seus alunos investigar m�todos diferentes dos usuais, e igualmente instrutivos.