O lado AC do triângulo ABC onde AB 5 cm BC 8 cm e med ABC 60 graus é igual a

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

A trigonometria é um importante tema na Matemática que possibilita conhecer lados e ângulos em um triângulo retângulo, através do seno, cosseno e tangente, além de outras funções trigonométricas.

Para melhorar nos estudos e ampliar seus conhecimentos, acompanhe a lista de 8 exercícios, mais 4 questões de vestibulares, todas resolvidas passo a passo.

Observando pela manhã a sombra de um prédio no chão, uma pessoa verificou que essa media 63 metros quando os raios de Sol faziam um ângulo de 30° com a superfície. Baseado nessas informações, calcule a altura do prédio.

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Resposta correta: Aproximadamente 36,37 m.

O prédio, a sombra e o raio de Sol, determinam um triângulo retângulo. Utilizando o ângulo de 30° e a tangente, podemos determinar a altura do prédio.

Sendo h a altura do prédio, temos:

Exercício 2

Em uma circunferência de diâmetro igual a 3, um segmento AC, chamado de corda, forma um ângulo de 90° com outra corda CB, de mesmo comprimento. Qual é a medida das cordas?

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Resposta correta: O comprimento da corda é 2,12 cm.

Como os segmentos AC e CB formam um ângulo de 90° e possuem o mesmo comprimento, o triângulo formado é isósceles e os ângulos da base são iguais.

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º e, já temos um ângulo de 90°, sobram outros 90° para serem divididos igualmente entre os dois ângulos da base. Assim, o valor desses é igual 45º cada.

Sendo o diâmetro igual a 3 cm, o raio vale 1,5 cm e podemos utilizar o cosseno de 45° para determinar o comprimento da corda.

Exercício 3

Uma ciclista participando de um campeonato se aproxima da linha de chegada que se encontra no alto de uma ladeira. O comprimento total dessa última parte da prova é de 60 m e o ângulo formado entre a rampa e a horizontal é de 30°. Sabendo disso, calcule a altura vertical que a ciclista precisa subir.

Exercício 4

A seguinte figura é formada por três triângulos onde a altura h determina dois ângulos retos. Os valores dos elementos são:

α = 30° β = 60°

h = 21

Determine o valor de a+b.

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Resposta correta:

Podemos determinar as medidas dos segmentos a e b, utilizando as tangentes dos ângulos fornecidos.

Cálculo de a:

Cálculo de b:

Assim,

Um avião decolou da cidade A e voou 50 km em linha reta até pousar na cidade B. Após, voou mais 40 km, dessa vez indo na direção da cidade D. Essas duas rotas fazem um ângulo de 90° entre si. No entanto, devido às condições climáticas desfavoráveis, o piloto recebeu um comunicado da torre de comando informando que não poderia pousar na cidade D e, que deveria voltar para a cidade A.

Para que fizesse o retorno a partir do ponto C, o piloto deveria fazer uma curva de quantos graus à direita?

Considere:

sen 51° = 0,77 cos 51° = 0,63

tan 51° = 1,25

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Resposta correta: O piloto deve realizar uma curva de 129° à direita.

Analisando a figura vemos que o trajeto forma um triângulo retângulo.

Vamos chamar o ângulo que estamos procurando de W. Os ângulos W e Z são suplementares, ou seja, formam um ângulo raso, de 180°.

Assim, W + Z = 180°.

W = 180 - Z (equação 1)

Nossa tarefa agora é determinar o ângulo Z e, para isso, vamos utilizar a sua tangente.

Devemos nos perguntar: Qual é o ângulo cuja tangente é 1,25?

O problema nos fornece esse dado, tan 51° = 1,25.

Esse valor também pode ser encontrado em uma tabela trigonométrica ou com uma calculadora científica, utilizando a função:

Substituindo o valor de Z na equação 1, temos:

W = 180° - 51° = 129°

Exercício 6

Um raio de luz monocromática ao passar de um meio para outro, sofre um desvio em sua direção. Essa mudança na sua propagação está relacionada aos índices de refração dos meios, conforme a seguinte relação:

Lei de Snell - Descartes

Sendo i e r os ângulos de incidência e refração e, n1 e n2, os índices de refração dos meios 1 e 2.

Ao incidir na superfície de separação entre o ar e o vidro, um raio de luz altera sua direção, como mostra a figura. Qual o índice de refração do vidro?

Dado: Índice de refração do ar igual a 1.

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Resposta correta: O índice de refração do vidro é igual a .

Substituindo os valores temos:

Exercício 7

Para arrastar uma tora de madeira até sua oficina, um serralheiro amarrou uma corda a tora e a puxou por três metros através de uma superfície horizontal. Uma força de 40 N através da corda fez um ângulo de 45° com o sentido do deslocamento. Calcule o trabalho da força aplicada.

Exercício 8

Entre duas serras, os moradores de dois vilarejos tinham que percorrer um duro caminho de descida e subida. Para resolver a situação, foi decidido que uma ponte estaiada seria construída entre os vilarejos A e B.

Seria preciso calcular a distância entre os dois vilarejos pela linha reta em que a ponte seria esticada. Como os moradores já conheciam a altura das cidades e os ângulos de subida, essa distância poderia ser calculada.

Com base no esquema abaixo e sabendo que a altura das cidades era de 100 m, calcule o comprimento da ponte.

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Resposta correta: A ponte deve possuir um comprimento de, aproximadamente, 157,73 m.

O comprimento da ponte é a soma dos catetos adjacentes aos ângulos fornecidos. Chamando a altura de h, temos:

Cálculo com o ângulo de 45°

Cálculo com o ângulo de 60°

Para determinar o comprimento da ponte, somamos os valores obtidos.

Questão 1

Cefet - SP

No triângulo ABC abaixo, CF = 20 cm e BC = 60 cm. Assinale as medidas dos segmentos AF e BE respectivamente.

a) 5, 15 b) 10, 20 c) 15, 25 d) 20, 10

e) 10, 5

EPCAR-MG

Um avião decola de um ponto B sob inclinação constante de 15° com a horizontal. A 2 km de B se encontra a projeção vertical C do ponto mais alto D de uma serra de 600 m de altura, conforme a figura.

Dados: cos 15° = 0,97; sen 15° = 0,26; tg 15° = 0,27

É correto afirmar que:

a) Não haverá colisão do avião com a serra antes de alcançar 540 m de altura. b) Haverá colisão do avião com a serra em 540 m de altura. c) Haverá colisão do avião com a serra em D.

d) Se o avião decolar 220 m antes de B, mantendo a mesma inclinação, não haverá colisão do avião com a serra.

Questão 3

ENEM 2018

Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30° com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede 6/π cm, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.

O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é:

a) 36√3 b) 24√3 c) 4√3 d) 36

e) 72

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Resposta: b) 24√3

Observando a figura notamos que foram dadas 6 voltas ao redor do cilindro. Como é um cilindro reto, em qualquer parte da sua altura teremos uma circunferência como a base.

Para calcular a medida da base do triângulo.

O comprimento de uma circunferência pode ser obtido pela fórmula:

Sendo r o raio e, igual a ,temos:

Como são 6 voltas:

Podemos usar a tan de 30° para calcular a altura.

ENEM 2017

Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago formando um ângulo X com a sua superfície, conforme indica a figura.

Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada aproximadamente por I(x) = k . sen(x), sendo k uma constante, e supondo-se que X está entre 0° e 90º.

Quando x = 30º, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor máximo?

A) 33% B) 50% C) 57% D) 70%

E) 86%

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