Exercicios de equação do 2 grau com uma incognita

A equação do 2º grau é caracterizada por um polinômio de grau 2, ou seja, um polinômio do tipo ax2+bx+c, em que a, b e c são números reais. Ao resolvermos uma equação de grau 2, estamos interessados em encontrar valores para a incógnita x que torne o valor da expressão igual a 0, que são chamadas de raízes, isto é, ax2 + bx +c = 0.

Leia também: Diferenças entre função e equação

Tipos de equações do 2º grau

A equação de 2º grau pode ser representada por ax²+bx+c=0, em que os coeficientes a, b e c são números reais, com a ≠ 0.

→ Exemplos

a) 2x2 +4x – 6 = 0 → a = 2; b =4 e c = – 6

b) x2 – 5x + 2 = 0 → a =1; b= – 5 e c = 2

c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 e c = –1

A equação do 2º grau é classificada como completa quando todos os coeficientes são diferentes de 0, ou seja, a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0.

A equação do 2º grau é classificada como incompleta quando o valor dos coeficientes b ou c são iguais a 0, isto é, b = 0 ou c = 0.

→ Exemplos

a) 2x2 – 4 = 0 → a = 2; b = 0 e c= – 4

b) -x2 + 3x = 0 → a = – 1; b = 3 e c = 0

c) x2 = 0 → a = 1; b =0 e c =0

Atenção: o valor do coeficiente a nunca é igual a 0, caso isso ocorra, a equação deixa de ser do 2º grau.

A solução de uma equação do 2º grau ocorre, quando as raízes são encontradas, ou seja, os valores atribuídos a x . Esses valores de x devem tornar a igualdade verdadeira, isto é, ao substituir o valor de x na expressão, o resultado deve ser igual a 0.

→ Exemplo

Considerando a equação x2 – 1 = 0 temos que x’ = 1 e x’’ = – 1 são soluções da equação, pois substituindo esses valores na expressão, temos uma igualdade verdadeira. Veja:

x2 – 1 = 0

(1)2 – 1 = 0 e (–1)2 – 1 = 0

Para encontrar a solução de uma equação, é preciso analisar se a equação é completa e incompleta e selecionar qual método será utilizado.

O método para determinar a solução de equações incompletas que possuem b=0 consiste em isolar a incógnita x, assim:

→ Exemplo

Encontre as raízes da equação 3x2 – 27 = 0.

Se quiser saber mais sobre esse método, acesse: equação incompleta do 2º grau com coeficiente b nulo.

O método para determinar as possíveis soluções de uma equação com c =0, consiste em utilizar a fatoração por evidência. Veja:

ax2 + bx = 0

x·(ax + b) = 0

Ao observar a última igualdade, é notável que há uma multiplicação e que para o resultado ser 0, é necessário que, pelo menos, um dos fatores seja igual a 0.

x·(ax + b) = 0

x = 0 ou ax + b = 0

Assim, a solução da equação é dada por:

→ Exemplo

Determine a solução da equação 5x2 – 45x = 0

Se quiser saber mais sobre esse método, acesse: equação incompleta do 2º grau com coeficiente c nulo.

O método conhecido como método de Bhaskara ou fórmula de Bhaskara aponta que as raízes de uma equação do 2º grau do tipo ax2 + bx + c = 0 é dada pela seguinte relação:

→ Exemplo

Determine a solução da equação x2 – x – 12 = 0.

Note que os coeficientes da equação são: a = 1; b= – 1 e c = – 12. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

O delta (Δ) recebe o nome de discriminante e note que ele está dentro de uma raiz quadrada e, conforme sabemos, levando em conta os números reais, não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo.

Conhecendo o valor do discriminante, podemos realizar algumas afirmações a respeito da solução da equação do 2º grau:

→ discriminante positivo (Δ > 0): duas soluções para a equação;

→ discriminante igual a zero (Δ = 0): as soluções da equação são repetidas;

→ discriminante negativo (Δ < 0): não admite solução real.

Sistemas de equações do segundo grau

Quando consideramos simultaneamente duas ou mais equações, temos um sistema de equações. A solução de um sistema de 2 variáveis é o conjunto de pares ordenados que satisfaz simultaneamente todas as equações envolvidas.

→ Exemplo

Considere o sistema:

Com os valores: x’ = 2, x’’ = – 2 e y’ = 2, y’’ = – 2 podemos montar pares ordenados que satisfazem as equações do sistema simultaneamente. Veja: (2, 2), (2, – 2), (– 2, 2), (– 2, – 2).

Lembre-se de que um par ordenado é escrito da forma (x, y).

Os métodos para encontrar a solução de um sistema de equações são semelhantes ao de sistemas lineares.

→ Exemplo

Considere o sistema:

Da equação x – y = 0, vamos isolar a incógnita x, assim:

x – y = 0

x = y

Agora devemos substituir o valor isolado na outra equação, assim:

x2 – x –12 = 0

y2 – y –12 = 0

Utilizando método de Bhaskara, temos que:

Como x = y, teremos que x’ = y’ e x’’ = y’’. Ou seja:

x’ = 4

x’’ = -3

Assim, os pares ordenados são soluções do sistema (4, 4) e (– 3,– 3).

Leia mais: Sistema de equações do 1º e 2º grau

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (ESPM -SP) As soluções da equação abaixo são dois números

a) primos.

b) positivos.

c) negativos.

d) pares.

e) ímpares.

Solução

Sabemos que os denominadores de uma fração não podem ser iguais a zero, logo x ≠1 e x≠3. E como temos uma igualdade de frações, podemos realizar a multiplicação cruzada, obtendo:

(x+3) · (x+3) = (x – 1) · (3x +1)

x2 + 6x +9 = 3x2 – 2x – 1

x2 – 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0

(– 1) – 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)

2x2 – 8x – 10 = 0

Dividindo por 2 ambos os lados da equação, temos:

x2 – 4x – 5 = 0

Utilizando a fórmula de Bhaskara segue que:

Observe que as raízes da equação são números ímpares.

Alternativa e.

Questão 2 – (UFPI) Um criador de aves verificou que, após colocar (n +2) aves em cada um dos n viveiros disponíveis, sobraria apenas uma ave. O número total de aves, para qualquer valor de n natural, é sempre

a) um número par.

b) um número ímpar.

c) um quadrado perfeito.

d) um número divisível por 3.

e) um número primo.

Solução

A quantidade de aves pode ser encontrada multiplicando o número de viveiros pela quantidade de aves colocada em cada um deles, pelo enunciado do exercício depois de fazer esse processo ainda sobra uma ave, podemos escrever tudo isso da seguinte maneira:

n·(n+2) +1

Realizando a distributividade vamos obter:

n2 + 2n +1

E fatorando esse polinômio segue que:

(n +1)2

Assim, o número toral de aves é sempre um quadrado perfeito para qualquer número natural n.

Alternativa C

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Chamaremos por x o número que estamos procurando, seu inverso multiplicativo é 1/x. Se a soma de x com o dobro de seu inverso multiplicativo é 33/4, teremos:

x + 2. 1 = 33
         x    4
4x² + 8 = 33x
4x
4x² – 33x + 8 = 0

Para resolver essa equação do 2° grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:

Δ = (– 33)² – 4.4.8
Δ= 1089 – 128
Δ= 961
x = – (– 33) ± √961
      2.4
x = 33 ± 31
     8
x' = 64 = 8
 8
x'' = 2 = 1
       8    4

Encontramos duas raízes para a equação, mas observe que o exercício refere-se apenas à raiz que é um número racional não inteiro, portanto, o primeiro resultado não é interessante, pois 8 é um número inteiro. Sendo assim, utilizaremos o valor de x'', uma vez que ¼ = 0,25.

A alternativa correta é a letra e, pois ¼ é maior que zero e é menor que 3/10, que equivale a 0,3.

Uma equação do 1º grau com uma incógnita é aquela que pode ser escrita na forma ax + b = 0, onde a

Teste seus conhecimentos com 10 questões a seguir sobre o tema. Aproveite os comentários após o gabarito para tirar suas dúvidas sobre a resolução.

Resolva as seguintes equações do primeiro grau com uma incógnita.

a) 4x + 2 = 38 b) 9x = 6x + 12 c) 5x – 1 = 3x + 11

d) 2x + 8 = x + 13

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Respostas corretas:

a) x = 9 b) x = 4 c) x = 6

d) x = 5

Para resolver uma equação do primeiro grau devemos isolar a incógnita de um lado da igualdade e os valores constantes do outro. Lembre-se que ao mudar um termo da equação para o outro lado do sinal de igual devemos inverter a operação. Por exemplo, o que estava somando passa a subtrair e vice-versa.

a) Resposta correta: x = 9.

b) Resposta correta: x = 4

c) Resposta correta: x = 6

d) Resposta correta: x = 5

Questão 2

Dentro do conjunto universo Q, resolva a equação do 1º grau: 4.(x – 2) – 5.(2 – 3x) = 4.(2x – 6)

Questão 3

Dada a equação

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Resposta correta: 11/3.

Observe que a equação apresenta frações. Para resolvê-la precisamos, primeiramente, reduzir as frações ao mesmo denominador. Por isso, devemos calcular o mínimo múltiplo comum entre os eles.

Agora, dividimos o MMC 12 pelo denominador de cada fração e o resultado deve ser multiplicado pelo numerador. Esse valor passa a ser o numerador, enquanto que o denominador de todos os termos é 12.

Após cancelar os denominadores, podemos isolar a incógnita e calcular o valor de x.

Determine o conjunto solução S da equação do 1º grau

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Resposta correta: - 1/3.

1º passo: calcular o MMC dos denominadores.

2º passo: dividir o MMC pelo denominador de cada fração e multiplicar o resultado pelo numerador. Após isso, substituímos o numerador pelo resultado calculado anteriormente e o denominador pelo MMC.

3º passo: cancelar o denominador, isolar a incógnita e calcular seu valor.

O sinal negativo antes dos parênteses, altera os sinais dos termos que estão dentro. -1 . 5x = -5x -1 . (-7) = 7

Continuando a equação:

Questão 5

Resolva as equações 5y + 2 = 8y – 4 e 4x – 2 = 3x + 4 e determine:

a) o valor numérico de y b) o valor numérico de x c) o produto de y por x

d) o quociente de y por x

Questão 6

Monte as equações que representam as sentenças a seguir e encontre o valor desconhecido.

a) 6 unidades somadas ao dobro de um número é igual a 82. Qual é esse número?

a) 43 b) 38 c) 24

d) 32

b) Um retângulo com 100 cm de perímetro apresenta a medida do lado maior com 10 cm a mais que o lado menor. Quanto mede o lado menor dessa figura geométrica?

a) 25 b) 30 c) 35

d) 20

(Uece) Uma peça de tecido, após a lavagem, perdeu 1/10 de seu comprimento e este ficou medindo 36 metros. Nestas condições, o comprimento, em m, da peça antes da lavagem era igual a:

a) 44 b) 42 c) 40

d) 38

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Alternativa correta: c) 40.

Podemos utilizar a incógnita x para representar o comprimento original da peça. Sendo assim, após ser lavada a peça perdeu 1/10 do seu comprimento x.

A primeira forma que você pode utilizar para resolver essa questão é:

x – 0,1x = 36 0,9x = 36 x = 36/0,9

x = 40

Já a segunda forma necessita do mmc dos denominadores, que é 10.

Agora, calculamos os novos numeradores dividindo o mmc pelo denominador inicial e multiplicamos o resultado pelo numerador inicial. Após isso, cancelamos o denominador 10 de todos os termos e resolvemos a equação.

Portanto, o comprimento original da peça era de 40 m.

Questão 8

(Unicamp-adaptada) Após ter corrido 2/7 de um percurso e, em seguida, caminhando 5/11 do mesmo percurso um atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso. Qual o comprimento total do percurso?

a) 2850 m b) 2120 m c) 2310 m

d) 2540 m

(Mackenzie) Num exercício de tiro ao alvo, o número de acertos de uma pessoa A foi 40% maior do que B. Se A e B acertaram juntas 720 tiros, então o número de acertos de B foi:

a) 380. b) 320. c) 300. d) 220.

e) 280.

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Alternativa correta: c) 300.

Se o número de acertos de B foi x, então a quantidade de acertos de A foi x + 40%. Essa porcentagem pode ser escrita como a fração 40/100 ou como o número decimal 0,40.

Portanto, a equação que determina a quantidade de acertos pode ser:

x + x + 40/100x = 720 ou x + x + 0,40x = 720

Resolução 1:

Resolução 2:

Portanto, o número de acertos de B foi 300.

Questão 10

(Puc-rio) Ache sete números inteiros consecutivos tais que a soma dos primeiros quatro seja igual à soma dos últimos três.

Veja também: