Equações do 2 grau incompletas exercícios

Uma equação do 2º grau é conhecida como incompleta quando um dos seus coeficientes, b ou c, é igual a zero. Existem três casos possíveis de equações incompletas, que são:

• equações que possuem b = 0, ou seja, ax² + c = 0;

• equações que possuem c = 0, ou seja, ax² + bx = 0;

• equações em que b = 0 e c = 0, então a equação será ax² = 0.

Em cada caso, é possível utilizar métodos diferentes para encontrar o conjunto de soluções da equação. Por mais que seja possível resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara, os métodos específicos de cada equação incompleta acabam sendo menos trabalhosos. A diferença entre a equação completa e a equação incompleta é que naquela todos os coeficientes são diferentes de 0, já nesta pelo menos um dos seus coeficientes é zero.

Leia também: Como resolver equação do primeiro grau com uma incógnita?

Tópicos deste artigo

Resumo sobre equação do 2º grau incompleta

• Existem três tipos de equações do 2º grau incompletas, que são:

  • ax² + bx = 0
  • ax² + c = 0
  • ax² = 0

• Existem métodos específicos para encontrar o conjunto de soluções em cada um dos casos de equação incompleta.

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Conhecemos como equação do 2º grau toda equação do tipo ax² + bx + c = 0. Quando todos esses coeficientes são diferentes de zero, a equação é conhecida como completa, porém, em alguns casos, alguns desses coeficientes são iguais a zero, o que faz com que a equação seja considerada incompleta. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

• x² + 2x + 1 = 0 → equação do 2º grau completa;

• x² – 5x = 0 → equação do 2º grau incompleta;

• x² – 25 = 0 → equação do 2º grau incompleta;

• 3x² = 0 → equação do 2º grau incompleta.

Mapa Mental - Equações do 2º grau incompletas

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Como resolver equações do 2º grau incompletas?

Para encontrar as soluções de uma equação do 2º grau, é bastante comum a utilização da fórmula de Bhaskara, porém existem métodos específicos para cada um dos casos de equações incompletas, a seguir veremos cada um deles.

Quando o c = 0, a equação do 2º grau é incompleta e é uma equação do tipo ax² + bx = 0. Para encontrar seu conjunto de soluções, colocamos a variável x em evidência, reescrevendo essa equação como uma equação produto. Vejamos um exemplo a seguir.

Exemplo:

Encontre as soluções da equação 2x² + 5x = 0.

1º passo: colocar x em evidência.

Reescrevendo a equação colocando x em evidência, temos que:

2x² + 5x = 0

x · (2x + 5) = 0

2º passo: separar a equação produto em dois casos.

Para que a multiplicação entre dois números seja igual a zero, um deles tem que ser igual a zero, no caso, temos que:

x · (2x + 5) = 0

x = 0 ou 2x + 5 = 0

3º passo: encontrar as soluções.

Já encontramos a primeira solução, x = 0, agora falta encontrar o valor de x que faz com que 2x + 5 seja igual a zero, então, temos que:

Então encontramos as duas soluções da equação, x = 0 ou x = -5/2.

Para saber mais sobre esse tipo de equação, leia: Equações incompletas do segundo grau com coeficiente c nulo.

Quando b = 0, encontramos uma equação incompleta do tipo ax² + c = 0. Nesse caso, vamos isolar a variável x até encontrar as possíveis soluções da equação. Vejamos um exemplo:

Exemplo:

Encontre as soluções da equação 3x² – 12 = 0.

Para encontrar as soluções, vamos isolar a variável.

3x² – 12 = 0

3x² = 12

x² = 12 : 3

x² = 4

Ao extrair a raiz no segundo membro, é importante lembrar que existem sempre dois números e que, ao elevarmos ao quadrado, encontramos como solução o número 4 e, por isso, colocamos o símbolo de ±.

x = ±√4

x = ±2

Então as soluções possíveis são x = 2 e x = -2.

Saiba mais sobre esse tipo de equação, lendo: Equação incompleta do segundo grau com coeficiente b nulo.

Quando tanto o coeficiente b quanto o coeficiente c são iguais a zero, a equação será do tipo ax² = 0 e terá sempre como única solução x = 0. Vejamos um exemplo a seguir.

Exemplo:

3x² = 0

x² = 0 : 3

x² = 0

x = ±√0

x = ±0

x = 0

Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é o método mais comum para encontrar soluções de equações do 2º grau. Por mais que ela seja aplicada comumente em equações completas, ela serve também para equações incompletas.

Exemplo:

Resolva, pela fórmula de Bhaskara, a equação 2x² – 4x = 0.

Temos que:

a = 2

b = -4

c = 0

Calculando o delta:

Δ = b² – 4ac

Δ = (-4)² – 4 · 2 · 0

Δ = 16 – 0

Δ = 16

Exercícios resolvidos sobre equação do 2º grau incompleta

Questão 1 - Analise a equação do 2º e julgue as afirmativas:

3x² – 3 – 6 = 0

I → Essa equação é incompleta.

II → As soluções dessa equação são 0 e -3.

III → A soma das raízes da equação é igual a 0.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I está errada.

B) Somente a afirmativa II está errada.

C) Somente a afirmativa III está errada.

D) Todas as afirmativas estão corretas.

Resolução

Alternativa B

I → Essa equação é incompleta. (verdadeira)

Analisando a equação, é possível simplificar:

3x² – 3 – 6 = 0

3x² – 9 = 0

Note que b = 0, então, ela é incompleta.

II → As soluções dessa equação são 0 e -3. (falsa)

Encontrando as soluções, temos que:

3x² – 9 = 0

3x² = 9

x² = 9 : 3

x² = 3

x = ±√3

As soluções são x = √3 e x = -√3.

III → A soma das raízes da equação é igual a 0.

Questão 2 - Das alternativas a seguir, marque aquela que corresponde a uma equação do 2º grau incompleta:

A) 3x² + 4 > 2

B) 2x – 3 + 4x² = 0

C) 3x² + 4x = -1

D) 3x² + 2x + 3 – 2x = 0

E) 2x + 1 = 0

Resolução

Alternativa D

Analisando as equações propostas pelas alternativas, na alternativa D é possível simplificar a equação:

3x² + 2x – 2x + 3 = 0

3x² + 0x + 3 = 0

3x² + 3 = 0

Note então que ela representa uma equação incompleta.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

*Mapa Mental por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática

Resolva os exercícios a seguir para fixar o aprendizado sobre equações do 2º grau. Veja as respostas posteriormente para conferir o resultado.

1) Resolva em R a equação 3x² – x – 2 = 0

Ver resposta

Coeficientes:

a = 3

b = -1

c = -2

Primeiro passo, encontrar o delta: (Δ = b² – 4 . a . c)

Δ = b² – 4 . a . c ⇒ (-1)² – 4 . 3 . (-2) ⇒ 1 + 24 = 25

Segundo passo, aplicar a fórmula de Bhaskara:

Para x1:

Para x2:

Portanto, o conjunto solução da equação é: S = {1, -2/3}

2) Encontre as raízes reais que formam o conjunto solução da equação do segundo grau: 2x² – 7x = 0

Ver resposta

É fácil perceber que uma das raízes que satisfaz a equação acima é 0 (zero). Portanto, temos uma equação do segundo grau incompleta com c = 0.

Dessa forma, encontraremos a outra raiz utilizando a fórmula: -b/a

Coeficientes:

a = 2

b = -7

c = 0

Portanto, como -b/a = -(-7)/2 = 7/2, então o conjunto solução da equação é: S = {0; 7⁄2}

3) Ache as raízes reais, se houverem, para a equação incompleta: 4x² + 2 = 0

Ver resposta

Temos uma equação do segundo grau incompleta com b = 0.

Portanto, a solução da equação pode ser encontrada utilizando a seguinte fórmula:

Coeficientes:

a = 4

b = 0

c = 2

Substituindo, temos:

Como não existem raízes reais para números negativos, o conjunto solução é: S ={Ø}

4) A equação incompleta 4x² – 16 = 0 possui solução? Se sim, quais são as raízes reais que a resolvem?

Ver resposta

Sim. Temos uma equação do 2º grau incompleta com b = 0. Dessa forma, podemos respondê-la aplicando a fórmula do exercício anterior.

Sendo assim, temos:

Coeficientes:

a = 4

b = 0

c = -16

Substituindo, temos:

Portanto, o conjunto solução da equação é: S = {-2, +2}

5) Por que a equação 5x² + 8x + 10 = 0 não possui raízes reais?

Ver resposta

Temos uma equação completa, com coeficientes:

a = 5

b = 8

c = 10

Primeiro passo para achar as raízes que satisfazem uma equação completa do 2º grau é encontrar o valor do discriminante delta:

Δ = b² – 4 . a . c ⇒ 8² – 4 . 5 . 10 ⇒ 64 – 200 = – 136

Portanto, como Δ < 0, ou seja, delta é negativo, a equação não admite solução em R.

Estes exercícios auxiliarão no aprendizado das equações do 2º grau, pois são equações mais complexas para responderem, portanto, pratique e boa sorte!