O enunciado nos dá o ponto , pelo qual a reta que queremos descobrir passa e também nos diz que a reta tem a direção do vetor . Queremos saber quais as equações da reta que possui essas características. Equações? Como assim?
Calma!! Vamos devagar esquentando os motores!! haha..
Bom, uma reta pode ser representada por 4 equações diferentes: vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida. Tudo isso vimos na teoria, lembra?
Como o enunciado não especifica quais ele quer, então vamos assumir que ele quer as três primeiras, pois em geral, quando ele quiser a reduzida ele deve falar em função de qual coordenada a mesma deve ser escrita.
Já sabemos o que temos que encontrar e temos os dados que precisamos para achar as equações, afinal para determinar uma reta basta termos um ponto da reta e o seu vetor diretor!!
Vamos começar pela equação vetorial da reta, que possui esse jeitão:
Pela teoria, sabemos que são as coordenanadas do vetor diretor da reta que foi nos dado e é . Lembrando, que o vetor foi dado na base cartesiana, caso você não lembre:
Sabemos também que o ponto é um ponto que passa pela reta, que no nosso caso vale . Como é um ponto genérico pertencente à reta, então nele não mexemos. Assim, nossa equação vetorial da reta fica:
Pronto!! Primeira equação feita!!!
Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta. Essa equação, como vimos, é na verdade escrevermos a equação vetorial para cada uma das coordenadas, assim oh:
Então, temos tudo o precisamos, pois: e
Nossa equação paramétrica fica assim:
Para terminar, falta escrevermos a equação simétrica!! Ufa, está quase terminando!!
Para escrever as equações simétricas devemos escrever as equações paramétricas de forma a isolar o . Aí fica assim:
Mas, aqui temos que tomar um cuidado!! Se um dos valores ou for igual a zero, não poderemos escrever a equação simétrica nessa variável. Olha!!! Nosso vetor é . Ops!!! O , então só conseguiremos escrever na forma simétrica o e o , o devemos deixar na forma paramétrica mesmo. Então, ficará assim:
Antes de finalizarmos, só um detalhe no sinal!! Na expressão da equação paramétrica temos:
E no final, a nossa ficou , o menos ficou mais, porque o é , assim menos com menos ficou . O mesmo aconteceu com o .
Prontinho, então, agora temos as três equações que queríamos descobrir ;).
Equação Vetorial da reta:
Equação Paramétrica da Reta:
Equações Simétricas da Reta:
| | | |
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Nesta seção, vamos desenvolver equações para a representação de retas no espaço tridimensional.
Seja r uma reta dada, v→ um vetor paralelo a r e A um ponto de r (veja a Figura 2.2). Assim sendo, P=(x,y,z) é um ponto de r se, e somente se, o vetor AP→ tem a mesma direção de v→. i.e. existe λ∈ℝ tal que
Esta é chamada equação vetorial da reta r.
Observe que para obtermos uma equação vetorial de uma dada reta, podemos escolher qualquer ponto A∈r e qualquer vetor v→∥r, v→≠0→. O vetor v→ escolhido é chamado de vetor diretor.
Seja r a reta que passa pelos pontos A=(-1,-1,-2) e B=(2,1,3) (veja a Figura 2.3). O vetor
| v→=AB→=(2-(-1),1-(-1),3-(-2))=(3,2,5) | (2.2) |
é um vetor diretor de r. Desta forma, uma equação vetorial da reta r é
Seja r uma reta que passa pelo ponto A=(xA,yA,zA) e tenha vetor diretor v→=(v1,v2,v3). Da equação vetorial, temos que P=(x,y,z)∈r se, e somente se, existe λ∈ℝ tal que
Equivalentemente,
| (x-xA,y-yA,z-zA)⏟AP→=λ(v1,v2,v3)⏟v→. | (2.5) |
Então,
| x-xA | =λv1, | (2.6) | ||
| y-yA | =λv2, | (2.7) | ||
| z-zA | =λv3, | (2.8) |
donde
| x | =xA+λv1, | (2.9) | ||
| y | =yA+λv2, | (2.10) | ||
| z | =zA+λv3, | (2.11) |
as quais são chamadas de equações paramétricas da reta r.
A reta r discutida no Exemplo 2.1.1 tem equações paramétricas
| x | =-1+3λ, | (2.12) | ||
| y | =-1+2λ, | (2.13) | ||
| z | =-2+5λ. | (2.14) |
De fato, tomando λ=0, temos (x,y,z)=(-1,-1,-2)=A∈r. E, tomado λ=1, temos (x,y,z)=(-1+3,-1+2,-2+5)=(2,1,3)=B∈r. Ou seja, as equações paramétricas acima representam a reta que passa pelos pontos A e B.
Com o Sympy, podemos plotar o gráfico de r usando o seguinte código:
var(’lbda’,real=True) plot3d_parametric_line(-1+3*lbda,-1+2*lbda,-2+5*lbda,(lbda,-1,2))
Seja r uma reta que passa pelo ponto A=(xA,yA,zA) e tem v→=(v1,v2,v3) como vetor diretor. Então, r tem as equações paramétricas
| x | =xA+v1λ, | (2.15) | ||
| y | =yA+v2λ, | (2.16) | ||
| z | =zA+v3λ. | (2.17) |
Isolando λ em cada uma das equações, obtemos
| λ | =x-xAv1, | (2.18) | ||
| λ | =y-yAv2, | (2.19) | ||
| λ | =z-zAv3. | (2.20) |
Daí, temos
| x-xAv1=y-yAv2=z-zAv3, | (2.21) |
as quais são as equações da reta na forma simétrica.
No Exemplo 2.1.2, consideramos a reta r de equações paramétricas
| x | =-1+3λ, | (2.22) | ||
| y | =-1+2λ, | (2.23) | ||
| z | =-2+5λ. | (2.24) |
Para obtermos as equações de r na forma simétrica, basta isolarmos λ em cada equação. Com isso, obtemos
Seja r a reta que passa pelo ponto A=(-1,-1,-2) e tem v→=(3,2,5) como vetor diretor. Determine o valor de x de forma que P=(x,0,12) seja um ponto de r.
Da equação vetorial da reta r, temos que P=(x,0,12) é um ponto de r se, e somente se, existe λ∈ℝ tal que
Ou seja,
| (x-(-1),0-(-1),12-(-2))=λ(3,2,5). | (2.27) |
Ou, equivalentemente,
| (x+1,1,52)=λ(3,2,5). | (2.28) |
Usando a segunda coordenada destes vetores, temos
| 1=λ⋅2 | (2.29) | ||
| λ=12. | (2.30) |
Assim, da primeira coordenada dos vetores, temos
| x+1=λ⋅3 | (2.31) | ||
| x+1=12⋅3 | (2.32) | ||
| x=32-1 | (2.33) | ||
| x=12. | (2.34) |
Seja r a reta de equações paramétricas
| x | =1-λ, | (2.35) | ||
| y | =λ, | (2.36) | ||
| z | =-3. | (2.37) |
Determine uma equação vetorial de r.
Nas equações paramétricas de uma reta, temos que os coeficientes constantes estão associados a um ponto da reta. Os coeficientes do parâmetro λ estão associados a um vetor diretor. Assim sendo, das equações paramétricas da reta r, temos que
e
é um vetor diretor. Logo, temos que a reta r tem equação vetorial
com A=(1,0,3) e v→=(-1,1,0).
Sabendo que r é uma reta que passa pelos pontos A=(2,-3,1) e B=(-1,1,0), determine o valor de t tal que
| x | =2+tλ, | (2.41) | ||
| y | =-2+4λ, | (2.42) | ||
| z | =1-λ, | (2.43) |
sejam equações paramétricas de r.
Para que estas sejam equações paramétricas de r, é necessário que v→=(t,4,-1) seja um vetor diretor de r. Em particular, v→∥AB→. Logo, existe β∈ℝ tal que
| v→=βAB→ | (2.44) | ||
| (t,4,-1)=β(-1-2,1-(-3),0-1) | (2.45) | ||
| (t,4,-1)=β(-3,4,-1). | (2.46) |
Das segunda e terceira coordenadas, temos β=1. Daí, comparando pela primeira coordenada, temos
| t=-3β | (2.47) | ||
| t=-3. | (2.48) |
Seja r uma reta de equações na forma simétrica
Determine equações paramétricas para esta reta e faça um esboço de seu gráfico.
Podemos obter equações paramétricas desta reta a partir de suas equações na forma simétrica. Para tanto, basta tomar o parâmetro λ tal que
| λ | =x+12, | (2.50) | ||
| λ | =y-23, | (2.51) | ||
| λ | =1-z2. | (2.52) |
Daí, isolando x, y e z em cada uma destas equações, obtemos
| x | =-1+2λ, | (2.53) | ||
| y | =2+3λ, | (2.54) | ||
| z | =1-2λ. | (2.55) |
Para fazermos um esboço do gráfico desta reta, basta traçarmos a reta que passa por dois de seus pontos. Por exemplo, tomando λ=0, temos A=(-1,2,1)∈r. Agora, tomando λ=1, temos B=(1,5,-1)∈r. Desta forma, obtemos o esboço dado na Figura 2.4.
Seja a reta que passa pelos pontos A=(1,-2,0) e B=(-1,-1,1). Determine:
- a)
-
b)
suas equações paramétricas.
-
c)
suas equações na forma simétrica.
a) AP→=λv→, v→=(-2,1,1); b) x=1-2λ, y=-2+λ, z=λ; c) x-1-2=y+2=z
Seja a reta que passa pelo ponto A=(0,1,-1) e tem vetor diretor v→=(2,-1,1). Determine x tal que B=(1,x,-12).
Considere a reta de equações na forma simétrica
Encontre um ponto e um vetor diretor desta reta.
Seja a reta r de equações paramétricas
| x | =λ | (2.57) | ||
| y | =2-λ | (2.58) | ||
| z | =-1+λ | (2.59) |
Determine as equações na forma simétrica da reta que passa pelo ponto A=(1,-1,0) e é paralela a reta r.
Seja a reta r de equações paramétricas
| x | =λ | (2.60) | ||
| y | =2-λ | (2.61) | ||
| z | =-1+λ | (2.62) |
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A=(1,-1,0) e é perpendicular a reta r.
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