Uma equação polinomial é caracterizada por ter um polinômio igual a zero. Ela pode ser caracterizada pelo grau do polinômio, e, quanto maior esse grau, maior será o grau de dificuldade para encontrar-se sua solução ou raiz. É importante também, nesse contexto, compreender o que é o teorema fundamental da álgebra, que afirma que toda equação polinomial possui pelo menos uma solução complexa, em outras palavras: uma equação de grau um terá, pelo menos, uma solução, uma equação de grau dois, terá, pelo menos, duas soluções, e assim sucessivamente. Leia também: Quais são as classes de polinômios? O que é uma equação polinomialUma equação polinomial é caracterizada por ter um polinômio igualado a zero, assim, toda expressão do tipo P(x) = 0 é uma equação polinomial, em que P(x) é um polinômio. Veja, a seguir, o caso geral de uma equação polinomial e alguns exemplos. Considere an, an –1, a n –2, …, a1, a0 e x números reais, e n um número inteiro positivo, a expressão seguinte é uma equação polinomial de grau n. As equações seguintes são polinomiais. a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0 b) 5x2 – 3 = 0 c) 6x – 1 = 0 d) 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0 Assim como os polinômios, as equações polinomiais possuem seu grau. Para determinar o grau de uma equação polinomial, basta encontrar a maior potência cujo coeficiente seja diferente de zero. Portanto, as equações dos itens anteriores são, respetivamente: a) A equação é do quarto grau: 3x4 + 4x2 – 1 = 0. b) A equação é do segundo grau: 5x2 – 3 = 0. c) A equação é do primeiro grau: 6x – 1 = 0. d) A equação é do terceiro grau: 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0. O método de resolução para uma equação polinomial depende do seu grau. Quanto maior o grau de uma equação, maior a dificuldade em resolvê-la. Neste artigo, mostraremos o método de resolução para equações polinomiais do primeiro grau, segundo grau e biquadradas. Uma equação polinomial do primeiro grau é descrita por um polinômio de grau 1. Assim podemos escrever uma equação do primeiro grau, de forma geral, da seguinte maneira. Considere dois números reais a e b com a ≠ 0, a expressão a seguir é uma equação polinomial do primeiro grau: ax + b = 0 Para resolver essa equação, devemos utilizar o princípio da equivalência, ou seja, tudo que é operado em um lado da igualdade dever também ser operado do outro lado. Para determinar a solução de uma equação do primeiro grau, devemos isolar a incógnita. Para isso, o primeiro passo é eliminar o b do lado esquerdo da igualdade, e, em seguida, subtrairemos b dos dois lados da igualdade. ax + b – b = 0 – b ax = – b Veja que ainda o valor da incógnita x não está isolado, o coeficiente a precisa ser eliminado do lado esquerdo da igualdade, e, para isso, vamos dividir ambos os lados por a. Resolva a equação 5x + 25 = 0. Para resolver o problema, devemos utilizar o princípio da equivalência. Tendo em vista facilitar o processo, omitiremos a escrita da operação do lado esquerdo da igualdade, sendo equivalente então dizer que vamos “passar” o número para o outro lado, trocando o sinal (operação inversa). Saiba mais sobre a resolução desse tipo de equação acessando o nosso texto: Equação do primeiro grau com uma incógnita. Uma equação polinomial do segundo grau tem como característica um polinômio de grau dois. Assim, considere a, b e c números reais com a ≠ 0. Uma equação do segundo grau é dada por: ax2 + bx + c = 0 A sua solução pode ser determinada utilizando-se o método de Bhaskara ou por fatoração. Se quiser saber mais sobre as equações desse tipo, leia: Equação do segundo grau. → Método de BhaskaraUtilizando o método de Bhaskara, temos que suas raízes são dadas pela seguinte fórmula: Determine a solução da equação x2 – 3x + 2 = 0. Observe que os coeficientes da equação são, respetivamente, a = 1, b = – 3 e c = 2. Substituindo esses valores na fórmula, temos que: → FatoraçãoVeja que é possível fatorar a expressão x2 – 3x + 2 = 0 utilizando a ideia de fatoração de polinômios. x2 – 3x + 2 = 0 (x – 2) · (x – 1) = 0 Observe agora que temos um produto igualado a zero, e um produto é igual a zero somente se um dos fatores é igual a zero, portanto, temos que: x – 2 = 0 x = 2 ou x – 1 = 0 x = 1 Veja que encontramos a solução da equação utilizando dois métodos diferentes. A equação biquadrada é um caso particular de uma equação polinomial do quarto grau, normalmente uma equação do quarto grau seria escrita na forma: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 Em que os números a, b, c, d e e são reais com a ≠ 0. Uma equação do quarto grau é considerada biquadrada quando os coeficientes b = d = 0, ou seja, a equação fica na forma: ax4 + cx2 + e = 0 Veja, no exemplo a seguir, como resolver essa equação. Resolva a equação x4 – 10x2 + 9 = 0. Para resolver a equação, vamos utilizar a seguinte mudança de incógnita, e sempre que a equação for biquadrada, faremos tal mudança. x2 = p Da equação biquadrada, observe que x4 = (x2)2 e, portanto, temos que: x4 – 10x2 + 9 = 0 (x2)2 – 10x2 + 9 = 0 p2 – 10p + 9 = 0 Veja que agora temos uma equação polinomial do segundo grau e podemos utilizar o método de Bhaskara, assim: No entanto, devemos lembrar que, no início do exercício, foi feita uma mudança de incógnita, então, devemos aplicar o valor encontrado na substituição. x2 = p Para p = 9 temos que: x2 = 9 x’ = 3 ou x’’ = – 3 Para p = 1 x2 = 1 x’ = 1 ou x’’ = – 1 Portanto, o conjunto solução da equação biquadrada é: S = {3, –3, 1, –1} Leia também: Dispositivo prático de Briot-Ruffini – divisão de polinômios Teorema fundamental da álgebra (TFA)O teorema fundamental da álgebra (TFA), provado por Gauss em 1799, afirma que toda equação polinomial da seguinte forma possui pelo menos uma raiz complexa. A raiz de uma equação polinomial é sua solução, ou seja, o valor da incógnita é que torna a igualdade verdadeira. Por exemplo, uma equação do primeiro grau possui uma raiz já determinada, assim como a equação do segundo grau, que possui pelo menos duas raízes, e a biquadrada, que possui pelo menos quatro raízes.  Exercícios resolvidosQuestão 1 – Determine o valor de x que torne a igualdade verdadeira. 2x – 8 = 3x + 7 Resolução Observe que, para resolver a equação, é necessário organizá-la, isto é, deixar todas as incógnitas no lado esquerdo da igualdade. 2x – 8 = 3x + 7 2x – 3x = 7 + 8 – x = 15 Pelo princípio da equivalência, podemos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo mesmo número, e, como desejamos descobrir o valor de x, multiplicaremos ambos os lados por –1. (–1) – x = 15 (–1) x = – 15 Questão 2 – Marcos possui R$ 20 a mais que João. Juntos, eles conseguem comprar dois pares de tênis, custando R$ 80 cada par e sem sobrar nenhum dinheiro. Quantos reais têm João? Resolução Considere que Marcos possui x reais, como João tem 20 reais a mais, então ele possui x + 20. Marcos → x reais João → (x + 20) reais Como eles compraram dois pares de tênis que custam 80 reais cada, então, se juntarmos as partes de cada um, teremos que: x + (x + 20) = 2 · 80 x + x = 160 – 20 2x = 140 Portanto, Marcos tinha 70 reais, e João, 90 reais. Por Robson Luiz Teste os seus conhecimentos sobre ângulos opostos pelo vértice e sobre as classificações dos ângulos a partir do cruzamento entre duas retas.
Questão 1
Duas retas se cruzam no vértice V, formando ângulos opostos pelo vértice medindo 6x + 9 e 9x – 9. Então, podemos afirmar que x é igual a: A) 50º B) 45º C) 12º D) 10º E) 6º
Questão 2
Sabendo que os ângulos α e ꞵ são opostos pelo vértice, sabendo que α = 5x – 10 e ꞵ = 4x + 4, então, o valor do ângulo suplementar de ꞵ é igual a: A) 120º B) 90º C) 60º D) 45º E) 30º
Questão 3
Analisando a imagem a seguir, podemos afirmar que os ângulos α e ꞵ são: A) congruentes B) suplementares C) complementares D) replementares E) adjacentes
Questão 4
Analise a imagem a seguir: Podemos afirmar que o valor de x é: A) 10º B) 15º C) 20º D) 25º E) 30º
Questão 5
Analisando a imagem a seguir, a diferença entre y e x é igual a: A) 0 B) 1 C) 2 D) -1 E) -2
Questão 6
(IFMA) Considerando-se que os ângulos 5x – 40º e 3x – 10º são opostos pelo vértice, o complemento de um desses ângulos mede: A) 55º B) 75º C) 145º D) 65º E) 155º
Questão 7
Na imagem a seguir, estão destacados os ângulos a, b, c e d; analisando-a, podemos afirmar que: A) a e b são complementares. B) c e a são suplementares. C) b e c são opostos pelo vértice. D) d e b são congruentes. E) d e a são replementares.
Questão 8
Dois ângulos opostos pelo vértice medem 6x + 5 e 8x – 10, assim, a medida da soma desses ângulos é igual a: A) 10º B) 15º C) 50º D) 90º E) 100º
Questão 9
Sobre as relações entre os ângulos, julgue as afirmativas a seguir: I → Ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes. II → Dois ângulos opostos pelo vértice não podem ser complementares. III → Dois ângulos são replementares se a soma deles é igual a 360º. Marque a alternativa correta: A) Somente a afirmativa I é falsa. B) Somente a afirmativa II é falsa. C) Somente a afirmativa III é falsa. D) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Questão 10
Analise a imagem a seguir: Podemos afirmar que o valor de a + b + c é igual a: A) 130º B) 140º C) 150º D) 160º E) 180º
Questão 11
Analise a imagem a seguir: O valor da soma x + y é igual a: A) 8º B) 9º C) 10º D) 18º E) 20º
Questão 12
O ângulo γ é complementar ao ângulo α, e o ângulo α é oposto pelo vértice ao ângulo ꞵ. Sabendo a medida de α = 3x + 10º e ꞵ = 5x – 16º, então, o valor do ângulo γ é: A) 49º B) 41º C) 90º D) 131º E) 264º
Resposta - Questão 1
Alternativa E Como os ângulos são opostos pelo vértice, então, temos que: 9x – 9 = 6x + 9 9x – 6x = 9 + 9 3x = 18 x = 18 : 3 x = 6
Resposta - Questão 2
Alternativa A Sabemos que α e ꞵ são opostos pelo vértice, o que faz com que eles sejam congruentes, logo, temos que: 5x – 10 = 4x + 4 5x – 4x = 10 + 4 x = 14 Se x = 14, então, ꞵ = 4 ·14 + 4 = 56 + 4 = 60º. O ângulo suplementar de ꞵ é o ângulo y tal que ꞵ + y = 180º: 60º + y = 180º y = 180º – 60º y = 120º
Resposta - Questão 3
Alternativa A Os ângulos da imagem são opostos pelo vértice, e ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.
Resposta - Questão 4
Alternativa C Como os ângulos são opostos pelo vértice, então, temos que: 8x – 90 = 4x – 10 8x – 4x = -10 + 90 4x = 80 x = 80 : 4 x = 20º
Resposta - Questão 5
Alternativa C Sabemos que ângulos opostos pelo vértice são congruentes, então, para encontrar o valor de x, temos que: 8x + 6 = 70 8x = 70 – 6 8x = 64 x = 64 : 8 x = 8 Agora encontraremos o valor de y: 150 – 2y = 130º 150 – 130 = 2y 20 = 2y y = 20 : 2 y = 10 A diferença entre y e x = 10 – 8 = 2.
Resposta - Questão 6
Alternativa A Como os ângulos são opostos pelo vértice, então, eles são congruentes: 5x – 40 = 3x – 10 5x – 3x = 40 – 10 2x = 30 x = 30 : 2 x = 15 Se x = 15, então, o ângulo mede 3 · 15 – 10 = 45 – 10 = 35. Seja y o ângulo complementar ao ângulo de 35º, temos que: y + 35 = 90 y = 90 – 35 y = 55º
Resposta - Questão 7
Alternativa D Os ângulos d e b são opostos pelo vértice e, portanto, são congruentes.
Resposta - Questão 8
Alternativa E Como os ângulos são opostos pelo vértice, então, eles são congruentes, logo, temos que: 8x – 10 = 6x + 5 8x – 6x = 10 + 5 2x = 15 x = 15 : 2 x = 7,5 Como os ângulos são iguais, vamos substituir o valor de x em um deles, e encontrar a medida de ambos. 6x + 5 = 6 · 7,5 + 5 = 45 + 5 = 50 Assim, ambos medem 50º, logo, 50 + 50 = 100º.
Resposta - Questão 9
Alternativa B I → Ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes. (verdadeira) Sempre que houver ângulos opostos pelo vértice, eles serão congruentes. II → Dois ângulos opostos pelo vértice não podem ser complementares. (falsa) Não há restrição para a medida dos ângulos opostos, então, eles podem ter 45º e ser congruentes. III → Dois ângulos são replementares se a soma deles é igual a 360º. (verdadeira) Por definição, ângulos replementares somam 360º.
Resposta - Questão 10
Alternativa C Note que o ângulo com a medida c é oposto ao ângulo de 130º, então, temos que: c = 130º Podemos observar que os ângulos de 40º, 130º e a pertencem a uma mesma reta, ou seja, são suplementares. a + 130º + 40º = 180º a + 170º = 180º a = 180º – 170º a = 10º Os ângulos a e b são opostos, logo, são congruentes: b = 10º A soma a + b + c = 130 + 10 + 10 = 150º.
Resposta - Questão 11
Alternativa D Igualando os ângulos opostos pelo vértice para encontrar o valor de x, temos que: 20x – 50º = 14x + 10º 20x – 14x = 50º + 10º 6x = 60º x = 60º : 6 x = 10º Agora, para calcular o valor de y, temos que: 8y – 4º = 5y + 20º 8y – 5y = 20º + 4º 3y = 24º y = 24º : 3 y = 8º A soma x + y = 10º + 8º = 18º.
Resposta - Questão 12
Alternativa B Como α e ꞵ são opostos pelo vértice, então, eles são congruentes, logo, temos que: 5x – 16º = 3x + 10º 5x – 3x = 10º + 16º 2x = 26º x = 26º : 2 x = 13º Como x = 13º, então, α = 3 · 13º + 10º = 49º. Como γ é complementar a α, temos que: α + γ = 90º 49º + γ = 90º γ = 90º – 49º γ = 41º |
De acordo com a figura podemos concluir que o valor de x para o qual 3x=4
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