Matemática
Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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extraído do www.mundoeducacao.com.br
Para determinarmos a raiz quadrada do número 196 precisamos primeiramente fatorar e unir os termos semelhantes, dois a dois.
Vamos continuar determinando a raiz quadrada do número 2704, utilizando a fatoração:
Esse processo deve ser muito utilizado e treinado, pois alguns alunos recorrem à calculadora a fim de agilizar os cálculos, mas essa atitude é considerada perigosa, já que muitos concursos e vestibulares adotam, em suas questões, cálculos envolvendo raízes de números, e nessas avaliações o uso de calculadoras não é permitido.
- Raiz Quadrada Por Fatoração
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- Raiz Quadrada
Raiz quadrada Raiz quadrada de um número real não negativo x é o número real não negativo que, quando multiplicado por si próprio, iguala a x. Raiz quadrada de certa forma, lembra um pouco a Potenciação, por exemplo, no caso desse exercício de...- Fatorar
Fatorar é o mesmo que decompor o número em fatores primos, isto é, escrever um número através da multiplicação de números primos. Na fatoração utilizamos os números primos obedecendo a uma ordem crescente de acordo com as regras de divisibilidade...- Composição De Números Em Fatores Primos
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- Raiz Quadrada
Chama-se raiz quadrada de um número natural, um segundo número natural cujo o quadrado é igual ao número dado. Exemplos: a) √49 = 7 porque 7² = 49 b) √100 = 10 porque 10² = 100 NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS Vamos calcular os quadrados dos primeiros...Matemática
Dada a seguinte expressão:
Raízes exatas
Aplicando o uso da fatoração para o cálculo de raízes.
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3 Qual a medida da aresta de um cubo que possui volume igual a 729 cm³? A medida da aresta de um cubo que possui 729 cm³ de volume é igual a 9 cm. Raízes não exatas
As raízes que não possuírem como resultado um número inteiro positivo, terá como resultado um número irracional. Por exemplo:
Simplificação de radicais
Exemplo 1
Simplifique o seguinte radical:Exemplo 2
Exemplo 3
Para calcularmos outras raízes utilizamos a mesma ideia da raiz quadrada e da raiz cúbica.
Por Marcos Noé Graduado em Matemática
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Simplificando Raízes Exatas Utilizando a Fatoração"; Brasil Escola. Disponível em: //brasilescola.uol.com.br/matematica/raizes-1.htm. Acesso em 07 de julho de 2022.
Uma das estratégias mais usadas para calcular raízes é a fatoração. Para tanto, utiliza-se o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades de raízes. Assim, o radicando é decomposto em fatores primos, que são reagrupados para facilitar os cálculos. Antes de falarmos sobre o cálculo de raízes em si, precisamos relembrar o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades.
→ Teorema fundamental da aritmética
Todo número inteiro pode ser decomposto em uma multiplicação em que todos os fatores são primos. Essa decomposição é única, exceto, é claro, pela permutação de seus fatores. Os números inteiros que aparentemente não podem ser decompostos em fatores primos são os próprios números primos. Contudo, é possível dizer que a decomposição em fatores primos de um número primo tem como resultado um único fator, que é o próprio número.
Exemplos:
a) 192 = 25·3
b) 75 = 3·52
c) 300 = 2·3·52
→ Propriedades dos radicais para o cálculo de raízes
Para o cálculo de raízes por meio de fatoração, são utilizadas as duas propriedades seguintes:
A primeira garante que a raiz do produto é igual ao produto das raízes, e a segunda afirma que, quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz é a base do radicando.
→ Cálculo de raízes não exatas por meio fatoração
Segue o passo a passo para calcular raízes não exatas (e exatas também) por fatoração:
Passo 1: Fatore o radicando
Se o radicando de uma raiz for um número inteiro, é possível reescrever esse número como produto de fatores primos, como garante o teorema fundamental da aritmética.
Passo 2: Reagrupe os fatores primos
Feito isso, reescreva os fatores primos em fatores cujo expoente seja igual ao índice do radicando.
Passo 3: Aplique a propriedade I
Cada fator precisa ficar dentro de um radical para que a segunda propriedade seja aplicada.
Passo 4: Aplique a propriedade II
Esse passo fará com que o radical seja simplificado à raiz de algum fator primo. Observe que é sempre mais fácil calcular a raiz de um fator primo do que de um número composto maior que ele.
Passo 5: Cálculo numérico
Se necessário, faça o cálculo numérico da raiz restante e multiplique todos os resultados.
Exemplo:
Sabendo que a raiz quarta de 2 é 1,19, calcule a raiz quarta de 2592.
Solução:
Pelo passo 1, devemos fazer a fatoração de 2592:
2592|2 1296|2 648|2 324|2 162|2 81|3 27|3 9|3 3|3
1|
2592 = 25·34
Pelo passo 2, devemos reescrever os fatores primos com expoentes iguais a 4. Se sobrarem fatores insuficientes para isso, devemos escrevê-los com o maior expoente possível:
2592 = 25·34 = 24·2·34 = 34·24·2
Pelo passo 3, substituímos 2592 pela sua fatoração dentro do radical e fazemos o seguinte:
Já o quarto passo garante a simplificação dos dois primeiros fatores. Observe que já é possível substituir o último fator pelo seu valor numérico, que é 1,19.
Por fim, note que o quinto passo também já foi aplicado na imagem acima.
A radiciação é a operação inversa da potenciação. Em geral, utilizamos a simbologia abaixo para representá-la:
Nomes de cada elemento da radiciação
Apenas quando se tratar de raiz quadrada (índice 2) podemos deixar o espaço destinado ao índice em branco. O índice da fração indica quantas vezes é necessário multiplicar o número da potência por si mesmo até obter o valor do radicando. Por exemplo:
Exemplos de radiciações com índices 2, 3 e 4
Ao lidar com radicandos maiores, podem surgir dúvidas, pois o valor da raiz não aparecerá tão facilmente. Para situações como essas, devemos utilizar o processo de fatoração para obter a raiz. Vale lembrar que na fatoração há um número que deve ser dividido pelo menor número primo possível sucessivas vezes até que o quociente seja um. Vejamos como encontrar a raiz quadrada de 729:
Passo a passo da fatoração de 729
Nessa fatoração, começamos com o número do radicando, o 729, à esquerda. À direita, colocamos o menor primo que o dividirá. Novamente, à esquerda, coloca-se o número do quociente da divisão e repete-se esse processo até que o quociente seja 1. Como estamos procurando o resultado de uma raiz cujo índice é 2, agrupamos os números da direita em potências de expoente 2. Em seguida, colocamos essa multiplicação de potências dentro do radical, e aqueles números cujo o expoente é o mesmo do índice da raiz podem sair do radical sem o expoente. Vejamos outros exemplos:
Exemplos de radiciações através da fatoração