Atualizado em 19/12/2012, às 9h16 Show 1. Equação reduzida da circunferênciaCircunferência é lugar geométrico dos pontos de um plano que distam igualmente, ou seja, de uma mesma medida – chamada raio, de um ponto fixo denominado centro. Obs.: A circunferência é uma linha, enquanto o círculo é a figura plana delimitada pela circunferência.
A dedução da equação da circunferência segue a definição, o lugar geométrico dos pontos (x,y) equidistantes do centro C(xc, yc da medida R.Então: (x - xc)2 + (y – yc)2 = R2 → esta é a chamada equação reduzida da circunferência. Por exemplo: a equação reduzida de uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7) será:(x – 5)2 + (y + 7)2 = 82 Ou:
A equação geral de uma circunferência é definida quando se desenvolve a equação reduzida. Assim: (x – xc)2 + (y –yc)2 = R2 (x2 – 2xcx + x2c) + (y2 – 2ycy + y2c ) = R2 Reagrupando: x2 + y2 – 2xcx – 2yc y + x2c + y2c – R2 = 0 Ou de uma maneira generalizada:x2 + y2 + mx + ny + p = 0 → está é a equação geral da circunferência. Onde:
Por exemplo, para uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7): x2 + y2 – 2 . 5. x – 2 . (–7)y + 52 + (–7)2 – 82 = 0
Para se determinar o centro e o raio de uma circunferência a partir da equação geral x2y2 + mx + nx + p = 0 utilizam-se as equações (I), deduzindo-se que:
Por exemplo, para a circunferência exemplificada,
Logo: C(5,-7) e o raio R=8. Leia mais
Veja errata.
If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website. Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados. A equação reduzida da reta é a maneira de representar de forma algébrica a reta, sendo possível obter, por meio do estudo da geometria analítica, informações importantes sobre o comportamento da reta quando representada no plano cartesiano. A equação reduzida da reta é a equação y = mx + n, em que m e n são, respectivamente, os coeficientes angular e linear, e x e y são, respectivamente, a variável independente e dependente. Por meio do valor do coeficiente angular, é possível saber se a reta é crescente, decrescente ou constante. Já o coeficiente linear mostra o ponto em que a reta intercepta o eixo vertical y. Leia também: Elipse — figura muito estudada na geometria plana e na analítica Qual é a equação reduzida da reta?Equação reduzida da reta.No estudo da geometria analítica, é bastante recorrente a representação de figuras geométricas por meio de uma equação. Com a reta não é diferente, e a equação reduzida que descreve a reta é a seguinte: m → coeficiente angular n → coeficiente linear y → variável dependente x → variável independente Vale salientar que m e n são números reais. Exemplos: a) y = 2x – 4 b) y = – 3x + 5 A equação da reta nos dá a coleção de pontos que formam a reta no plano cartesiano, sendo possível analisar o gráfico por meio da equação e fazer a sua representação no plano cartesiano. Para entender como encontrar a equação da reta, vamos antes conhecer o significado de cada um dos seus coeficientes e aprender a encontrá-los. O coeficiente angular está ligado à inclinação da reta e o cálculo desse coeficiente pode ser feito de duas maneiras:
O primeiro método é calcular a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x no sentido anti-horário. Conhecendo o valor do ângulo α, temos que: Exemplo: Encontre o coeficiente angular da reta a seguir: Como o ângulo é de 45º, então basta calcular a tangente de 45º. m = tg 45º m = 1 Mais recorrente que o primeiro caso, no segundo caso encontramos o coeficiente angular da reta conhecendo dois pontos A(x1,y1) e B (x2, y2). Para isso, utilizamos a fórmula a seguir: Coeficiente angular da reta conhecendo dois pontos.Exemplo: Encontre o coeficiente angular da reta utilizando os pontos A e B do gráfico a seguir: Ao analisar a malha quadriculada, é fácil ver que as coordenadas são A(1,1) e B( – 1, 3). Usando esses dois pontos, temos que: O coeficiente angular traz informações importantes sobre o gráfico da reta. Podemos classificar essa reta como crescente, decrescente ou constante de acordo com o valor do coeficiente angular. As retas são crescentes, decrescentes e constantes respectivamente.Exemplos:
Veja também: Qual é a equação geral da circunferência? Coeficiente linearNa equação reduzida y = mx + n, conhecemos o n como coeficiente linear. Quando x = 0, o valor de y = n; sendo assim, o coeficiente linear é o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Passo a passo de como calcular a equação reduzida da retaPara calcular a equação reduzida da reta, é necessário encontrar o valor do coeficiente angular e do coeficiente linear. Para isso, precisamos conhecer dois pontos pertencentes à reta. Veja o passo a passo para encontrar a equação da reta.
Exemplo: Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A (2,1) e B (4,7). Primeiro encontramos o coeficiente angular: Agora que encontramos o coeficiente angular, escolhemos um ponto: por exemplo, o ponto A (2,1). Na equação y = mx + n, vamos substituir os valores do ponto A, ou seja, x = 2 e y = 1, e também o valor encontrado para m, no caso m= 3. y = mx + n 1 = 3 · 2 + n 1 = 6 + n 1 – 6 = n n = – 5 Como conhecemos o valor de m e de n, então a equação reduzida da reta será: y = mx + n y = 3x + ( – 5) Representação gráfica da retaPara construir o gráfico da reta conhecendo a sua equação, encontramos dois pontos pertencentes a essa reta e traçamos a reta que passa por esses dois pontos. Exemplo: Encontre o gráfico da reta y = 2x – 1. Analisando a reta, o primeiro ponto, que é o mais fácil de identificar, é A ( 0, – 1), pois sabemos que o coeficiente linear é o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Se substituirmos na equação x = 0, encontramos y = – 1. Agora precisamos de outro ponto qualquer. Para isso, atribuímos um valor para x e encontramos o seu correspondente em y. Por exemplo, escolhendo x = 1, temos que: y = 2x – 1 x = 1 y = 2 ·1 – 1 y = 2 – 1 y = 1 O ponto B (1, 1) pertence à reta, então marcamos os pontos A(0, –1) e B (1,1) no plano cartesiano e traçamos a reta que passa por esses dois pontos. Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos no espaço? Exercícios resolvidosQuestão 1 - Analisando as equações, marque a alternativa correta: I → y = – 2x + 5 II → y = – 2 + 3x III → y = 5 As retas são, respectivamente: A) crescente, decrescente e constante. B) decrescente, decrescente e constante. C) crescente, decrescente e crescente. D) decrescente, crescente e crescente. E) decrescente, crescente e constante. Resolução Alternativa E. I → m = – 2. Como ele é negativo, a reta é decrescente. II → m = 3. Como ele é positivo, a reta é crescente. III → m = 0. Note que x não aparece, logo m = 0, então a reta é constante. Questão 2 - Dada a reta que passa pelos pontos A(-1, 2) e B (2,3), o seu coeficiente angular é igual a: Resolução Alternativa D. |