Como obter a raiz quadrada exata dos numeroas

Bacharel em Matemática (FMU-SP, 2018)
Mestre em Física Teórica (UNICSUL, 2020)

Números decimais quando dentro de uma raiz quadrada possuem algumas peculiaridades ao calcular o seu valor, mas as propriedades sobre radiciação continuam valendo. Seja a igualdade dizemos que b é a raiz quadrada de a, ou seja:

O símbolo é conhecido por radical, a é o radicando e n é o índice.

Propriedades de radiciação

1.

2.

3.

4.

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6.

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8.

9.

10.

Como estamos lidando apenas com raízes quadradas de números decimais neste texto, consideremos a partir de agora que o índice sempre será 2.

Calculando o valor de raízes

Exemplo 1) Vamos calcular o valor de .

O método mais simples para calcularmos essa raiz é aquele em que transformamos o número decimal em uma fração:

Então, se seguirmos a propriedade (6), temos:

Exemplo 2) Calcule .

Transformando em fração: .

Então: .

Exemplo 3) Agora, vamos calcular um número decimal com dízima periódica numa raiz quadrada:

ou

Ao calcularmos a fração geratriz de obtemos:

Então:

Exemplo 4) Um exemplo interessante agora. Vamos calcular:

ou

Ao calcularmos a fração geratriz de obtemos:

Então:

Esta é uma das formas de provar que 0,999... = 1.

Referências Bibliográficas

DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Álgebra I. São Paulo: Livraria Francisco Alves Editora S.A., 1974.

Encontrar a raiz exata irá se tornar algo corriqueiro na segunda fase do ensino fundamental, isso porque em várias expressões e equações numéricas ou algébricas a raiz poderá estar presente.

Nesse texto, iremos abordar o assunto referente a raiz exata, fique ligado nas linhas a seguir para poder compreender este conteúdo.

O que é uma raiz exata?

A raiz será exata quando o seu resultado não for um número decimal infinito e não periódico, ou seja, irracional. Acompanhe os exemplos a seguir para obter uma melhor compreensão.

O resultado de uma raiz exata não pode ser um número decimal infinito e não periódico (Foto: depositphotos)

Exemplos 1: Encontre a raiz cúbica do número a seguir

a)

Para encontramos a raiz cúbica, devemos fatorar o número 27.

Observe que o índice e o expoente são 3, quando isso acontece aplicamos o cancelamento e retiramos o 3 da raiz, logo:

O resultado da raiz cúbica de 27 é 3, que é um número inteiro. A condição para ser raiz exata está satisfeita, visto que o resultado não é um número decimal infinito e não periódico.

Toda raiz possui os seguintes elementos: raiz, radicando, índice e radical.

Como saber se a raiz é exata ou não exata?

De acordo com a definição descrita anteriormente, sabemos que uma raiz é exata se o resultado obtido, ou seja, a própria raiz não for um decimal infinito não periódico. Sendo assim, a raiz de números como:

São todas irracionais sendo raízes não exatas.

Agora, para descobrirmos se uma raiz é exata, precisamos realizar cálculos que mostrem que o radical não é irracional, obtendo assim uma raiz exata.

Como calcular?

Nos exemplos a seguir temos algumas possibilidades de como podemos encontrar a raiz exata, acompanhe!

Exemplos 2: Encontre a raiz dos exercícios a seguir:

a)

b)

A raiz obtida é exata, pois não é um número irracional.

c)

A raiz encontrada é uma raiz exata, visto que é um número decimal exato.

Exercício

Encontre a raiz exata, para solucionar o exercício a seguir.

Exercício: Se um terreno quadrado tem 1024 m² de área. Quanto mede o perímetro do terreno?

Solução: Para solucionar esse exercício precisamos nos recordar da fórmula referente à área de um quadrado, que é:

Ao realizarmos o cálculo para obter a raiz quadrada do número 1024, encontraremos a medida referente ao lado do quadrado. Precisamos obter essa medida para calcular o perímetro do terreno.

O lado do terreno mede 32 m. Esse terreno é um quadrado, então todos os lados medem 32 m. O calculo do perímetro é definido como sendo a soma dos lados de um polígono. Veja a seguir como obtemos a medida referente ao perímetro do terreno.

    P = 32 m + 32 m + 32 m + 32 m= 128 m

O terreno possui 128 m de perímetro.

Referências

CENTURIÓN, M. JAKUBOVIC, J. Matemática na medida certa. Ed. 1. São Paulo. Leya. 2016.

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