Como calcular raiz quadrada no modo euclides

Em contraste, Euclides apresentou a teoria dos números sem os floreios. Ele começou o Livro VII de suaElementos , definindo um número como "uma multidão composta de unidades." O plural aqui excluiu 1; para Euclides, 2 era o menor “número”. Ele mais tarde definiu umprimo como um número "medido apenas por uma unidade" (ou seja, cujo único divisor próprio é 1), um composto como um número que não é primo e um número perfeito como aquele que é igual à soma de suas "partes" (ou seja, seus próprios divisores).

A partir daí, Euclides provou uma sequência de teoremas que marca o início da teoria dos números como um empreendimento matemático (em oposição a numerológico). Quatro proposições euclidianas merecem menção especial.

A primeira, Proposição 2 do Livro VII, é um procedimento para encontrar o máximo divisor comum de dois números inteiros. Este resultado fundamental agora é chamado deAlgoritmo euclidiano em sua homenagem.

Em segundo lugar, Euclides deu uma versão do que é conhecido como o teorema da fatoração única ou o teorema fundamental da aritmética . Isso diz que qualquer número inteiro pode ser fatorado no produto dos primos de uma e somente uma maneira. Por exemplo, 1.960 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7 × 7 é uma decomposição em fatores primos, e nenhuma outra decomposição existe. A discussão de Euclides sobre a fatoração única não é satisfatória para os padrões modernos, mas sua essência pode ser encontrada na Proposição 32 do Livro VII e na Proposição 14 do Livro IX.

Terceiro, Euclides mostrou que nenhuma coleção finita de primos contém todos eles. Seu argumento, a Proposição 20 do Livro IX, continua sendo uma das provas mais elegantes de toda a matemática . Começando com qualquer coleção finita de primos — digamos, a , b , c , ..., n —Euclid considerou o número formado pela adição de um ao seu produto: N = ( a b c ⋯ n ) + 1. Ele então examinou as duas alternativas :

(1) Se N é primo, então é um novo primo não entre a , b , c , ..., n porque é maior do que todos esses. Por exemplo, se os primos originais eram 2, 3 e 7, então N = (2 × 3 × 7) + 1 = 43 é um primo maior. (2) Alternativamente, se N é composto, deve ter um fator primo que, como Euclides demonstrou, não pode ser um dos originais. Para ilustrar, comece com os primos 2, 7 e 11, de modo que N = (2 × 7 × 11) + 1 = 155. Isso é composto, mas seus fatores primos 5 e 31 não aparecem entre os originais. De qualquer forma, um conjunto finitode números primos sempre pode ser aumentado. Segue-se, por esta bela peça de lógica, que a coleção de primos é infinita .

Quarto, Euclides terminou o Livro IX com um blockbuster: se a série 1 + 2 + 4 + 8 +… + 2 k soma um primo, então o número N = 2 k (1 + 2 + 4 +… + 2 k ) deve seja perfeito. Por exemplo, 1 + 2 + 4 = 7, um primo, então 4 (1 + 2 + 4) = 28 é perfeito. A "receita" de Euclides paranúmeros perfeitos foram uma conquista mais impressionante para a época.

Dos matemáticos gregos posteriores, é especialmente notável Diophantus de Alexandria (floresceu por volta de 250), autor deArithmetica . Este livro apresenta uma série de problemas, os mais significativos dos quais passaram a ser chamadosEquações diofantinas . Estas são equações cujoas soluções devem ser números inteiros. Por exemplo, Diofanto pediu dois números, um um quadrado e o outro um cubo, de forma que a soma de seus quadrados seja ela própria um quadrado. Nos símbolos modernos, ele procurou os inteiros x , y e z tais que ( x 2 ) 2 + ( y 3 ) 2 = z 2 . É fácil encontrar números reais que satisfaçam esta relação (por exemplo, x = √ 2 , y = 1 e z = √ 5), mas o requisito de que as soluções sejam inteiras torna o problema mais difícil. (Uma resposta é x = 6, y = 3 e z = 45.) O trabalho de Diofanto influenciou fortemente a matemática posterior.