Como calcular raiz quadrada de número inexato decimal impar

Hoje vamos aprender a calcular Raiz Quadrada de um número qualquer.

Para se calcular a Raiz Quadrada de um número podemos aplicar a Equação de PELL.

A equação de Pell permite que você encontre a raiz quadrada de um número qualquer, simplesmente subtraindo números ímpares, partindo sempre do menos hum (-1).

Exemplo: Qual a raiz quadrada de 9.

Bem, para esta pergunta você não precisa aplicar a Equação de PELL, pois você sabe de cabeça que o resultado é 3, pois você sabe que 3 x 3 = 9

Mas caso você não saiba a Raiz Quadrada de 9, aplicando a Equação de PELL, você descobriria que o resultado é 3 da seguinte forma:

O numero deve sempre ser subtraído por números ímpares negativos iniciando sempre pelo -1 e assim sucessivamente;

9 - 1 = 8            

8 – 3 = 5

5 – 5 = 0   Observe que partimos do numero 9 e subtraímos (-1 – 3 -5) e chegamos a     zero.

Quantas subtrações fizemos ?

Fizemos 3 subtrações ok?

Logo a Raiz Quadrada de 9 é 3, ou seja é a quantidade de números negativos que utilizamos.

Agora, qual a raiz quadrada de 1.024, sem usar a calculadora..hummmmmm, aí fica complicado não é mesmo?

Neste caso você precisa separar o número em dezenas ( ou em pares ) da direita para a esquerda.

Neste caso o número 1.014 deve ser representado em 2 pares ( 10 e 24 ).

Atenção sempre agrupando os pares da direita para a esquerda, assim primeiro forma-se o 24 e depois o 10.

Feito isto, você inicia o processo de subtração abordado acima para a Raiz Quadrada de 9.

As subtrações devem ser feitas até que se obtenha resultado igual a ZERO ou até que o resto seja menor que o próximo numero a ser subtraído.

Atenção, quando sobrar resto, a dezena seguinte deve ser baixada e colocada ao lado deste resto e começar uma nova sequencia de subtrações.

Então vamos à prática e encontrar a Raiz Quadrada do número 1.0124. Então o número 1.024 deve representado em 2 pares da seguinte forma:

10   24

A subtração agora deve iniciar da direita para a esquerda, então primeiro vamos fazer a subtração do numero 10 e depois do 24 da seguinte forma:

10 – 1 = 9

09 – 3 = 6

06 – 5 = 1

Observe que o resto 1 não pode subtrair o próximo negativo que seria -7. Então paramos aqui e contamos quantas subtrações foram feitas, e você vai verificar que fizemos 3 subtrações (-1, -3 e -5 ). Logo esta quantidade de subtrações é o primeiro número para o resultado da Raiz Quadrada de 1.024.

Agora vamos subtrair os negativos sobre o número 24 sempre partindo do ( -1 ), mas observe que da dezena anterior houve um resto igual a hum ( 1), então vamos colocar o numero 24 do lado direito do resto anterior, e o novo numero fica assim representado;

124

Agora prestem atenção;

Vamos subtrair primeiramente -1, onde o -1 deve ficar abaixo do 4, e sempre somar 1 ao último negativo utilizado na sequencia anterior, que neste caso foi o 5, assim, 1 + 5 = 6, este 6 deve ser colocado ao abaixo do número 2 do 124, transformando o primeiro negativo impar da segunda sequencia em -61, ficando então assim representado:

1 2 4

- 6 1

 6 3     Agora o próximo negativo será -63

- 6 3

     0

Nesta nova sequencia, fizemos 2 subtrações ( -61 e -63 ), logo 2 é o nosso segundo numero para formar a Raiz Quadrada de 1.024.

Na sequencia de subtrações do 10, encontramos o número 3 e nesta segunda sequencia encontramos o numero 2, logo a Raiz Quadrada de 1.024 é igual a 32 .

Esta lógica vale para qualquer número seja ele do tamanho que for.

Espero que tenham gostado, parece complicado, mas não é, o pulo do gato é prestar bastante atenção na montagem do primeiro número a ser subtraído sempre a partir da segunda sequencia e sempre repetir o processo caso haja mais sequencia para frente como por exemplo se você tivesse que achar a Raiz Quadrada do número 15.625.

Neste caso você teria 3 sequencia pois teria que compor o numero em 3 grupos assim distribuídos:

1 56 25

Veja se você consegue fazer sozinho e encontrar o resultado 125.

Me mandem reposta

Abraço a todos

José Siqueira Cardoso

Bacharel em Matemática (FMU-SP, 2018)
Mestre em Física Teórica (UNICSUL, 2020)

Números decimais quando dentro de uma raiz quadrada possuem algumas peculiaridades ao calcular o seu valor, mas as propriedades sobre radiciação continuam valendo. Seja a igualdade dizemos que b é a raiz quadrada de a, ou seja:

O símbolo é conhecido por radical, a é o radicando e n é o índice.

Propriedades de radiciação

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Como estamos lidando apenas com raízes quadradas de números decimais neste texto, consideremos a partir de agora que o índice sempre será 2.

Calculando o valor de raízes

Exemplo 1) Vamos calcular o valor de .

O método mais simples para calcularmos essa raiz é aquele em que transformamos o número decimal em uma fração:

Então, se seguirmos a propriedade (6), temos:

Exemplo 2) Calcule .

Transformando em fração: .

Então: .

Exemplo 3) Agora, vamos calcular um número decimal com dízima periódica numa raiz quadrada:

ou

Ao calcularmos a fração geratriz de obtemos:

Então:

Exemplo 4) Um exemplo interessante agora. Vamos calcular:

ou

Ao calcularmos a fração geratriz de obtemos:

Então:

Esta é uma das formas de provar que 0,999... = 1.

Referências Bibliográficas

DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Álgebra I. São Paulo: Livraria Francisco Alves Editora S.A., 1974.