Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Raiz de uma Função do 1º Grau e veja a resolução comentada.
Dada a função f: R → R definida por f(x) = x² – 2, calcule: a) f(–1) b) f(1) c) f(0)
Determine os números reais a e b na função f: R → R definida por f(x) = ax + b, sabendo que f(2) = 0 e f(0) = –4.
Dada a função f(x) = x² – 4x + 6, determine os valores de x para que se tenha imagem igual a 3.
(UFMT) Considerando a função f(x) = 3x² – 4x + 7, diga se a expressão f(1) + f(–1) = 2 * f(0) é válida para a função.
Dada as funções f(x) = 2x – 3 e g(x) = 4 – x, determine: a) f(–1) b) f(x + 1) c) g(4) d) g(x – 2)
Sabendo que f(x – 1) = 2x + 3, calcule: a) f(1) b) f(3)
(U. Católica de Salvador-BA) Seja a função f de R em R definida por f(x) = 54x + 45. Determine o valor de f(2541) – f(2540). a) 1 b) 54 c) 90 d) 99 e) 108
(U. F. Viçosa-MG) Uma função f é dada por f(x) = ax + b, em que a e b são números reais. Considerando que f(–1) = 3 e f(1) = –1, determine f(3). a) 1 b) 3 c) –3 d) 5 e) –5
f(x) = x² – 2 a) f(–1) = (–1)² – 2 f(–1) = 1 – 2 f(–1) = –1 b) f(1) = 1² – 2 f(1) = 1 – 2 f(1) = – 1 c) f(0) = 0² – 2 f(0) = – 2
f(x) = ax + b f(2) = 2a + b f(0) = 0 * a + b Sistema de equações: 2a + b = 0 2a – 4 = 0 2a = 4 a = 2 Os valores de a e b são 2 e –4 respectivamente, formando a função f(x) = 2x – 4.
f(x) = x² – 4x + 6 f(x) = 3 x² – 4x + 6 = 3 x² – 4x + 6 – 3 = 0 x² – 4x + 3 = 0 ∆ = b² – 4ac ∆ = (–4)² – 4 * 1 * 3 ∆ = 16 – 12 ∆ = 4 Os valores de x são: x = 1 ou x = 3.
f(x) = 3x² – 4x + 7 f(1) + f(–1) = 2 * f(0) f(1) = 3 * 1² – 4 * 1 + 7 f(1) = 3 – 4 + 7 f(1) = 6 f(–1) = 3 * (–1)² – 4 * (–1) + 7 f(–1) = 3 + 4 + 7 f(–1) = 14 2 * f(0) = 2 * [3 * (0)² – 4 * 0 + 7] 2 * f(0) = 2 * [ 7 ] 2 * f(0) = 14 f(1) + f(–1) = 2 * f(0) 6 + 14 = 14 20 = 14 (impossível) A expressão f(1) + f(–1) = 2 * f(0) não é válida para a função f(x) = 3x² – 4x + 7.
a) f(x) = 2x – 3 f(–1) = 2 * (–1) – 3 f(–1) = –2 –3 f(–1) = –5 b) f(x + 1) = 2x – 3 f(x + 1) = 2 * (x + 1) – 3 f(x + 1) = 2x + 2 – 3 f(x + 1) = 2x – 1 c) g(x) = 4 – x g(4) = 4 – 4 g(4) = 0 d) g(x) = 4 – x g(x – 2) = 4 – (x – 2) g(x – 2) = 4 – x + 2 g(x – 2) = 6 – x
A) f(x – 1) = 2x + 3, para f(1) x – 1 = 1 x = 1 + 1 x = 2 f(2 – 1) = 2 * 2 + 3 f(1) = 4 + 3 f(1) = 7 B) f(x – 1) = 2x + 3, para f(3) x – 1 = 3 x = 3 + 1 x = 4 f(4 – 1) = 2 * 4 + 3 f(3) = 8 + 3 f(3) = 11
f(x) = 54x + 45 f(2541) – f(2540) = (54 * 2541 + 45) – (54 * 2540 + 45) f(2541) – f(2540) = 137 214 + 45 – (137 160 + 45) f(2541) – f(2540) = 137259 – 137205 f(2541) – f(2540) = 54 Resposta: item b.
f(–1) = 3 f(–1) = (–1) * a + b –a + b = 3 f(1) = –1 f(1) = 1 * a + b a + b = – 1 Sistema de equações Isolando b na 1ª equação: –a + b = 3 Substituindo b na 2ª equação: a + b = – 1 a + 3 + a = – 1 2a = – 1 – 3 2a = – 4 a = –4/2 a = –2 Calculando b b = 3 + a b = 3 – 2 b = 1 Determinando a função de acordo com f(x) = ax + b → f(x) = –2x + 1. Calculando f(3) f(x) = –2x + 1 f(3) = –2 * (3) + 1 f(3) = – 6 + 1 f(3) = – 5 O valor de f(3) na equação é igual a –5. Resposta: item e. Teste os seus conhecimentos sobre função inversa por meio desta lista de exercícios com gabarito comentado.
Questão 1
Dada a função f: R → R, com lei de formação igual a f(x) = 2x + 1, e seja f-1 sua função inversa, o valor de f- -1 (7) é: A) 0. B) 1. C) 2. D) 3. E) 4.
Questão 2
Suponha que a função f seja inversível e que sua lei de formação seja f(x) = 5x – 10. A lei de formação da sua inversa é:
Questão 3
Dada a função com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais e lei de formação f(x) = 2x – 5. Sabendo que f-1 é sua inversa, o ponto a seguir que pertence ao gráfico de f-1 é: A) A(1, – 3). B) B(4, 5). C) C(2,1). D) D(1,3).
Questão 4
(Consulpan) A função inversa de uma função f(x) do 1º grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz de f(x) é: A) 2 B) 9 C) 12 D) 15
Questão 5
Dada a função f(x) = log2 (x+3) – 2, suponha que ela seja uma função inversível. Desse modo, a lei de formação da sua função inversa é: A) f-1(x) = 2x – 2 – 3 B) f-1(x) = 2x+3 +2 C) f-1(x) = 3x – 2 D) f-1(x) = log3 (x – 2) E) f-1(x) = (x+3)² + 2
Questão 6
Dada a função f: A → B, em que A ={0,1, 2, 3} e B{ – 1, 0, 3, 8}, com lei de formação f(x) = x² – 1, podemos afirmar que: A) a função é inversível, pois ela é bijetora. B) a função não é inversível, pois ela é injetora, mas não é sobrejetora. C) a função não é inversível, pois ela é sobrejetora, mas não é injetora. D) a função não é inversível, pois ela é bijetora.
Questão 7
Sabendo que a função f: A → B, com lei de formação f(x) = x3 + 2, é inversível, então a lei de formação da função inversa é:
Questão 8
(UEL) Sendo f: R → R+* a função definida por f(x) = 2x, então a expressão que define a função inversa de f é:
Questão 9
Dada a função bijetora f(x) = 2x – 4, o valor de f( f – 1 (2)) é: A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2
Questão 10
Dada a função f: A → B, em que A= {-1, 0, 1} e B= {0, 1}, com lei de formação f(x)= x², podemos afirmar que: I → a função é injetora; II → a função é sobrejetora; III → a função é bijetora. É(são) verdadeira(s): A) somente as afirmativas I e II. B) somente a afirmativa I. C) somente a afirmativa II. D) nenhuma das afirmativas. E) todas as afirmativas.
Questão 11
(FGV) Considere a função real f definida por:
A) – 3. B) – 5. C) – 7. D) – 9. E) – 11.
Questão 12
(UERN) Considerando as funções f(x) 3x – 2 e g(x) – 2x + 1, o valor de k, tal que f(g(k)) – 1 = 1, é: A) 3. B) 2. C) – 1. D) – 5.
Resposta - Questão 1
Alternativa D. Primeiro encontraremos a lei de formação da função inversa de f. Para isso, trocaremos x por y e f(x) por x na lei de formação: Agora calcularemos o valor numérico para a função quando x = 7:
Resposta - Questão 2
Alternativa C. Dada a função f(x) = 5x – 10, para encontrar a sua inversa, vamos substituir x por y e f(x) por x. Então, temos que: x = 5y – 10 Isolando o y:
Resposta - Questão 3
Alternativa D. Dado o ponto do tipo (b,a), se ele pertence à função inversa de f(x), então o ponto (a,b) pertence à função f (x). Para verificar à qual ponto pertence a inversa, basta calcular o valor numérico invertendo os valores do par ordenado.
f (x) = 2x – 5 x = – 3 e y = 1 f( – 3) = 2 · (– 3) – 5 f( – 3) = – 6 – 5 = – 11 Note que o resultado tinha que ser 1, logo o ponto A não pertence à função inversa.
f(5) = 2 · 5 – 5 f(5) = 10 – 5 = 5 Note que o resultado tinha que dar 4, logo o ponto não pertence à inversa de f.
f(1) = 2 · 1 – 5 f(1) = 2 – 5 f(1) = – 3 O ponto C não pertence à função inversa, pois o resultado tinha que ser 2.
f(3) = 2 · 3 – 5 f(3) = 6 – 5 f(3) = 1 Nesse caso, o ponto (3,1) pertence à f(x), logo o ponto D(1,3) pertence à inversa de f(x).
Resposta - Questão 4
Se a função f- – 1(x) passa pelos pontos (2,5) e (3,0), a função f-(x) passa pelos pontos (5,2) e (0,3). Com isso, podemos encontrar a lei de formação da função. Sabemos que y = ax + b e usando o segundo ponto (0,3), temos que x = 0 e y = 3. 3 = 0 · x + b 3 = b b = 3 Então: y = ax + 3 Conhecendo o valor de b, é possível encontrar o valor de a usando o ponto (5,2): Logo, a lei de formação da função é: Agora encontraremos o zero dessa função:
Resposta - Questão 5
Alternativa A. Para encontrar a função inversa, trocaremos f(x) por x e x por y na lei de formação:
f-1(x) = 2x – 2 – 3
Resposta - Questão 6
Alternativa A. Verificaremos se a função é injetora e sobrejetora. A sua lei de formação é f(x) = x² – 1. Primeiro verificaremos se ela é injetora. Para isso, calcularemos o valor numérico da função para os valores do domínio A. f(0) = 0² – 1 = – 1 f(1) = 1² – 1 = 1 – 1 = 0 f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3 f(3) = 3² – 1 = 9 – 1 = 8 Note que elementos distintos possuem imagem distinta, logo a função é injetora. Agora vamos verificar se a função é sobrejetora. Para isso, não pode sobrar nenhum elemento no conjunto B. Note que isso também acontece, pois todo elemento do contradomínio B é imagem de um elemento no conjunto A, então a função é bijetora, logo ela é inversível.
Resposta - Questão 7
Alternativa D. Trocando f(x) por x e x por y, temos que: x = y3 + 2 Isolando o y:
Resposta - Questão 8
Alternativa C. A lei de formação é: y = 2x Trocando x por y: x = 2y Aplicando logaritmo dos dois lados: log2x = log22y log2x = ylog22 log2x = y · 1 log2x = y y = log2x f – 1 (x) = log2x
Resposta - Questão 9
Alternativa E. Seja x um número tal que f(x) = 2, então sabemos que f – 1(2) = x. Igualando f(x) a 2, temos que: 2x – 4 = 2 2x = 2 + 4 2x = 6 x = 6 : 2 x = 3 Sabemos que f(3) = 2 → f – 1 (2) = 3, logo f( f – 1 (2)) = f(3), mas sabemos que f(3) = 2, então: f( f – 1 (2)) = 2
Resposta - Questão 10
Alternativa C. I – Falsa. Verificando se a função é injetora, temos que: f( – 1) = ( – 1)² = 1 f(0) = 0² = 0 f(1) = 1² = 1 Note que a função não é injetora, pois f( – 1) = f(1). II – Verdadeira. Para todo elemento b do contradomínio B {0,1}, existe pelo menos um elemento no domínio tal que f(a) = b, logo a função é sobrejetora. III – Falsa. Como a função não é injetora, ela não pode ser bijetora.
Resposta - Questão 11
Alternativa C. Se f – 1 (2) = 5 → f(5) = 2, então:
Resposta - Questão 12
Alternativa D. Primeiro encontraremos a função f(g(x)): f(g(x)) = 3 (-2x + 1) - 2 f(g(x)) = -6x + 3 - 2 f(g(x)) = -6x + 1 Sabemos que f(g(k)) – 1 = 1, então f(g(1)) = k. Como queremos o valor de k, temos que: f(g(x)) = -6x + 1 x = 1 e f(g(1)) = k k = – 6· 1 + 1 k = – 6 + 1 k = – 5 |