7. calcule o perímetro de um paralelogramo que tem dois lados consecu-tivos medindo 5 cm e 8 cm.

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

O paralelogramo é um quadrilátero (polígono de quatro lados) cujo seus lados opostos são paralelos.

Os lados opostos AB e CD são paralelos e congruentes, assim como os lados AD e BC.

Assim como os lados, os ângulos opostos também são congruentes, ou seja , é oposto a e é oposto a . Então e são congruentes, assim como e .

Observe que todo quadrado, retângulo e losango também é um paralelogramo.

Área é o espaço interno de qualquer figura geométrica plana.

A área de um paralelogramo pode ser calculada multiplicando- se a sua base pela sua altura.

Onde b (base) é a medida de qualquer um dos lados e h é a altura relativa a esse lado.

Existe uma demonstração simples que mostra como obtemos esta fórmula.

Imagine um paralelogramo qualquer de base b e altura h:

Agora que obtemos um retângulo, podemos calcular sua área através da fórmula

Assim, concluímos que a fórmula para calcular a área de um paralelogramo é a mesma que utilizamos para calcular a área de um retângulo: 

Exemplo:

Calcule a área de um paralelogramo com altura de 28 cm e base de 12 cm:

Temos que b = 12 cm e h =28 cm

Aplicando a fórmula:

Existe outra maneira de calcular a área de um paralelogramo, apenas com as medidas de dois lados e do ângulo formado por esses lados.

Se chamarmos esses lados simplesmente de a e b, teremos:

Exemplo:

Calcule a área de um paralelogramo em que dois lados consecutivos têm medidas de 6 cm e 10 cm respectivamente e formam um ângulo de 30°.

Como não temos o valor da altura, podemos utilizar a fórmula .

Referências:

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.

RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Teorema de Tales e quadriláteros. Vol. 2. São Paulo: Bernoulli.

Os paralelogramos são polígonos que possuem quatro lados, dois a dois paralelos. Pertencem ao conjunto dos paralelogramos as seguintes figuras: quadrados, retângulos, losangos e outros paralelogramos que não possuem características específicas para serem classificados. A fórmula usada para calcular a área de cada uma dessas figuras varia de acordo com suas características específicas. A seguir, confira a fórmula para o cálculo de cada uma dessas áreas.

Área do paralelogramo

Uma figura que possui lados opostos paralelos é chamada de paralelogramo. Uma das consequências dessa definição mais exploradas em vestibulares e Enem é o fato de os lados opostos serem congruentes. Essas propriedades específicas podem ser estudadas mais amplamente aqui. Para calcular a área do paralelogramo (AP), podemos usar a seguinte fórmula:

AP = b·h

• b = base do paralelogramo, que costuma ser a medida do lado voltado para baixo;

• h = altura do paralelogramo, ou seja, a distância entre a base e seu lado oposto.

Exemplos:

Calcule a área de um paralelogramo cuja base é igual a 13 cm e a altura é igual a 22 cm.

AP = b·h

AP = 13·22

AP = 286 cm2

Calcule a altura de um paralelogramo cuja área é igual a 121 cm2 e a base mede 11 cm.

AP = b·h

121 = 11·h

121 = h
11      

11 = h

Logo, a altura é 11 cm.

Área do retângulo

Os retângulos são paralelogramos que possuem os quatro ângulos retos. Dessa maneira, os retângulos herdam todas as características e propriedades dos paralelogramos, inclusive a área.

OBS.: Todo retângulo é um paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é um retângulo.

Dessa maneira, a área do retângulo é igual à área do paralelogramo:

AP = b·h

Exemplo de retângulo com destaque para as medidas b e h

Área do quadrado

Um quadrado é um retângulo que possui todos os lados congruentes. Para mais informações a respeito dos quadrados, clique aqui.

O quadrado também é um paralelogramo, portanto, a área do paralelogramo vale para o quadrado. É comum que as questões sobre essa figura só evidenciem um de seus lados. Para calcular a área, basta lembrar que todos os lados são iguais e substituir b e h pelo mesmo valor.

Exemplos:

Calcule a área de um quadrado que possui lado igual a 9 cm.

AP = b·h

AP = 9·9

AP = 81 cm2

Calcule o lado de um quadrado cuja área mede 25 cm2.

AP = b·h

Como os dois lados possuem a mesma medida, podemos escrever:

AP = b·b

AP = b2

25 = b2

Fazendo a raiz quadrada em ambos os membros da equação, teremos:

5 = b

O lado do quadrado é igual a 5 cm.

Observe que, como os lados (l) do quadrado são congruentes, questões sobre sua área sempre envolverão uma multiplicação do comprimento do lado por ele mesmo. Sendo essa a definição de potenciação, podemos escrever a área do quadrado (AQ) da seguinte forma:

AQ = l·l

AQ = l2

Área do losango

Os losangos são paralelogramos que possuem todos os lados congruentes. Não os confunda com os quadrados, que, além de congruentes, também possuem todos os ângulos iguais a 90°.

A área do losango não é calculada a partir de sua base e altura. São necessários os comprimentos de suas duas diagonais para isso. Sendo assim, dadas as diagonais D e d de um losango, sua área (AL) pode ser encontrada pela fórmula:

AL = D·d
       2

Exemplos:

Calcule a área de um losango cuja diagonal maior mede 5 cm e a diagonal menor mede 4 cm.

AL = D·d
        2

AL = 5·4
        2

AL = 20
        2

AL = 10 cm2

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática