1) (UFRGS) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e vértices do poliedro é, respectivamente a) 34, 10 b) 19, 10 c) 34, 20 d) 12, 10 e) 19, 12 F = 11 6 , se 2.A = n.F ∴ 2.A = 6.3 + 5.4 5 2.A = 38 ⇒ A = 19 V+F = A + 2 V + 11 = 19 + 2 V = 10 2) (MACK – SP) Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 4 faces quadrangulares e 5 pentagonais. O número de vértices desse poliedro é: a) 25 b) 12 c) 15 d) 9 e) 13 F = 3 + 4 + 5 ⇒ F = 12 2.A = n.F ⇒ 2.A = 3.3 + 4.4 + 5.5 ⇒ 2.A = 50 ⇒ A = 25 V+F = A + 2 ⇒ V + 12 = 25 + 2 ⇒ V = 15 3) Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura. Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20 As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja: De acordo com a relação de Euler, temos que: F + V = A + 2 F + 20 = 50 + 2 F = 52 – 20 F = 32 O poliedro em questão possui 32 faces. Química Energia Interna: 1. Qual a energia interna de 1,5 mols de um gás perfeito na temperatura de 20°C? Conisdere R=8,31 J/mol.K. Primeiramente deve-se converter a temperatura da escala Celsius para Kelvin: A partir daí basta aplicar os dados na equação da energia interna: 2. Qual a energia interna de 3m³ de gás ideal sob pressão de 0,5atm? Neste caso devemos usar a equação da energia interna juntamente com a equação de Clapeyron, assim: Trabalho de um gás: 1. Quando são colocados 12 moles de um gás em um recipiente com êmbolo que mantém a pressão igual a da atmosfera, inicialmente ocupando 2m³. Ao empurrar-se o êmbolo, o volume ocupado passa a ser 1m³. Considerando a pressão atmosférica igual a 100000N/m², qual é o trabalho realizado sob o gás? Sabemos que o trabalho de um gás perfeito em uma tranformação isobárica é dado por: Substituindo os valores na equação:
O sinal negativo no trabalho indica
(EsPCEx 2020) Um poliedro possui 20 vértices. Sabendo-se que de cada vértice partem 3 arestas, o número de faces que poliedro possui é igual a
[A] 12. [B] 22. [C] 32. [D] 42. [E] 52.
Solução: podemos encontrar o número de faces deste poliedro usando a fórmula de Euler.V - A + F = 2
V é o número de vértices
A é o número de arestas
F é o número de faces.
Temos V = 20 vértices. Pelo enunciado, de cada vértice partem 3 arestas. Logo, o grau de cada vértice é igual a 3. O conceito de grau de um vértice é dado pela quantidade de arestas conectadas a este vértice. O somatório de graus deste poliedro é 3 + 3 + 3 + 3 ... + 3 por 20 vezes, ou seja, é 3 x 20 = 60 graus.
O número de arestas é a metade do somatório de graus. A = 60/2 = 30. Aplicando V=20 e A=30 na fórmula:
20 - 30 + F = 2
F = 12. Alternativa correta é a letra A.
EsPCEx geometria Relação de Euler - Poliedros
Resolva estes exercícios sobre a relação de Euler, fórmula matemática que envolve o número de faces, arestas e vértices de poliedros convexos. Questão 1
Um poliedro possui 16 faces e 18 vértices. Qual é o número de arestas desse poliedro? a) 16 b) 18 c) 32 d) 34 e) 40
Questão 2
(FAAP – SP/ adaptada) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Qual o número de faces?
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
Questão 3
Um poliedro convexo com 16 arestas possui o número de faces igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro?
a) 16
b) 14
c) 11
d) 9
e) 7
Questão 4
O número de faces de um poliedro convexo que possui 34 arestas é igual ao número de vértices. Quantas faces possui esse poliedro?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 34
e) 19
Resposta - Questão 1
Para calcular o número de arestas, basta usar a relação de Euler. Observe:
V – A + F = 2
18 – A + 16 = 2
– A = 2 – 18 – 16
A = 16 + 16
A = 32
Gabarito: letra C.
Resposta - Questão 2
Dizer que o número de arestas (A) excede o número de vértices (V) em 6 unidades é o mesmo que escrever:
A = V + 6
Substituindo esse valor de A na relação de Euler, teremos:
V – A + F = 2
V – (V + 6) + F = 2
V – V – 6 + F = 2
F = 2 + 6
F = 8
Gabarito: letra B.
Resposta - Questão 3
Sabendo que F = V, podemos substituir V na relação de Euler para obter:
V – A + F = 2
F – A + F = 2
2F – A = 2
Agora, basta substituir o número de arestas e resolver a equação resultante para encontrar o número de faces.
2F – 16 = 2
2F = 2 + 16
2F = 18
F = 18
2
F = 9
O poliedro possui 9 faces.
Gabarito: letra D.
Resposta - Questão 4
Observe que F = V. Substituindo V na relação de Euler, teremos:
V – A + F = 2
F – A + F = 2
2F – A = 2
Agora basta substituir o número de arestas e descobrir o número de faces:
2F – 34 = 2
2F = 2 + 34
2F = 36
F = 36
2
F = 18
O poliedro possui 18 faces.
Gabarito: letra A.
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Essa Resposta do exercício é de nível Ensino médio (secundário) e pertence à matéria de Matemática.
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Pergunta
Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura
Resposta
Se a cada vertice se encontram 5 arestas entao no total temos 100aresta pois 20.5=100 mas as arestas que saem e chegam ate o vertice sao as mesmas entao nos devemos dividir o numero total de arestas por 2.a=100/2a=50formula de eulerV+F=A+220+F=50+220+F=52F=32. O número de faces dessa figura é 32.Como temos 20 vértices e de cada vértice partem 5 arestas, temos:20 × 5 = 100 arestas totaisPorém, as arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas. Logo, temos que dividir o número total de arestas por 2. Então:A = 100 2A = 50 arestasTemos o número de vértices e de arestas e queremos saber o número de faces. Basta usarmos a relação de Euler:V + F = A + 220 + F = 50 + 220 + F = 52F = 52 – 20F = 32O poliedro possui 32 faces.Leia mais em:6492538
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Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura.
Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro.
Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?
(FAAP-SP)
Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.
(PUC-MG)
Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares.
(UF-AM)
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?
Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20
As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:
De acordo com a relação de Euler, temos que:
F + V = A + 2 F + 20 = 50 + 2 F = 52 – 20
F = 32
O poliedro em questão possui 32 faces.
V: vértice A: arestas
F: faces
F = V – 3 F = 10 – 3
F = 7
O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um.
Faces: 6 Vértices: 8
Arestas: 12
* F + V = A + 2
* A = V + 6
F + V = V + 6 + 2 F + V – V = 8
F = 8
O poliedro possui 8 faces.
P: pentagonais (5 arestas)
T: triangulares (3 arestas)
F = 3*P + x*T
A = 4*x
Número de arestas: A = (3*5 + x*3)/2 4x = (15 + 3x) / 2 4x * 2 = 15 + 3x 8x – 3x = 15 5x = 15 x = 15/5
x = 3
O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
Arestas (A) = 22
Faces (F) = Vértices (V)
Pela relação de Euler, temos:
F + V = A + 2
No problema sugerido temos que F = V, portanto:
V + V = 22 + 2 2V = 24 V = 24/2
V = 12
Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.