Obtenha a função y = ax + b, sabendo que ela passa pelos pontos a (1,5) e b (-3,-7)

A equação geral da reta é estudada na geometria analítica, que busca traduzir, por meio de uma equação, o comportamento de algumas figuras geométricas quando representadas no plano cartesiano, entre elas a reta. A equação geral da reta é uma maneira de descrever o comportamento da reta de forma algébrica.

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Resumo sobre a equação geral da reta
Afinal, qual é a equação geral da reta?
Gráfico da equação geral da reta
Exercícios resolvidos sobre a equação geral da reta

Para encontrar a equação geral da reta, conhecendo dois pontos da reta, calculamos o determinante da matriz que tem como linha as coordenadas desses pontos e igualamos a zero. Ao calcular esse determinante, encontramos a equação geral da reta. O gráfico de uma reta, quando representado no plano cartesiano, pode ser crescente ou decrescente. A equação geral da reta é: ax + by + c = 0.

Leia também: Como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano

Resumo sobre a equação geral da reta

É uma forma de descrever a reta algebricamente.
É a equação ax + by + c = 0.
Para encontrá-la conhecendo os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), calculamos o determinante:

$\left|\begin{matrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right|\ =\ 0\ $

Afinal, qual é a equação geral da reta?

A equação geral da reta é a que descreve, de forma algébrica, o comportamento da reta quando ela é representada no plano cartesiano. Dado os pontos (x, y), esses pontos pertencem à reta se respeitarem a equação geral da reta:

$ax\ +\ by\ +\ c\ =\ 0$

Exemplos:

$ 2x+3y\ –10=0$
$ -x+y+4=0$
$ 2x+3y=0$

Conhecendo as coordenadas de dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) pertencentes à reta, podemos então encontrar a equação geral da reta calculando o determinante:

$\left|\begin{matrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right|=0\ $

Exemplo 1:

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(2, 4) e B(3, 7).

Resolução:

Calculando o determinante e igualando ele a zero, temos que:

$\left|\begin{matrix}2&4&1\\3&7&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right|=0$

$2\cdot7\cdot1+4\cdot1\cdot x+1\cdot3\cdot y-1\cdot7\cdot x-2\cdot1\cdot y-4\cdot3\cdot1=0$

$14+4x+3y-7x-2y-12=0$

Então a equação geral da reta é:

$-3x+y+2=0$

Exemplo 2:

Analise a reta apresentada no plano cartesiano a seguir:

Encontre a equação da reta r.

Resolução:

Analisando o gráfico, podemos destacar os pontos A(2, 1) e B(5, 4). Então calcularemos o determinante igualado a zero:

$\left|\begin{matrix}2&1&1\\5&4&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right|=0$

$2\cdot4\cdot1+1\cdot1\cdot x+1\cdot5\cdot y-1\cdot4\cdot x-2\cdot1\cdot y-1\cdot5\cdot1=0$

$8+x+5y-4x-2y-5=0$

$-3x+3y+3=0$

Note que todos os termos são múltiplos de 3, logo, podemos dividir todos os elementos por 3, encontrando a equação geral da reta:

$-x+y+1=0$

Gráfico da equação geral da reta

Para encontrar o gráfico da equação de determinada reta, é necessário encontrar dois pontos. Ao marcar os dois pontos no plano cartesiano, pode-se fazer o esboço do gráfico da equação traçando a reta que passa por esses dois pontos. Vejamos um exemplo a seguir.

Exemplo:

Construa o gráfico da reta que tem equação geral 2x + y – 1 = 0.

Resolução:

Conhecendo a equação da reta, para representá-la no gráfico, basta encontrarmos dois pontos pertencentes a essa equação. Atribuiremos um valor numérico qualquer para x e encontraremos o seu correspondente em y.

Seja x = 1, temos que:

$2x+y\ –1=0 $

$2\cdot1+y-1=0\ $

$2+y-1=0$

$y+1=0\ $

$y=-1$

Então sabemos que o ponto A(1, -1) pertence à reta. Agora, vamos atribuir outro valor qualquer para o x e encontrar um segundo ponto pertencente à reta.

Seja x = 0, temos que:

$2x+y\ –1=0 $

$2\cdot0+y\ –1=0 $

$y\ –1=0 $

$y=1\ $

Desse modo, o ponto B(0, 1) também pertence à reta.

Agora, marcaremos esses dois pontos no plano cartesiano e traçaremos a reta que passa por eles.

Exercícios resolvidos sobre a equação geral da reta

Questão 1

A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 1) e B(4, 7) é:

A) 3x + 2y – 5 = 0

B) x + 2y – 10 = 0

C) 6x + y + 10 = 0

D) -3x + y + 5 = 0

E) 3x – y – 5 = 0

Resolução:

Alternativa D

Dados os pontos A e B, calcularemos o determinante, e, igualando-o a zero, temos que:

$\left|\begin{matrix}2&1&1\\4&7&1\\x&y&1\\\end{matrix}\right|\ =\ 0$

$2\cdot7\cdot1+1\cdot1\cdot x+1\cdot4\cdot y-1\cdot7\cdot x-2\cdot1\cdot y-1\cdot4\cdot1=0$

$14+x+4y-7x-2y-4=0$

$-6x+2y+10=0$

Note que todos os termos são múltiplos de 2, dividindo toda a equação por 2, temos que:

$-3x+y+5=0$

Questão 2

Analise a equação geral da reta $4x+y-5=0$. São pontos pertencente à reta:

A) (2, 0)

B) (3, -3)

C) (1, -1)

D) (-1, 9)

E) (0, -5)

Resolução:

Alternativa D

Para verificar se o ponto pertence à equação, vamos substituir o valor de x e de y e verificar se a equação é verdadeira:

A) (falsa) $2\cdot2+0-5=4-5=-1$

B) (falsa) $4\cdot3+3-5=12-2=10$

C) (falsa) $4\cdot1-1-5=0-5=-5$

D) (verdadeira) $4\cdot\left(-1\right)+9-5=-4+9-5=0$

E) (falsa) $4\cdot0-5-5=0-5-5=-10$

Sabemos que o valor do coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. Através dessa informação podemos encontrar uma forma prática para obter o valor do coeficiente angular de uma reta sem precisar fazer uso do cálculo da tangente. Vale ressaltar que se a reta for perpendicular ao eixo das abscissas, o coeficiente angular não existirá, pois não é possível determinar a tangente do ângulo de 90º. Para representarmos uma reta não vertical em um plano cartesiano é preciso ter no mínimo dois pontos pertencentes a ela. Desse modo, considere uma reta s que passa pelos pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e possui um ângulo de inclinação com o eixo Ox igual a α.

Prolongado a semirreta que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo Ox formaremos um triângulo retângulo no ponto C.

O ângulo A do triângulo BCA será igual ao da inclinação da reta, pois, pelo Teorema de Tales, duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos correspondentes iguais. Levando em consideração o triângulo BCA e que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo de inclinação, teremos:

tgα = cateto oposto / cateto adjacente

tgα = yB – yA / xB – xA

Portanto, o cálculo do coeficiente angular de uma reta pode ser feito pela razão da diferença entre dois pontos pertencentes a ela.

m = tgα = Δy / Δx

Exemplo 1

Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (–1,3) e B (–2,4)?

m = Δy/Δx

m = 4 - 3 / (-2) - (-1) m = 1 / -1 m = -1

Exemplo 2

O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (2,6) e B (4,14) é:

m = Δy/Δx

m = 14 – 6/4 – 2 m = 8/2 m = 4

Exemplo 3

O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (8,1) e B (9,6) é:

m = Δy/Δx

m = 6 – 1/9 – 8 m = 5/1 m = 5

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Usando escalonamento, podemos ver que a primeira reta irá intersectar o plano $\pi$ no ponto $A=(2/3,2/3,0)$. Da mesma forma, a segunda reta irá intersectar $\pi$ no ponto $B=(-1,0,1)$. Assim, $t$ será a reta contida em $\pi$ e que passa por $A$ e $B$. Ou seja, tomando $B-A=(-5/3,-2/3,1)$ como vetor diretor, então podemos escrever $t$ na forma vetorial como $$ t: (2/3,2/3,0)+s(-5/3,-2/3,1),\quad s\in\mathbb{R}, $$ ou ainda, em termos de componentes, $$\begin{cases} x=\frac{2}{3}-s\frac{5}{3}, \\ y=\frac{2}{3}-s\frac{2}{3},\\ s,\quad s\in\mathbb{R}.\end{cases}$$

Obtenha a função y = ax + b, sabendo que ela passa pelos pontos A (1,5) e B (-3,-7)

a. y = 5x – 3b. y = 3x – 2c. y = -3x + 4d. y = -5x + 3

e. y = 3x + 2

Se y=ax+b então temos a(1,5) colocando na função fica 5=a+b b(-3,-7) colocando na função fica -7=-3a+b organizando o sistema formado a+b=5 -3a+b=-7 multiplica a primeira coluna por -1 teremos -a-b=-5 -3a+b=-7 da pra cortar o b e fica -4a=-12 a=-12/-4=3 entao se axou o valor de a fica a+b=5 3+b=5 b=5-3=2 se y=ax+b entao a função fica y=3x+2 letra e espero ter ajudado!

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